1、第2课时 函数单调性的应用,第2章 2.2.1 函数的单调性,1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求简单函数的最大值或最小值.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 函数的最大(小)值,设yf(x)的定义域为A，如果存在x0A，使得对于任意xA，都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的 ， 记为ymaxf(x0)(yminf(x0).,最大(小)值,答案,答案,思考 任何函数都有最大(小)值吗？,答 不一定.函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素.若仅有对定义域内
2、的任意实数x，都有f(x)M，但M不在函数值域内，则M不能称为函数的最值.,对于任意x(0,1)，0y1成立，由于0,1不在值域(0,1)内，因此0,1都不是这个函数的最值，这个函数既没有最大值也没有最小值.,知识点二 函数最大(小)值的几何意义,1.函数的最大值是函数yf(x)图象上最高点的纵坐标. 2.函数的最小值是函数yf(x)图象上最低点的纵坐标.,返回,解析答案,反思与感悟,题型探究 重点突破,题型一 利用函数的图象求最值,解 作出函数f(x)的图象(如右图).,由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1. 当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值
3、为0.,(1)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值. (2)如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 (1)函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在2,2上的最小值，最大值分别是_.,解析 由图象可知， x2时，f(x)取得最小值为f(2)1， x1时，f(x)取得最大值为f(1)2.,1,2,解析答案,解 f(x)的图象如右图所示，,f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，,
4、函数的最小值为f(0)1.,题型二 利用单调性求函数的最值,解析答案,反思与感悟,解 任取2x10)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论： 对称轴xh在区间p，q的左侧，即当h2，,f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立，试求实数a的取值范围.,解 在区间1，)上f(x)0恒成立 x22xa0恒成立. 设yx22xa，x1，)， 则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数. 所以当x1时，y取最小值，即ymin3a， 于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立， 故a3.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度
5、或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： af(x)恒成立af(x)max af(x)恒成立af(x)min.,跟踪训练5 设f(x)x24x3，不等式f(x)a对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.,解析答案,返回,解析 f(x)x24x3(x2)21， 由f(x)a恒成立，知f(x)mina， a1.,(，1,当堂检测,1,2,3,4,解析答案,解析 函数yx在1,2上是增函数，,1,2,3,4,2.函数f(x)x22x1，x2,2的最大值是_.,解析答案,解析 f(x)x22x1(x1)2， f(x)在2，1上递减，在1,2上递增， f(x)maxf(2)9.,9,1,2,3
6、,4,解析答案,作出函数f(x)的图象如右图所示.,易知f(x)maxf(4)6.,6,1,2,3,4,解析答案,解析 当0x1时，f(x)的最大值是f(1)2， 又当1x2时，f(x)2； 当x2时，f(x)3，则f(x)的最大值是3.,3,课堂小结,1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.,返回,
