1、高三数学（理） 1 / 14房山区 2019 年高考第一次模拟测试试卷数学（理科） 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ，则24,0,1AxB(A) = (B) =(C) = (D) =（2）执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 值为1,2aba(A) 7(B) 8(C) 1(D)16（3）在极坐标系中，圆 的圆心坐标为2cos(A) (1,
2、)2(B) (1,)(C) (0,1)(D)(1,0)（4）已知 为单位向量，且 的夹角为 ， ，则 , 3=1 |=(A) 2(B) 1(C) 2(D)12开 始ab6是否输 入 ,结 束输 出 a高三数学（理） 2 / 14（5）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为 1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 2(B) 2(C) 3(D)1（6）设 为实数，则“ ”是“ ”的a21a21a(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称
3、的点，()20)xf()ln)gxay则 的取值范围是a(A) (,)(B) (,e)(C) 2e(D) +（8） 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长 1 尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 3 尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（结果精确到 参考数据: .）0.lg20.31lg0471，(A) 天2(B) 天.4(C) 天.6(D)天2.8第二部分（非选择题 共 110 分）2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。主主主高三数学（理） 3 / 14（
4、9）复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的虚部为 .3i1ziz（10）若 满足则 的最大值为 .,xy23,xy， y（11）在 中，已知 ， ， ，则 .ABC64AC3sinB（12）已知点 ， ，若点 在圆 上运动，则(2,0)(,)P22()(+1xyP面积的最小值为_ （13）函数 ，数列 满足 ，(),1)yfxna*(),nfN函数 是增函数；数列 是递增数列na写出一个满足的函数 的解析式 .()fx写出一个满足但不满足的函数 的解析式 . ()fx（14）已知曲线 关于 轴、 轴和直线 均对称(,)0Fxyy设集合 下列命题：|(,),SZ若 ，则 ；(1,2)21S若 ，则
5、 中至少有 4 个元素；0, 中元素的个数一定为偶数；S若 ，则 .2(,)|4,xyxZyS2(,)|4,xyxZyS其中正确命题的序号为 .（写出所有正确命题的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题 14 分）已知函数 .3sin2cos1()xfx高三数学（理） 4 / 14（）求 的值；(0)f（）求函数 的定义域；x（）求函数 在 上的取值范围.()f0,2(16)（本小题 13 分）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自 5 个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市
6、场份额如下：产地 ABCDE批发价格 15016014015170市场份额 %25%203%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于 元6的概率；（）按市场份额进行分层抽样，随机抽取 箱富士苹果进行检验，20从产地 共抽取 箱,求 的值；,ABn从这 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 表示来自产地 的箱数，求n XB的分布列和数学期望. X（）产地 的富士苹果明年将进入该地市场，定价 元/箱，并占有一定市场份额，F160原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设
7、今年苹果的平均批发价为每箱 元，明年苹果的平均批发价为每箱 元，比较 的大1M2M12,小.（只需写出结论）(17)（本小题 14 分）如图 1，在矩形 中， ， 分别为 的中ABCD4,2A,EFO,DCAEB点.以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面EEPP(如图 2)ABC（）求证： 平面 ；POF（）求直线 与平面 所成角的正弦值；BC高三数学（理） 5 / 14（）在线段 上PE是否存在点 ,使得M平面 ? 若A BC存在，求 的值；若不存在，说明理由. (18)（本小题 13 分）已知椭圆 的离心率为 左顶点为 ，右焦点为 ，)0(12bayx，21AF且 .3AF
8、（）求椭圆的方程；（） 过点 做互相垂直的两条直线 ， 分别交直线 于 两点，直线1l2:4lx,MN分别交椭圆于 两点，求证： 三点共线.,AMN,PQ,PFQ(19)（本小题 13 分）已知函数 221()ln().fxmxxm（）当 时，求曲线 在 处的切线方程；0()yf（）若函数 的图象在 轴的上方，求 的取值范围.()fx(20)（本小题 13 分）若数列 满足： ，且 ，则称 为一个 数列. 对于一na0,1nN1anaX主 2POFE主 1 CBAOFEDCBA高三数学（理） 6 / 14个 数列 ，若数列 满足： ，且 ，则称 为Xnanb111|,2nnabbNnb的伴随数
9、列.n（）若 数列 中 ，写出其伴随数列 中 的值；na2341,0,anb234,（）若 为一个 数列， 为 的伴随数列. Xnb证明：“ 为常数列”是“ 为等比数列”的充要条件；n求 的最大值.2019b房山区 2019 年高考第一次模拟测试答案高三数学（理） 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B D A C A B B二、填空题（9） （10） （11） （12）11064（13） 答案不唯一 （14）224()()3fxfx；三、解答题（15） （本小题 14 分）（） 2 分120cos2in30f（） 由 得sx,kZ所以 函数的定义域是 5 分,2xk高三数
10、学（理） 7 / 14（） 9 分xxfcos21sin32ixcosin311 分 2si6即 0,x02x21sin()16361sin()x所以 函数 在 上的取值范围为 14 分f(0,2(1,2（16） （本小题 13 分）（）设事件 ：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低A于 160 元 ”. 由题意可得： =0.15+0.25+0.20=0.6 ()PA.3 分（）（1） 地抽取 ； 地抽取A2015%=3B201%=所以 5n分（2） 的可能取值 X,351(0)CP2135()X高三数学（理） 8 / 1481235()0CPX分所以 的分布列为0 1
11、 2P353101016()2010EX分（） 13 分12M（17） （本小题 14 分）（）在矩形 中， ， 是 中点，ABCD4,2AECD所以 即EP又 为 的中点，所以 1 分FF又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面BAPFAE所以 平面 2 分PABC平面BE所以 3 分F由 分别为 的中点，易知 ，所以,O, /FOABFC所以 平面 4 分BCP（）方法 1：过点 做平面 的垂线CEZ以 为原点，分别以 为 轴建立坐标系 O-O,OFBZ,xyzxyz则 (4,0)(,)(0,1)(2,0)(3,2)APzyxABCEFOP高三数学（理） 9 / 146 分(1,2),(3,
12、12),(0,)APBPCB设平面 的法向量为 ，C,nxyz由 得0nB320则 8 分(2,)9 分232cos, 1nAP所以 直线 与平面 所成角的正弦值 10 分BC方法 2：在平面 上过点 做 的垂线ADFAOX以 为原点，分别以 为 轴建立坐标系 -F,XOP,xyzFxyz则 (1,0)(,3)(1,0)(,)(0,2)BCE,2,2,APB设平面 的法向量为 ，(,)nxyz由 得则 0BnC320(,23)n（）在线段 上不存在点 ,使得 平面 .证明如下 11 分PEMA PBC点 在线段 上,设则M=0,1E，(1,2)(1,2)AA若 平面 ，则 PBCMn z yx
13、FPOECBA高三数学（理） 10 / 14由 得 解得 0AMn(1,(1)2(,03)20,1所以 在线段 上不存在点 ,使得 平面 . 14 分PEMA PBC（18） （本小题 13 分）（）设椭圆的半焦距为 , 依题意： ,解得：c3,2ca2,1ac所以 所以椭圆 的方程是 4 分,322abC.42yx（）证明：由题意可知，直线 , 的斜率均存在且不为 0，1l2 (,)(1,0AF设 , 的斜率分别为 , 则 5 分1l2k.121则直线 的方程为 则 点坐标为 , 1()yx， M134k设直线 的方程为 13,42AMkA),2(1xy由得：),2(,1xky 014)32
14、121kxk（因为 是方程的根，所以 , 2136kxp1126().3pPkyx同理可得8 分.,3262ykxQQ当 ，即 时，可得 21p2121,Qkx又 的坐标为 所以 三点共线； 9 分F(,0),PF当 ，即 ， 时2163pkx21k21高三数学（理） 11 / 14,123621kkPF2211226()31QFkk所以所以 三点共线 13 分QFP,P（19） （本小题 13 分）（）当 时， ，0m()lnfx()ln1fx所以 ，(1)f1所以曲线 在 处的切线方程是： 4 分yfxyx（）“函数 的图象在 轴的上方” ，等价于“ 时， 恒成立”()f 0()0f由 得
15、221lnxmx5 分() 1lnf mx当 时，因为 ， 不合题意 6 分0102f当 时，令 得 显然 7 分m()fx12,ex1em令 得 或 ；令 得()0fxem()0f2x所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，()f 1,e21,e210 分高三数学（理） 12 / 14当 时， ， 所以10ex， 20mxlnx221()ln0fxmx11 分只需 所以 ， 1l2428f 12e所以 13 分1em（20） （本小题 13 分）（） ， ， 3 分2211|ab33221|ab44331|2ab（）充分性：若 数列 为常数列Xn因为 ，所以1a1,N所以 ，又因为1
16、|,2nnnbb10b所以其伴随数列 是以 1 为首项，以 为公比的等比数列； 6n2分必要性：（方法一）假设数列 为等比数列，而数列 不为常数列nbna所以数列 中存在等于 0 的项，设第一个等于 0 的项为 ，其中na k1,kN高三数学（理） 13 / 14所以 ，得等比数列 的公比10|2kkbbnb1kbq又 ，得等比数列 的公比 ，与 矛盾+1|ka n+|2ka所以假设不成立所以当数列 为等比数列时，数列 为常数列.nbn综上 “ 为常数列”是“ 为等比数列”的充要条件 10ab分必要性：（方法二）若数列 为等比数列n若 ，即 ，得 ，则数列 的公比为 121a2021bnb所以 ，得 ，不符合题意32|3,a若 ，即 ，得 ，21a221b所以等比数列 的公比只可能为n所以 ，又 ，321|a20,1naN解得 ，即332同理依次可得 ， ， ， ，4a54a 1na所以数列 是值为 1 的常数列n（）当 时，1,na12nnb当 时，1,0n1n高三数学（理） 14 / 14当 时，10,na12nnb当 时，1,n10n综上 ，或 ，或 0，又由题意可知24nnbnb0nb所以 21nn所以 20192017109092bb当数列 时，,nkNa20190所以 的最大值为 13 分2019b1092
