1、2.5 等比数列的前n项和(二),第二章 数列,1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.会用错位相减法求和,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征,若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？,答案,当公比q1时，设A 等比数列的前n项和公式是SnA(qn1) 当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数,梳理,知识点二 等比数列前n项和的性质,思考,答案,若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？,设an的
2、公比为q，则 Sna1a2an， S2nSnan1an2a2n a1qna2qnanqn qnSn， S3nS2na2n1a2n2a3n an1qnan2qna2nqn qn(S2nSn)， Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.,梳理,等比数列an前n项和的三个常用性质 (1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列 (2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*) (3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，,知识点三 错位相减法,在等式两端乘以公
3、比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可,思考,答案,在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列an的前n项和Sna1a2an的？,梳理,如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，一般使用如下方法： Sna1b1a2b2anbn， qSna1b1qa2b2qanbnq a1b2a2b3anbn1， 得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1 a1b1d(b2b3bn)anbn1,上述方法称为“错位相减法”,题型探究,例1 已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an A.一定是等差数列 B.一定
4、是等比数列 C.是等差数列或等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列,类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用,当n2时，anSnSn1(a1)an1； 当n1时，a1a1，满足上式， an(a1)an1，nN*.,数列an是等比数列.,答案,解析,(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列.,反思与感悟,跟踪训练1 若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.,显然q1，此时应有SnA(qn1)，,答案,解析,命题角度1 连续n项之和问题 例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，,类型二 等比数列前n项和的
5、性质,证明,方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，,方法二 根据等比数列的性质有 S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，,反思与感悟,处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.,跟踪训练2 在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.,因为S2n2Sn，所以q1，,解答,命题角度2 不连续n项之和问题,a2a4a6a8 a1qa3qa5
6、qa7q q(a1a3a5a7),答案,解析,反思与感悟,注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快.,跟踪训练3 设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 _.,答案,解析,272, 是首项为b2，公比为2的等比数列.,类型三 错位相减法求和,解答,反思与感悟,一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,跟踪训练4 求和：Snx2x23x3nxn (x0).,当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn1， (1x)Snxx2x
7、3xnnxn1,解答,当堂训练,1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是 A.190 B.191 C.192 D.193,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,当n2时，anSnSn12x3n2， an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，,1,2,3,4,3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 A.180 B.108 C.75 D.63,由题意得S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3， 即S21S143，S2163.,1,2,3,4,答案,解析,4.在数列an中，an1
8、can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_.,当n1时，a1S13k， 当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k) 3n3n123n1. 由题意知an为等比数列，所以a13k2， 所以k1.,1,2,3,4,答案,解析,1,规律与方法,1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想： (1)分类讨论思想： 利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a11或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列.,本课结束,
