1、第3课时 直线与平面垂直的判定,第1章 1.2.3 直线与平面的位置关系,学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与平面垂直的定义,任意一条,a,垂线,垂面,垂足,知识点二 直线和平面垂直的判定定理,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系. 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？,答案 不一定.,思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？,答案 当ADBD且ADCD时
2、，折痕AD与桌面垂直.,梳理,两条相交直线,mn,思考辨析 判断正误 1.若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( ) 2.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.( ) 3.若ab，b，则a.( ),题型探究,例1 下列命题中，正确的序号是_. 若直线l与平面内的一条直线垂直，则l； 若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线； 若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直； 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.,类型一 线面垂直的定义,答案,解析,解析 当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确； 当l与不垂直时，l可能与内的无数条平
3、行直线垂直，所以不正确，正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.故填.,反思与感悟 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. (2)由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.,跟踪训练1 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是_.(填序号) 若lm，m，则l； 若l，lm，则m； 若l，m，则lm； 若l，m，则lm.,答案,解析 对于，直线
4、lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直； 对于，因为l，则l垂直于内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故正确； 对于，也有可能是l，m异面；对于，l，m还可能相交或异面.,解析,类型二 线面垂直的判定定理的应用,命题角度1 证明线面垂直 例2 如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，求证：AE平面PBC.,证明,证明 PA平面ABC， PABC. 又AB是O的直径， BCAC. 而PAACA，BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE. PCAE，且PCBCC
5、， AE平面PBC.,引申探究 若本例中其他条件不变，作AFPB于点F，求证：PB平面AEF.,证明,证明 PA平面ABC，且BC平面ABC， PABC. 又AB是O的直径， BCAC，而PAACA， BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE， 又PCAE，且PCBCC， AE平面PBC， 又PB平面PBC，AEPB， 又AFPB，且AEAFA， PB平面AEF.,反思与感悟 应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.,证明,跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABC
6、D的中心，求证：OE平面ACD1.,证明 连结BD，AE，CE，D1O，D1E，B1D1， 设正方体的棱长为a，易证AECE. AOOC，OEAC. 在正方体中易求出,D1O2OE2D1E2，D1OOE. D1OACO，D1O，AC平面ACD1， OE平面ACD1.,命题角度2 证明线线垂直 例3 如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2). (1)求证：DE平面A1CB；,证明,证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DEBC. 又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB， 所以D
7、E平面A1CB.,(2)求证：A1FBE.,证明,证明 由已知得ACBC且DEBC， 所以DEAC. 所以DEA1D，DECD. 所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE， 所以A1F平面BCDE， 所以A1FBE.,反思与感悟 线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直.,跟踪训练3 如图所示，若MC菱形ABCD所在的平面， 求证：MABD.,证明,证明 连结AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC. 又MC平面ABCD，则BDMC. 因为ACMCC，所以BD平面AMC. 又MA平
8、面AMC，所以MABD.,达标检测,答案,解析,1.若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_.(填序号) 三角形的两边； 梯形的两边； 圆的两条直径； 正六边形的两条边.,1,2,3,4,5,解析 由线面垂直的判定定理可知，能判定直线与平面垂直； 中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直； 中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直.,答案,解析,2.给出下列命题，其中正确命题的序号是_. 垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面； 垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线； 过一点和已知平面垂直的直线只有一条； 过一点和已知直线
9、垂直的平面只有一个.,解析 由直线与平面垂直的定义知，正确； 显然正确.,1,2,3,4,5,答案,3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD， AF2，CD3，则CE_.,1,2,3,4,5,解析 AF平面ABCD， 又DEAF， DE平面ABCD， DECD. DEAF2，CD3，,解析,答案,解析,4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD的形状是_.,菱形,1,2,3,4,5,解析 如图， PA平面ABCD， PABD.又PCBD， BD平面PAC， BDAC， 则平行四边形ABCD是菱形.,证明,1,2,3,4,5,5.如图，在四棱锥
10、PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2 ，E，F分别是AD，PC的中点.证明：PC平面BEF.,1,2,3,4,5,证明 如图，连结PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE， 所以PECE， 即PEC是等腰三角形. 又F是PC的中点， 所以EFPC.,又F是PC的中点，所以BFPC. 又BFEFF，所以PC平面BEF.,1.线线垂直和线面垂直的相互转化,规律与方法,2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.,3.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.,
