1、专题 5 平面向量测试题命题报告：高频考点：平面向量的基本概念，平面向量的运算，平面向量的数量积的运算，平面向量是数量积运算，平面向量与三角函数、解析几何的综合，平面向量与平面几何的综合等。考情分析：本单元在高考中主要以客观题形式出现，难度较低，再解答题中，主要课程向量的工具性 的作用，一般在解答题中不单独命题。重点推荐：第 12 题，考查向量和不等式的交汇，有一定难度。考查学生解决问题的 能力。一 选择题1. （2018洛阳三模）已知平面向量， ，若，则实数 k 的值为（ ）A B C2 D【答案】：B【解析】平面向量， ， =（2+k，1+k） ， ，解得 k= 实数 k 的值为 故选：B
2、2. 已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若 = ，圆 O 的半径为 2，则 =（ ）A1 B2 C1 D2【答案】：D【解析】如图所示，= ，平行四边形 OABC 是菱形，且AOC=120，又圆 O 的半径为 2， =22cos60=2故选：D3. （2018宝鸡三模）已知不共线向量 ， ，则 =（ ）A B C D【答案】：A【解析】， = 4=1， =5， =425+9=3， = ，故选：A4.（2018安宁区校级模拟）已知向量 =（1，1） ， =（2，3） ，若 k 2 与 垂直，则实数 k 的值为（ ）A1 B1 C2 D2【答案】：A5. 设 是非零向量，则 是 成立的（ ）A
3、. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由 可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以 成立;反之不成立.故选 B6. （2018西宁一模）如图在边长为 1 的正方形组成的网格中，平行四边形 ABCD 的顶点 D 被阴影遮住，请找出 D 点的位置，计算 的值为（ ）A10 B11 C12 D13【答案】：B【解析】：以 A 为原点，建立如图所示的坐标系，则 A（0，0） ，B（4，1） ，C（6，4） ，平行四边形 ABCD，则 = ，设 D（x，y） ，（4，1）=（6x，4y） ，4=6x，1=4y，解得 x=2，y=3 ，D
4、（2，3） ， =24+31=11，故选：B 格中的位置如图所示，则 （ ）= 【答案】：3【解析】如图建立平面直角坐标系，则 =（1，3） ， =（3，1）（1，1）= （2，2） ， =（3，2）（5，1）=（2，3） ， =（0，1） ， =（1，3）（0，1）=3故答案为：316. （2018红桥区一模）在ABC 中，点 D 满足 = ，当点 E 在射线 AD（不含点 A）上移动时，若= + ，则 + 的最小值为 【思路分析】根据题意画出图形，利用 、 表示出 ，再利用 表示出 ，求出 与 ，利用基本不等式求出 的最小值【答案】【解析】：如图所示，ABC 中， ， = + = + =
5、+ （ ）= + ，又点 E 在射线 AD（不含点 A）上移动，设 =k，k0， = + ，又， ， = + 2 = ，当且仅当 k= 时取“=” ；+ 的最小值为 故答案为： 三解答题17. 如图，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线；已知 AO=1，BC=3设 = ， = （）试用 ， 表示 ， ；（）求 AB2+AC2的值【解析】：（）在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，设 = ， = 所以： ，则： = = 4 分18. 如图，已知向量（1）若 ，求 x 与 y 之间的关系；（2）在（1）的条件下，若有 ，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积【思路分析】 （1）由 ，
6、结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y（y2）x=0，可求 x，y 的关系，（2）由有 ，结合（1）的关系式可求 x，y 的值，代入四边形的面积公式可求【解析】：（1），又 ，x（y2）y（x+4）=0x+2y=04 分（2），又 ，（x+6） （x2）+（y+1） （y3）=0x 2+y2+4x2y15=0；由，得 或 ，当 时，则；当 时，则；综上知12 分19. 如图，直角 梯形 ABCD 中，| |=2，CDA= ， =2 ，角 B 为直角，E 为 AB 的中点，= （01） （1）当 = 时，用向量 ， 表示向量 ；（2）求| |的最小值，并指出相应的实数 的值【思路分析】 （1）利
7、用三角形法则即可得出结论；（2）表示出 的表达式，结合二次函数的性质求出其模的最小值即可【解析】：（1）当 = 时，直角梯形 ABCD 中，| |=2，CDA= ， =2 ，角 B 为直角，E 为 AB 中点， = ， = （ ）+（ + ）= （ + + ）= + ；5 分（2）直角梯形 ABCD，| |=2，CDA= ， =2 ，角 B 为直角，E 为 AB 中点， = ， （01） ， = （ + ）= （ ）+（ + ）= +（1） + = +（12） = + ， = + + （12） =4 27+ =4 + ,01，当 = 时， 有最小值 ，| |有最小值 12 分20. （2018
8、 秋新罗区校级月考）在如图所示的直角坐标系 xOy 中，点 A，B 是单位圆上的点，且A（1，0） ， 现有一动点 C 在单位圆的劣弧 上运动，设AOC=（）若 tan=2，求 的值；（）若，其中 x，yR，求 x+y 的取值范围【思路分析】 （）利用三角函数的定义及向量数量积可求得；（）利用向量的坐标运算可将 x 和 y 用 表示，从而转化为三角函数求值域可求得【解析】：（）且 tan=2，sin= ，cos= =| | |cosBOC=cos（ ）=cos cos+sin sin= + = ；5 分（） ，B（ ， ） ，又AOC=，C（cos，sin）由 =x +y ，得（cos，sin
9、）=（x，0）+（ y， ）=（x y， y）得 x =cos， =sin，得 x= +cos，y=x+y= sin+cos=2sin（ ），+ ，x+y1，212 分 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 =（cossin，sin+cos） ，向量=（cossin，sin +cos） ，0（1）若向量 与 的夹角为 ， 2，求 的值；（2）若对任意实数 ， 都使得| | |成立，求实数 的取值范围 【思路分析】 （1）直接利用向量的数量的线性运算和向量的数量积的应用和三角函数关系式的恒等 变变换求出夹角（2）利用向量的夹角公式和恒成立问题求出参数的取值范围【解析】：（1）已知向量
10、=（cossin，sin+cos），向量 =（cossin，sin+cos） ，则：= =（cossin，sin+cos），由得：，所以： ， 设向量 与 的夹角为 ，所以： =sin（） ，由于 ，所以：由于： 2，所以：，则： 6 分（2）由于对任意实数 ， 都使得| | |成立，而： ，由于 ，所以对任意的实数 ， 都成立由于 12sin（）0 对任意的实数 ， 都成立，所以：，所以： ，解得： ，所以： 12 分22（2018 春江阴市校级期中）在ABC 中， ，M 是 BC 的中点（1）若点 O 是线段 AM 上任意一点，且| |=| |= ，求 + 的最小值；（2）若点 P 是BA
11、C 内一点，且 =2 =2，| |=2，求| + + |的最小值【思路分析】 （1）由题意可得ABC 为等腰直角三角形，以 A 为原点，AB，AC 为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系，如图所示，M 是 BC 的中点，O 是线段 AM 上任意一点，可设 O（x，x） ，0x ，根据向量的数量积和坐标运算可得关于 x 的二次函数，根据函数的性质求出最值即可；（2）设CAP=，BAP= ，0 ，运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，结合坐标法和三角函数的同角关系、以及基本不等式可得最小值=4x22 x=4（x ） 2 ，故当 x= 时， + 的最小值为 ；6 分（2）设CAP=，BAP= ，0 ，由 =2 =2，| |=2，可得 2| |cos=2，2| |cos（ ）=1，即有| |= ，| |= ，| + + |2= 2+ 2+ 2+2 +2 +2 = + +4+0+4+2=+10= +tan2+ 2+ = ，当且仅当 =tan2，即 tan= 时，| + + |的最小值为 12 分
