1、1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一),第一章 1.3 三角函数的图象与性质,学习目标 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 余弦函数的图象,如何快速作出余弦函数的图象？,答案,答案 (1)依据诱导公式cos xsin ，要得到ycos x的图象，只须把ysin x的图象向左平移 个单位长度即可. 余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：,(2)在精确度要求不高时，要画出ycos x，x0，2的图象，可以通过描出(0，
2、1)， ，(，1)， ，(2，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数ycos x，x0，2的图象.,余弦函数ycos x的图象叫做余弦曲线.,梳理,思考1,知识点二 余弦函数的性质,观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？,答案,答案 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.,思考2,当自变量x分别取何值时，余弦函数ycos x取得最大值1和最小值1？余弦函数的周期性如何？,答案,答案 对于余弦函数ycos x，xR有： 当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1； 当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1. 和正弦函数一样，余弦
3、函数也是周期函数，最小正周期为2.,思考3,观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？,答案,答案 在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数ycos x的变化情况，我们先选取一个周期区间，来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之.函数ycos x，x，的图象如图所示：,观察图象可知， 当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1； 当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1. 推广到整个定义域可得： 当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1； 当x2k，(2
4、k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.,梳理,正弦函数、余弦函数的图象、性质对比,R,R,1，1,1，1,奇函数,偶函数,2,2,2k，2k (kZ),2k，2k,(kZ),x2k (kZ),x2k (kZ),答案 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式，得sin(x)sin x，cos(x)cos x对一切xR恒成立.,思考1,知识点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性,观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？,答案,答案 正弦函数ysin x的图象关于原点对称，余弦函数ycos x的图象关于y轴对称.,思考2,上述对称性反映出正、余弦函数分
5、别具有什么性质？如何从理论上加以验证？,梳理,正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：,研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论： (1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k，0)(kZ)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是xk (kZ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是 (kZ)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是xk(kZ).,题型探究,解答,类型一 求余弦函数的单调区间,反思与感悟,确定函数yAcos(x)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将x看作一个整体，利用基本
6、三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.,解答,解 根据复合函数“同增异减”的规律，,类型二 余弦函数的值域或最值,解答,反思与感悟,求三角函数最值的两种基本类型： (1)将三角函数式化为yAcos(x)k的形式，结合有界性求最值. (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.,求实数a的值.,a34，a1， 综上可知，实数a的值为2或1.,解答,类型三 余弦函数的对称性,(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；,解答,(2)把该函数的
7、图象向右平移个单位后，图象关于原点对称，求的最小正值.,解答,解 设该函数向右平移个单位后解析式为yf(x)，,yf(x)的图象关于原点(0，0)对称，,反思与感悟,关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论： (1)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的图象关于xx0对称f(x0)A或A. (2)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的图象关于点(x0，0)中心对称f(x0)0.,解答,当堂训练,1.函数f(x)cos 4x，xR是 A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数,答案,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,
8、5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.函数ycos x|cos x|，x0，2的大致图象为,显然只有D合适.,答案,2,3,4,5,1,解析,A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移 个单位，得g(x)的图象 D.向右平移 个单位，得g(x)的图象,答案,解析,2,3,4,5,1,结合图象可得,规律与方法,1.余弦函数ycos x(xR)是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2.与yAsin(x)一样，函数yAcos(x)(0)的周期也是 2.与正弦函数类似，函数yAcos(x)(0，0)的图象也可由ycos x的图象通过变换得到，变换规律相同. 3.在研究yAcos(x)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在x2k(kZ)时取得最大值，在x2k(kZ)时取得最小值.,本课结束,
