1、一轮单元训练金卷 高三 数学卷（A ）第 二 十 八 单 元 综 合 测 试注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接
2、答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （ ）2iA B C D43i543i534i534i52已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）2xyxyZ,， ， AA9 B8 C5 D43函数2exf的图象大致为（ ）4已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）ab1ab2abA4 B3 C2
3、 D05双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）20,xyab3A B C D2yx3yx2yx32yx6在 中， ， ， ，则 （ ）C5cos15ABA B C D423029257为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）1491SLA B C Di1i2i3i48我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，3072其和等于 30 的概率是（ ）A B C D11415189在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值1CDAB13A1A
4、B为（ ）A B C D15565210若 在 是减函数，则 的最大值是（ ）cosinfxx,aaA B C D423411已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，fx,1fxf12f则 （ ）12350f fLA B0 C2 D505012已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且1F2210xyCab： ACPA斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（ ）3612PF 12FPA B C D2 314二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13曲线 在点 处的切线方程为_2ln1yx0,14若 满足约束条件 则
5、的最大值为_,xy2350yx， zxy15已知 ， ，则 _sinco1sinsin16已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ，若SASB78SA45的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_SAB 51三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；a（2）求 ，并求 的最小值nn18 （12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，
6、建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型： ；根t12730.415yt据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型： t 197.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，24Cyx： F0klCAB8AB（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程B20 （12 分）如图，在三
7、棱锥 中， ， ， 为 的中PABC24PABCOAC点（1）证明： 平面 ；PO（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值MBCM30MPA O CB M21 （12 分）已知函数 2exfa（1）若 ，证明：当 时， ；a01f（2）若 在 只有一个零点，求 fx,请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为xOyC2cos4inxyl（ 为参数） 1cos2inxtyt（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲
8、线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l 1,2l23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】设函数 52fxax（1）当 时，求不等式 的解集；a0f（2）若 ，求 的取值范围1fx一轮单元训练金卷 高三数学卷答案（ A）第 二 十 八 单 元 综 合 测 试一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】 ，故选 D21ii34i5Q2 【答案】A【解析】 ， ， ， ， ， ，23xy2xZQ1x0当 时， ， ， ；当 时， ， ， ；1010y当 时， ， ， ；所以共有 9 个，
9、故选 Axy3 【答案】B【解析】 ， ， 为奇函数，舍去 A，0xQ2exffxf， 舍去 D；1ef， ， ，所以舍去 C；24 3e2exx xxf 20fx故选 B4 【答案】B【解析】 ，故选 B2213Qabab5 【答案】A【解析】 ， ， ，3cea222ceaba因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选 Abyxyx6 【答案】A【解析】 ，2253cos11CQ， ，故选 A22ab42c7 【答案】B【解析】由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减1123490SL因此在空白框中应填入 ，选 Bi8 【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7
10、，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于21045+=1937030 的有 3 种方法，故概率为 ，故选 C59 【答案】C【解析】以 D 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，AD1xyz则 ， ， ， ， ， ，0,1,0A1,3B0,31,03ADur1,3Bur， 异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选115cos2urrQ 1 5C10 【答案】A【解析】因为 ，cosin2cos4fxxx所以由 得 ，02,4kkZ32,kkZ因此 ， ， ，3,a,4aa，从而 的最大值为
11、 ，故选 A0411 【答案】C【解析】因为 是定义域为 的奇函数，且 ，fx,1fxf所以 ， ， ，11ff3fxff4T因此 ，12350123412fffffffL， ，34fffQ， 0fff，从而 ，故选 C220ffff123512ffffL12 【答案】D【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，12PF 120FP21PFc由 斜率为 得， ， ， ，A3623tan6A2sin3A2cos3A由正弦定理得 ， ，22sinPF2115sin323caPF， ，故选 D4ac1e二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】
12、2yx【解析】 ， ， 1Q201k2yx14【答案】9【解析】作可行域，则直线 过点 时 取最大值 9zxy5,4Az15 【答案】12【解析】 ， ，sincoQcsin0， ， ，221112cos因此 22111sinsincosincossin44216 【答案】 402【解析】因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，SAB78SAB158因为 的面积为 ，设母线长为 ，所以 ， ，B 51l2151l280l因 与圆锥底面所成角为 ，所以底面半径为 ，SA4cos4ll因此圆锥的侧面积为 20rll三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文
13、字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1） ；（2） ，最小值为 9na28nS16【解析】 （1）设 的公差为 ，由题意得 ，d135ad由 得 所以 的通项公式为 17a2dna29n（2）由（1）得 ，28(4)16nS当 时， 取得最小值，最小值为 4n18 【答案】 （1）利用模型预测值为 ，利用模型预测值为 ；（2）利用模型得到的预2. 56.测值更可靠【解析】 （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元 )利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.45926.1y(亿元 )97（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：
14、（1）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境30.45yt基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述917.5yt2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 （2）从计算结果看，相对于 2016
15、年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 亿元的增幅61.明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠19 【答案】 （1） ；（2） 或 1yx22316xy224xy【解析】 （1）由题意得 ， 的方程为 ，设 ， ，,0Fl 0k1,A2,Bxy由 ，得 ， ，故 ，24ykx22240kxx216124kx所以 ，1224| kABF由题设知 ，解得 （舍去） ， 28kk1因此 的方程为 l1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即3,2 23yx，5yx设所求圆的圆心坐标为 ，0,xy则 ，解得
16、 或 ，02205,(1)(1)6yx 032xy016因此所求圆的方程为 或 231x224y20 【答案】 （1）见解析；（2） 4【解析】 （1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ，APCOACOPAC23连结 因为 ，所以 为等腰直角三角形，OB2B且 ， ，由 知 ，22PB由 知 平面 ,PACOAC（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 BurxOxyz由已知得 ， ， ， ， ， ，0,O2,0B,20A,C0,23P0,23APur取平面 的法向量 ，设 ，则 ，PAC,ur,Maa,4Ma设平面 的法向量为 由 ， ，M,xyzn0Purn0A
17、ur得 ，可取 ，2304yzax 34,aa，由已知得 ，22cos,34OBaaurn 3cos,2OBurn，解得 （舍去） ， ，2234a443a，又 ，所以 8,3n0,23PCurQ3cos,4PCurn所以 与平面 所成角的正弦值为 PCAM421 【答案】 （1）见解析；（2） 2e【解析】 （1）当 时， 等价于 ，a()1fx21e0x设函数 ，则 ，2egx21exxg 当 时， ，所以 在 单调递减，10x0,而 ，故当 时， ，即 0gxg1fx（2）设函数 ， 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零21exhaf0,hx0,点当 时， ， 没有零点；0a0hxx
18、当 时， 2ea当 时， ；当 时， 0,2x0hx,0hx在 单调递减，在 单调递增h,2,故 是 在 的最小值241eahx0,若 ，即 ， 在 没有零点；0h2,若 ，即 ， 在 只有一个零点；24ahx0,若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，0h2e1hx0,2由（1）知，当 时， ，所以 x2ex 33324461610eaaa故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点h2,4ahx0,综上， 在 只有一个零点时， fx0,2e4a22 【答案】 （1）当 时， 的直角坐标方程 ；当 时，cosl tan2tanyxcos0的直角坐标方程为 ；（2） l 【解析】 （1）曲线 的
19、直角坐标方程为 ，C2146x当 时， 的直角坐标方程为 ，cos0l tantany当 时， 的直角坐标方程为 1x（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程l t213cos4cosin80tt因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 Cl1,2C1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 122csi3otcosin0ltank23 【答案】 （1） ；（2） x,62,U【解析】 （1）当 时， ，可得 的解集为 a24,16,xf0fx23x（2） 等价于 ，fx24x而 ，且当 时等号成立，故 等价于 ，2a1fx24a由 可得 或 ，所以 的取值范围是 462a,6,U
