1、专题 6 等差数列和等比数列测试题命题报告：1. 高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。2. 考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等） 。3.重点推荐：第 12 题，需要探索出数列的周期，再利用周期求解。一选择题（共 12 小题，每一题 5 分）1. 已知等差数列a n满足 a2=2，前 5 项和 S5=25，若 Sn=39，则 n 的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案
2、】：B【解析】设等差数列a n的公差为 d，则 a2=a1+d=2，S 5=5a1+ d=25，联立解得 a1=1，d=3，S n=na1+ d=n+ 3=39，解得 n=6，故选：B2. (2019 华南师范大学附属中学月考)在数列 中，若 ，且对所有 满足，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】：依题意，；，所以.3. （2018 滨州期 末）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，a n+1=2Sn，则 S12=（ ）A3 10 B3 11 C D【答案】：B【解析】a 1=1，a n+1=2Sn，S n+1S n=2Sn，即 Sn+1=3Sn，S 1=1数列S
3、n是等比数列，首项为 1，公比为 3S 12=1311=311故选：B4. (20182019 赣州市十四县(市)期中)已知等差数列 的前 项和为 ，若，则 （ ）A. 1009 B. 1010 C. 2018 D. 2019【答案】A 【解析】由题得，所以，所以 =.故答案为：A5. 已知a n为等比数列，下面结论中正确的是（ ）Aa 22+a422a 32 Ba 3+a52a 4C若 a2a 4，则 a1a 3 D若 a2=a4，则 a2=a3【答案】：A6. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn，则 S1+S2+S2018的值为（ ）A B C D【答案】：C【解析】直线与两坐标轴的
4、交点为：（0， ）和（ ，0） ，则 Sn= = = ，则 S1+S2+S2018=1 + + =1 = 故选：C7. （2018双流区期末）已知a n是首项为 2 的等比数列，S n是a n的前 n 项和，且 28S3=S6，则数列 的前 3 项和为等于（ ）A B C 或 D 或 3【答案】：B【解析】设等比数列a n的公比为 q1，28S 3=S6，28（1+q+q 2）=1+q+q 2+q3+q4+q5，1+q+q 20，可得：28=1+q 3，解得 q=3a n=23n1 =（ ） n1 则数列 的前 3 项和为= = ，故选：B8. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=
5、1，S n= an+11，则 bn=log4an，T n为数列b n的前 n 项和，则T100=（ ）A4950 B99log 46+4851C5050 D99log 46+4950【答案】：B【解析】a 1=1，S n= an+11，a 1= a21， 可得 a2=6，可得 n2 时，S n1 = an1，又 Sn= an+11，两式相减可得 an=SnS n1 = an+11 an+1，即有 an+1=4an，则 an=64n2 ，n2，bn=log4an=，T100=0+99（log 462）+ 99（2+100）=4851+99log46故选：B 9. 在一个排列中，如果一个大数排在一
6、个小数前面，就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数如排列 2，3，7，5，1 中 2，1；3，1；7，5；7，1；5，1 为逆序，逆序数是 5现有 150 这 50 个自然数的排列：2，4，6，8，50，49，475，3，1，则此排列的逆序数是（ ）A625 B720 C925 D1250【答案】：A【解析】根据题意，在排列：2，4，6，8，50，49，475，3，1 中，1 的逆序有 49 个，即 2，4，6，8，50，49，475，3；3 的逆序有 47 个，即 4，6，8，50，49，475；49 的逆序有 1 个，即 50，其逆序为首项为 49，末项为 1，项数
7、为 25 的等差数列，则此排列的逆序数：49+47+1=625；故选：A10. 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，a 1=2016， =2，则 S2018的值为（ ）A2 018 B2 018 C2 017 D2 019【答案】：B11. （2018 春黔东南州期末）己知数列a n满足 a1=1，a 2=3，a n+2=3an（nN *） ，则数列a n 的前 2018 项的和 S2018等于（ ）A2（3 10081） B2（3 10091） C2（3 20181） D2（3 20171）【答案】：B【解析】由 an+2=3an（nN *） ，即 ，当 n=1 时，可得 a1，a 3a
8、2n1 成等比，首项为 1，公比为 3当 n=2 时，可得 a2，a 4a2n成等比，首项为 2，公比为 3那么： ，前 2018 项中，奇数项和偶数项分别有 1009 项故得 S2018=2310092=2（3 10091） 故选：B12. （2018蚌埠期末）定义函数 f（x）如下表，数列a n满足 an+1=f（a n） ，nN *，若 a1=2，则a1+a2+a3+a2018=（ ）x 1 2 3 4 5 6f（x） 3 5 4 6 1 2A7042 B7058 C7063 D726 2【答案】：C【解析】由题意，a 1=2，且对任意自然数均有 an+1=f（a n） ，a 2=f（a
9、 1）=f（2）=5，a 2=5，a3=f（a 2）=f（5）=1，a 3=1，a4=f（a 3）=f（1）=3，a 4=3，a5=f（a 4）=f（3）=4，a 5=4，a6=f（a 5）=f（4）=6，a 6=6，a7=f（a 6）=f（6）=2，a 7=2，故数列a n满足：2，5，1，3，4，6，2，5，1是一个周期性变化的数列，周期为：6a1+a2+a3+a6=21a1+a2+a3+a2018=336（a 1+a2+a3+a6）+a 1+a2=7056+2+5=7063故选：C二填空题（共 4 题，每小题 5 分）13. 在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值是 .【答案】
10、4【解析】设等比数列 的公比为 ，化为 ，解得 故答案为：414. （2018宁波期末）数列a n满足，则通项公式 an= 【答案】：【解析】当 n=1 时，a 1=1；当 n2 时，a 1+2a2+3a3+（n1）a n1 =（n1） 2，作差可得，na n=n2（n1） 2=2n1，故 an= ，a 1=1 也满足上式；故 an= ，故答案为： 15. （2018江门一模）设x表示不超过 x 的最大整数，如=3，3.2=4，则lg1+lg2+lg3+lg100= 【答案】：92【解析】lg1=lg2=lg3=lg9=0，lg10=lg11=+lg99=1，lg100=2lg1+lg2+lg
11、3+lg100=901+2=92故答案为：9216（2018黄浦区二模）已知数列a n是共有 k 个项的有限数列，且满足，若 a1=24，a 2=51，a k=0，则 k= 【思路分析】根据题意，将 an+1=an1 变形可得 an+1ana n1 an=n，据此可得（a 3a2a 2a1）=2， （a 4a3a 3a2）= 3，a kak1 a k1 ak2 =（k1） ，用累加法分析可得akak1 a 1a2=1+2 +3+（k1），代入数据变形可得 k2k2450=0，解可得 k 的值，即可得答案【解析】：根据题意，数列a n满足 an+1=an1 ，变形可得：a n+1ana n1 a
12、n=n，则有（a 3a2a 2a1）=2，（a 4a3a 3a2）=3，（a 5a4a 4a3）=4，akak1 a k1 ak2 =（k1） ，相加可得：a kak1 a 1a2=1+2+ 3+（k1），又由 a1=24，a 2=51，a k=0，则有 k2k2450=0，解可得：k=50 或49（舍） ；故 k=50；故答案为：50三解答题（本大题共 6 小题）17. 数列a n的前 n 项和为 Sn且 Sn=n2+1（）求a n的通项公式；（）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （I）由 Sn=n2+1可得 n2 时，a n=SnS n1 ，n=1 时，a 1=S1=
13、2即可得出 an（II）n=1 时，T 1=2n2 时，b n= =，利用裂项求和方法即可得出【解析】：（I）S n=n2+1n2 时，a n=SnS n1 =n2+1（n1） 2+1=2n1n=1 时，a 1=S1=2a n= 4 分（II）n=1 时，T 1=2n2 时，b n= =，6 分数列b n的前 n 项和 Tn=2+=2+n=1 时，上式也成立T n=2+10 分18. 已知 是一个公差大于 的等差数列,且满足.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 和数列 满足等式,求数列 的前 项和 .【解析】：（1）设等差数列 的公差为 ,由 ,得 由 ,得4 分易得.6 分（2）令 ,则
14、有, ,由（1）得 ,故,即 ,8 分面 ,所以可得,于是.即 .12 分 19. （2018山东淄博二模）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 是公差为 1 的等差数列，若a1=2b1，a 4a 2=12，S 4+2S2=3S3（I）求数列a n，b n的通项公式；（II）设 cn=，T n为c n的前 n 项和，求 T2n（2）c n=，即为 cn=，8 分T2n=（c 1+c3+c2n1 ）+（c 2+c4+c2n）= + +（ + + ）= （1 + + ）+= + （1 ）= 12 分20. （2018萍乡期末）已知数列a n中，a 1=1，记 T2n为a n的前 2n 项
15、的和，b n=a2n（1）证明：数列b n是等比数列，并求b n的通项公式 bn；（2）若不等式 T2nk 对于一切 nN +恒成立，求实数 k 的取值范围【分析】 （1）由等比数列的定义，结合条件，化简可得结论，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；（2）讨论 n 为奇数 或偶数，可得a n的通项公式，运用分组求和可得 T2n，运用不等式的性质即 可得到所求范围【解析】：（1）证明：，所以b n是以 ，公比为 的等比数列，所以 ；6 分（2）当 n=2k（kN +）时，当 n=2k1（kN +）时， 即，8 分，得 T2n3，因不等式 T2nk 对于一切 nN +恒成立所以，k 的取值范围为
16、3，+）12 分21. 已知 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 S2=2，S 4=20（1）求数列a n的通项公式和前 n 项和 Sn；（2）是否存在 n，使 Sn，S n+2+2n，S n+3成等差数列，若存在，求出 n，若不存在，说明理由【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（2）假设存在 n，使 Sn，S n+2+2n，S n+3成等差数列，运用等差数列中项性质，解方程可得 n，即可得到所求结论【解析】：（1）设等差数列a n的公差为 d，S 2=2，S 4=20，2a 1+d=2，4a 1+
17、6d=20，联立解得 a1=4，d=6，a n=46（n1）=106n，Sn=7n3n 2；6 分22（2018大庆一模）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，点（n，S n）在曲线上，数列b n满足bn+bn+2=2bn+1，b 4=11，b n的前 5 项和为 45（1）求a n，b n的通项 公式；（2）设，数列c n的前 n 项和为 Tn，求使不等式 恒成立的最大正整数 k 的值【分析】 （1）利用已知条件求出a n的通项公式，判断数列是等差数列求解b n的通项公式；（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可【解析】：（1）由已知得：，当 n=1 时，2 分当 n2 时， =n+2，当 n=1 时，符合上式所以 an=n+24 分因为数列b n满足 bn+bn+2=2bn+1，所以b n为等差数列设其公差为 d则，解得 ，所以 bn=2n+36 分（2）由（1）得， =，8 分=，因为，所以T n是递增数列所以，故 恒成立只要恒成立所以 k9，最大正整数 k 的值为 812 分
