1、1.1.1 棱柱、棱锥和棱台,第1章 1.1 空间几何体,学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义. 2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念. 3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 棱柱的结构特征,思考 观察下列多面体，有什么共同特点？,答案 (1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行； (2)其余各面都是平行四边形.,梳理 棱柱的结构特征,知识点二 棱锥的结构特征,思考 观察下列多面体，有什么共同特点？,答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.,
2、梳理 棱锥的结构特征,公共边,知识点三 棱台的结构特征,思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？,答案 (1)区别：有两个面相互平行. (2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.,梳理 棱台的结构特征,平行于,棱锥底面,知识点四 多面体,思考 一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？,答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点.,梳理,平面多边形,多边形,公共边,思考辨析 判断正
3、误 1.棱柱的侧面都是平行四边形.( ) 2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( ) 3.若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体.( ) 4.棱柱的两个底面是全等的多边形.( ),题型探究,命题角度1 棱柱的结构特征 例1 下列关于棱柱的说法： 所有的面都是平行四边形； 每一个面都不会是三角形； 两底面平行，并且各侧棱也平行； 被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是_.,类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征,答案,解析,解析 错误，底面可以不是平行四边形； 错误，底面可以是三角形； 正确，由棱柱的定义可知； 正确，
4、被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.,反思与感悟 关于棱柱的辨析 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. 两个底面互相平行；其余各面是四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.,跟踪训练1 关于棱柱，下列说法正确的是_.(填序号) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； 棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； 上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.,答案,解析,解析 不正确，反例如图所示.,正确，由棱柱定义可
5、知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形. 不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.,命题角度2 棱锥、棱台的结构特征 例2 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？,解答,解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥.,(2)如图所示的多面体是不是棱台？,解答,解 根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行.即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可. 据此，图中多面体各侧棱的延长线不相交于同一点，故不是棱台； 图中多
6、面体不是由棱锥截得的，不是棱台； 图中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.,反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法,跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法： 棱台的侧面一定不会是平行四边形； 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是_.,解析 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； 正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； 错误，如图所示四棱锥被阴影部分所在的平面截成的两部 分是两个三棱锥.
7、,答案,解析,类型二 棱柱、棱锥、棱台的画法,例3 画出一个三棱柱和一个四棱台.,解答,解 (1)画三棱柱可分以下三步完成： 第一步，画上底面画一个三角形； 第二步，画侧棱从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段； 第三步，画下底面顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).,(2)画四棱台可分以下三步完成： 第一步，画一个四棱锥； 第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段； 第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).,反思与感悟 在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图
8、形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.,解答,跟踪训练3 画一个六面体. (1)使它是一个四棱柱； (2)使它是由两个三棱锥组成； (3)使它是五棱锥.,解 如图所示：图1是一个四棱柱， 图2是一个由两个三棱锥组成的几何体， 图3是一个五棱锥.,例4 如图所示，在侧棱长为2 的正三棱锥VABC中， AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，求截 面AEF周长的最小值.,类型三 空间问题与平面问题的转化,解答,解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示. 线段AA1的长为所求AEF周长的最小值. 取AA1的中点D，
9、 则VDAA1，AVD60， 可知AD3，则AA16. 即截面AEF周长的最小值为6.,反思与感悟 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图. (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题. (3)结合已知条件求得结果.,跟踪训练4 如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为_.,答案,解析,达标检测,答案,解析,1.有下列三个命题： 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰
10、梯形的六面体是棱台. 其中正确的有_个.,1,2,3,4,5,0,解析 中的平面不一定平行于底面，故错； 可用反例去检验，如图所示，各侧棱延长线不能相交于一点，故错.,答案,解析,2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_ cm.,解析 因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为 12(cm).,1,2,3,4,5,12,答案,解析,3.下列说法错误的是_.(填序号) 多面体至少有四个面； 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形； 长方体、正方体都是棱柱； 三棱柱的侧面为三角形.,解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故错.,1,2,3
11、,4,5,答案,解析,4.下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台.(仅填相应序号), ,1,2,3,4,5,解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，是棱柱，是棱锥，是棱台.,答案,1,2,3,4,5,5.下图中不可能围成正方体的是_.(填序号),1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点 (1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可： 有两个平面(底面)互相平行. 其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行. (2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可： 有一个面(底面)是多边形. 其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.,规律与方法,2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.,
