1、1 从位移、速度、力到向量,第二章 平面向量,学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 向量的概念,在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？,答案,答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.,思考2,两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
2、,答案,答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.,向量与数量 (1)向量：既有 ，又有 的量统称为向量. (2)数量：只有 ，没有 的量称为数量.,梳理,大小,方向,大小,方向,思考1,知识点二 向量的表示方法,向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？,答案,答案 可以用一条有向线段表示.,思考2,0的模长是多少？0有方向吗？,答案,答案 0的模长为0，方向任意.,思考3,单位向量的模长是多少？,答案,答案 单位向量的模长为1个单位长度.,梳理,(1)向量的表示 具有 和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫作有向线段 的长度
3、，记作 . 向量可以用 来表示.有向线段的长度表示 ，即长度(也称模).箭头所指的方向表示 . 向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用 来表示. (2) 的向量叫作零向量，记作 ；_的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.,有向线段,向量的大小,向量的方向,长度为0,与向量a同方向，且长度,为单位1,方向,思考1,知识点三 相等向量与共线向量,已知A，B为平面上不同两点，那么向量 和向量 相等吗？它们共线吗？,答案,答案 因为向量 和向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.,思考2,向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗
4、？,答案,答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.,思考3,若ab，bc，那么一定有ac吗？,答案,答案 不一定.因为当b0时，a，c可以是任意向量.,梳理,(1)相等向量： 且 的向量叫作相等向量. (2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线. 记法：a与b平行或共线，记作 . 规定：零向量与 平行.,长度相等,方向相同,平行或重合,ab,任一向量,题型探究,例1 下列说法正确的是 A.向量 与向量 的长度相等 B.两个有共同起
5、点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量没有方向 D.任意两个单位向量都相等,类型一 向量的概念,解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.,答案,解析,解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.,反思与感悟,解析 错误.|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系. 错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 、 必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.
6、 正确.向量 和 是长度相等，方向相反的两个向量.,跟踪训练1 下列说法正确的有_. 若|a|b|，则ab或ab； 向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上； 向量 与 是平行向量.,答案,解析,例2 如图所示，ABC的三边均不相等， E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.,类型二 共线向量与相等向量,(1)写出与 共线的向量；,解答,解 因为E、F分别是AC、AB的中点，,又因为D是BC的中点，,(2)写出与 的模大小相等的向量；,解答,(3)写出与 相等的向量.,解答,(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.,反思
7、与感悟,跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.,解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.,(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？,解 存在.,(1)与 的模相等的向量有多少个？,由正六边形的性质可知，BCAOEF，,解答,解 由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，,(3)与 共线的向量有哪些？,解答,例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.,类型
8、三 向量的表示及应用,解答,(2)求| |.,解答,在四边形ABCD中，AB綊CD， 四边形ABCD为平行四边形，,准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.,反思与感悟,跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.,解答,解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).,(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；,解 由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心， 为半径的圆(作图略).,(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c| ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？,当堂训练,1.下列
9、结论正确的个数是 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 向量的模是一个正实数； 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； 若|a|b|，则ab. A.0 B.1 C.2 D.3,2,3,4,1,答案,解析,2,3,4,1,解析 温度没有方向，所以不是向量，故错； 向量的模也可以为0，故错； 向量不可以比较大小，故错； 若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对.,2.下列说法错误的是 A.若a0，则|a|0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的,答案,2,3,4,1,解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量
10、都平行，所以B是错误的.,解析,3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关系是,2,3,4,1,答案,解析 | |与| |表示等腰梯形两腰的长度，故相等.,解析,4.如图所示，在以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.,2,3,4,1,解答,(1)写出与 、 相等的向量；,2,3,4,1,解答,(2)写出与 的模相等的向量.,规律与方法,1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.,本课结束,
