1、2.2.3 等差数列的前n项和(一),第2章 2.2 等差数列,1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 数列前n项和的概念 把a1a2an叫数列an的前n项和，记作 . a1a2a3an1 (n2). 思考 由Sn与Sn1的表达式可以得出,答案,Sn1,Sn,知识点二 等差数列前n项和公式、推导和
2、认识 1.公式：若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn.,答案,n(a1an) 2,2.若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn .,na1 1 2 n(n1)d,3.推导：(方法：倒序相加法) 过程：Sna1a2an， Snanan1a1， a1ana2an1ana1， 2Snn(a1an)， Sn n(a1an) 2 .,4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式 (1)公式的变形,(2)从函数角度认识公式 当d0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项； 当d0时，Snna1，不是项数n的二次函数. (3)结论及其应用 已知数列an的前n项和SnAn2BnC， 若C
3、0，则数列an为等差数列； 若C0，则数列an不是等差数列.,思考 等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d .,解析答案,解析 S3a1a2a33a26， a22， 又a14，d2.,2,知识点三 等差数列前n项和的性质,答案,2.若Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为 .,m2d,3.设两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则 an bn S2n1 T2n1 .,4.若等差数列的项数为2n，则S2nn(anan1)，,5.若等差数列的项数为2n1，则S2n1(2n1)an1，,思考
4、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是 .,返回,答案,解析 设an的前3m项和是S， Sm，S2mSm，S3mS2m分别为30,70，S100. 由性质知30,70，S100成等差数列. 27030(S100)，S210.,210,题型探究 重点突破,题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算 例1 在等差数列an中.,解析答案,(2)a14，S8172，求a8和d.,解析答案,反思与感悟,解得a839， 又a84(81)d39，d5. a839，d5.,a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可
5、知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.,反思与感悟,跟踪训练1 在等差数列an中. (1)已知a610，S55，求a8和S10；,解析答案,a8a62d102316，,(2)已知a3a1540，求S17.,解析答案,题型二 等差数列前n项和性质的应用 例2 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7 .,解析答案,49,解析答案,解析答案,75,反思与感悟,等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn n(a1an) 2 ，设法求出整体a1an，再代入求解. (2)待定系数法：利用Sn是关于n的
6、二次函数，设SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出A，B即可，或利用 Sn n 是关于n的一次函数，设 Sn n anb(a0)进行计算. (3)利用Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列进行求解.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .,解析 由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945.,45,解析答案,(2)已知两个等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求 a9 b9 的值.
7、,解析答案,方法二 数列an，bn均为等差数列， SnA1n2B1n，TnA2n2B2n.,令Sntn(2n1)， Tntn(3n2)，t0，且tR，,anSnSn1 tn(2n1)t(n1)(2n21) tn(2n1)t(n1)(2n1) t(4n1)(n2)， bnTnTn1 tn(3n2)t(n1)(3n5) t(6n5)(n2).,题型三 等差数列前n项和公式在实际中的应用 例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月
8、该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解析答案,反思与感悟,解 设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则 a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列， 所以有S20 60(60190.5) 2 201 105(元)， 即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).,反思与感悟,建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 植树节期
9、间，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米.,解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S920 98 2 201020 109 2 202 000 米.,2 000,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是
10、 .,解析 S10 10(a1a10) 2 5(a1a10)120， a1a1024.,24,解析答案,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中，a2a519，S540，则a10 .,解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知得,29,解析答案,a1029329.,解析 易知(a3a8)29. an0，a3a83.,1,2,3,4,5,3.已知数列an中，a3a82a3a89，且an0，则S10 .,15,解析答案,2,2,1,2,3,4,5,解析答案,4.等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，且所有项之和为210，则此数列的项数为 .,解析 由题意知a1a2a3a41
11、24， anan1an2an3156， 4(a1an)280， a1an70. 又S n(a1an) 2 n 2 70210，n6.,6,1,2,3,4,5,解析答案,5.在等差数列an中，an2n3，则等差数列an从第100项到第200项之和S的值为 .,解析 a100203， S203101 101100 2 230 603.,30 603,课堂小结,1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论“若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，若mn2p，则anam2ap”的应用. 3.本节的思想方法：方程思想，函数思想，整体思想.,返回,
