1、专题 19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳 )简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比 )简言之，类比推理是由
2、特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论( 包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想3.演绎推理演绎推理
3、是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法推证过程如下： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已 知条件或已知事实吻合
4、为止这种证明方法常称为分析法推论过程如下： 得到一个明显成立的条件QP1 P1P2 P2P3P表示条件，Q表示要证的结论 练习 4.九章算术 “少广” 算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n及 3时，如图：记 nS为每个序列中最后一列数之和，则 7S为（ ）A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520【答案】A【 解析】当 7n时，序列如图：故练习 5. 如图所示为计算
5、机科学中的蛇形模型，则第 20 行从左到右第 4 个数字为_【答案】194【解析】 由题意得，前 19行共有 个数，第 19行最左端的数为 190，第 2行从左到右第4个数字为 .点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利 用等差数列的通项公式及前 n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习 6(导学号：05856327)观察下列等式：1 12 3 6；1 2 4 16 2；1 5 1612 0；，以此类推，1 12 6 7 0 ，其
6、中 nN *.则 n_.【答案】12【解析】1 ( 3) ，1 ( 13)( 4) 1，1 2( 1)( 4)( 5) ，以此类推，故 1 ( )( )( )( 6)( 7) 6 7 12 0 3 12，故 n12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目
7、的归纳和图形变化规律的归纳.练习 7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【答案】 （1） （2）见解析【解析】 （1） （2）三角恒等式： 证明如下：左边2.类比法例 2. 二维空间中，圆的一维测度（周长） 2lr，二维测度（面积） 2Sr，三维空间中，球的二维测度（表面积） 24Sr，三维测度（体积） 34V，应用合情推理，若四维空间中， “超球”的三维测度 38Vr,则其思维测度 W=（ ）A. 42 B. 4 C. 4r D. 46r【答
8、案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故 42Wr选 A练习 1. 如图所示，由曲线 yx 2，直线 xa，xa1(a0)及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 .运用类比推理，若对nN *，恒成立，则实数 A_.【答案】 ln2练习 2. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 为斜边，则 a2b 2c 2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体 O AB
9、C 中，AOBBOCCOA90，S 为顶点 O 所对面的面积，S1，S 2，S 3 分别为侧面OAB，OAC， OBC 的面积，则下列选项中对于 S，S 1，S 2，S 3 满足 的关系描述正确的为( )A. S2S S S B. C. SS 1S 2S 3 D. 【答案】A【解析】如图，作 ODBC 于点 D，连接 AD，由立体几何知识知，ADBC，从而 S2( 1BCAD)2 14BC2AD2 BC2(OA2OD 2) 14 (OB2OC 2)OA2 14BC2OD2( 1OBOA)2( OCOA)2( BCOD)2 .练习 3. 对于问题“已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集为
10、(1,2)，解关于 x 的不等式 ax2bxc 0”，给出如下一种解法：由 ax2bxc0 的解集为(1,2)，得 a(x )2b(x)c 0 的解集为( 2,1)，即关于 x 的不等式ax2bxc0 的解集为(2,1)思考上述解法，若关于 x 的不等式 的解集为 ，则关于 x 的不等式的解集为( )A. (3，1) (1,2) B. (1,2)C. (1,2) D. (3,2)【答案】A【解析】由关于 x 的不等式 的解集为 ，得 的解集为(3，1) (1,2)，即关于 x 的不等式 的解集为(3，1) (1,2)练习 4 已知数列a n为等差数列，若 ama，a nb( n m1，m，nN
11、 *)，则 .类比上述结论，对于等比数列b n(bn0，nN *)，若 bmc，b nd(nm 2，m，nN *)，则可以得到 bmn 等于( )A. mndcB. mndcC. nm D. mn【答案】C【解析】观察a n的性质： ，则联想 nb ma 对应等比数列b n中的nmdc，而a n中除以(nm) 对应等比数列中开( nm)次方，故 bmn ndc.练习 5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，
12、把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 613用算筹表示就是 ，则 127用算筹表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择 1227 中每个数字对应的图，可 选答案为 B。故答案为：B。练习 6. AC的三边长分别为 ,abc， ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则 ；类比这个结论可知: 四面体 PABC的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 R，四面体PABC的体积为 V， R (
13、)A. B. C. D. 【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为 O，则球心 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体积为 ，故选 C.3.数学归纳法例 3. 1下面四个判断中，正确的是（ ）A. 式子 ，当 1n时为 1B. 式子 ，当 时为 +kC. 式子 ，当 1n时为 23D. 设 ，则【答案】C【解析】对于 A，当 n=1 时，f（k）恒为 1+k，错误；对于 B，当 n=1 时，f （k）恒为 1，错误；对于 C，当 n=1 时，f （n）为 +23，正确；对于 D，f（k+1）=f（k）+ 1k，错误；故选
14、：C练习 1. 用数学归纳法证明 时，从“到 ”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设条件得，当时，有 ；当 n=k+1 时，等式左边为.所以左边要增乘的代数式为 .故选 D.练习 2. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点) 有 n(n1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 等于( )A. 2013 B. 2 C. 0145 D. 2013【答案】C【解析】每条边有 n 个点，所以 3 条边有 3n 个点，三角形的 3 个顶点重复计算了一次，所以减 3 个顶点，即 an3n3，那么 ，即 ，故选 C.4分析法例 4. 淮北一
15、中艺术节对摄影类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学 对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖” ；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖 ”；丁说：“是 C 作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.A. A 作品 B. B 作品 C. C 作品 D. D 作品【答案】B【解析】根据题意，A，B，C，D 作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品 A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品 B 为一等奖，则甲、丁的说法都
16、错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品 C 为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品 D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品 B 为一等奖；故选：B练习 1. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第 3 小组那位不一样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）A. 甲、乙、丙 B. 甲、丙、乙 C. 乙、甲、丙 D. 丙、甲、乙【答案】B【解析】甲和三人中的第 3小组
17、那位不一样，说明甲不在第 3小组；三人中第 3小组那位比乙分数高，说明乙不在第 3 组，说明丙在第 3 组，又第 3 组成绩低于第 1 组，大于乙，这时可得乙为第 2 组，甲为第 1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选 B.练习 2老师在四个不同的盒子里面放了 4 张不同的扑克牌，分别是红桃 A，梅花 ，方片 A以及黑桃 ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第 1 个盒子里面放的是梅花 A，第 3 个盒子里面放的是方片 ；小红说：第 2 个盒子里面饭的是梅花 ，第 3 个盒子里放的是黑桃 ；小张说：第 4 个盒子里面放的是黑桃 ，第 2 个盒子里面放的是方片 A；小李说：第 4
18、 个盒子里面放的是红桃 ，第 3 个盒子里面放的是方片 ；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半 ”则可以推测，第 4 个盒子里装的是（ ）A. 红桃 A或黑桃 B. 红桃 A或梅花C. 黑桃 或方片 D. 黑桃 或梅花【答案】A【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：（1）当小明猜对第 1 个盒子里面放的是梅花 A 时，第 3 个盒子里面放的不是方片 A，则小李猜对第 4 个盒子里面放的时红桃 A，小张猜对第 2 个盒子里面放的是方片 A，小红猜对第 3 个盒子里面放的是黑桃A；（2）若小明猜对的是第 3 个盒子里面放的是方片 A，则第 1 个盒子里面放的不是梅花
19、A,小红猜对第 2 个盒子里面放的是梅花 A，小张猜对第 4 个盒子里面放的是黑桃 A，小李猜对第 3 个盒子里面放的是方片 A,则第一个盒子只能是红桃 A,故选 A.5.综合法例 5. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法 ， 在其年幼时，对 123100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法现有函数 f(x) 36054m，则 f(1)f (2)f (m2017)等于( )A. 20173m B. 21 C. 20176
20、D. 1083【答案】C练习 1. 若 a，b 是常数，a0，b0，ab，x，y(0，)，则 ，当且仅当 ax by时取等号利用以上结论，可以得到函数 f(x) 341x (0x 3)的最小值为( )A. 5 B. 15 C. 25 D. 2【答案】C【解析】由题意可得 f(x) 341x213x 225，当且仅当 3 21，即 x 5时取等号，故最小值为 25.故选：C练习 2. 在直角坐标平面 xOy上的一列点 简记为 nA若由构成的数列 nb满足 其中 j为方向与 y轴正方向相同的单位向量，则称 nA为 T点列.有下列说法 为 T点列；若 nA为 T点列，且点 2A在点 1的右上方.任取
21、其中连续三点 则 12kA可以为锐角三角形；若 n为 点列，正整数若 ，满足 则若 A为 T点列，正整数若 ，满足 则 .其中，正确说法的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题意可知， ，显然有 是 T点列，正确；在 12kA中， ， 点 2A在点 1的右上方，为 T点列， ， ，则， 为钝角， 为钝角三角形， 12kA不可以为锐角三角形，错； ， ， ，正确；同理 ， 由于 nA为 T点列，于是 1pnb，可推导， ，即 ，正确，正确说法的个数为 3，故选 C.6.反证法例 6.（1）用分析法证明：当 0x， y时， ；（2）证明：对任意 R， 13， 2x，
22、 1x这 3个值至少有一个不小于 0.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)对不等式移项变形，两边为正后，即证平方后的不等式成立。（2）假设命题的结论不成立，由假设的不等式同向相加推出与己知事实矛盾。试题解析;（1）要证不等式成立，只需证 成立，即证： 成立，即证： 成立，即证： 20xy成立，因为 ,所以 20xy，所以原不等式成立.（2）假设 这 3 个值没有一个不小于 0，即则 ， （*）而 .这 与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.【点睛】分析法是“执果索因” ，是寻找命题成立的充分条件，如果条件成立的话，则命题成立。反证法是，假设命题的结论不成立，即反面
23、成立，再根据假设及条件及己知公式定理，推出与条件或定理公理或已知事实矛盾的结论，即假设不成立，原命题成立。练习 1已知 ，则下列三个数 （ ）A. 都大于 6 B. 至少有一个不大于 6C. 都小于 6 D. 至少有一个不小于 6【答案】D【解析】设 都小于 6，则 4ab+ 9c+ 16a18，利用基 本不等式可得 4b+ 2 4bA+2 16a+2 9cA=4+8+6=18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数 至少有一个不小于 6，故选：D练习 2已知 ，则下列三个数 （ ）A. 都大于 6 B. 至少有一个不大于 6C. 都小于 6 D. 至少有一个不小于 6【答案】D【解
24、析】设 都大于 6， 则 4ab+ 9c+ 16a18，利用基本不等式可得 4b+ 2 4bA+2 16a+2 9cA=4+8+6=18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数 至少有一个不小于 6，故选：D练习 3 已知 32pq，求证 2pq，用反证法证明时，可假设 2pq； 设 a为实数，求证 1f与 2f中至少有一个不小于 12，有反证法证明时可假设 12f，且 12f，以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确C. 的假设正确， 的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确【答案】C【解析】用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以 2pq的假命题应
25、为 2pq，故的假设正确； 1f与 2f中至少有一个不小于 12的否定为 1f与 f中都小于 1，故的假设错误；故选 C.练习 4设 m、 n、 t都是正数，则 4mn、 t、 4m三个数（ ）A. 都大于 B. 都小于 C. 至少有一个大于 D. 至少有一个不小于 4【答案】D【解析】假设 4n、 t、 4三个数都小于 4，则：，利用均值不等式的结论有：得到矛盾的结论，可见假设不成立，即 4mn、 t、 4m三个数中至少有一个不小于 4.本题选择 D 选项. 【方法总结】：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面； (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作
26、为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的练习 5用反证法证明命题：“ ,Nab，若 可被 5整除，那么 ,ab中至少 有一个能被 5整除 ”时，假设的内容应该是A. ,ab都能被 5 整除 B. ,都不能被 5 整除C. 不都能被 5 整除 D. a能被 5 整除【答案】B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“ ,Nab，如果 ab可被 5整除，那么 ab， 至少有 1 个能被 5 整除 ”的否定是“ ab， 都不能被 5 整除”，
27、故选 B.练习 6当 1x时，求证： ； 已知 R， 试证明 ,abc至少有一个不小于 1【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由 ，当 1x时，可得 ，即可证明结论；可用反证法：假设 ,abc都小于 1，即 ，可得 3abc，进而 ，即可得到矛盾，即可作出证明试题解析： 1x 假设 ,abc都小于 1，即则有 3abc 而 与矛盾故 ,abc至少有一个不小于 1练习 7已知 nS是数列 na的前 项和，并且 1a，对任意正整数 n， ，设（ 1,23 ）.（1）证明：数列 nb是等比数列，并求 nb的通项公式；（2）设 3nC，求证：数列 1nC不可能为等比数列.【答
28、案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用 an+1=Sn+1-Sn 可知证明 an+1=4（a n-an-1） ，通过 bn=an+1-2an 可知 bn+1=2（a n+1-2an） ，通过作商可知b n是公比为 2 的等比数列，通过 a1=1 可知 b1=3，进而可得结论；（2）假设 1 nC为等比数列， 则有 , n2, 则有 n-20，故假设不成立，则数列 不可能为等比数列 .(II) ，假设 1 nC为等比数列，则有, n2, 则有 =0 与 1 矛盾，所以假设不成立，则原结论成立，即数列 1nC不可能为等比数列 练习 8 （1）若 ,xy都是正实数，且
29、2xy，求证： 12xy与 y中至少有一个成立。（2）求证： 【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立 （2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可。解析：（1）假设 xy2 和 1y2 都不成立，即 1xy2 和 y2 同时成立 x0 且y0，1+x2y，且 1+y2x 两式相加得 2+x+y2x+2y，x+y2这与已知条件 x+y2 矛盾， 1xy2 和 y2 中至少有一个成立 （2）原式子等价于 2 ，两边平方得到，得证。7.三段论例 7. 有一段“三段论” 推理是这样的：对于
30、可导函数 f(x)，如果 f(x0)0，那么 xx 0 是函数 f(x)的极值点，因为函数 f(x)x 3 在 x0 处的导数值f(0)0，所以 x0 是函数 f(x)x 3 的极值点以上推理中 ( )A. 小前提错误 B. 大前提错误C. 推理形式错误 D. 结论正确【答案】B【解析】大前提：如果 f(x0)0，那么 xx 0 是函数 f(x)的极值点，错误练习 1. 推理过程：“因为无理数是无限小数， 是无限小数，所以 13是无理数”，以下说法正确的是（ ）学-科网A. 完全归纳推理，结论正确 B. 三段论推理，结论正确C. 传递性关系推理，结论正确 D. 大前提正确，推出的结论错误【答案】D【解析】推理过程：“因为无理数是无限小数, 是无限小数,所以 13是无理数”，大前提：无理数是无限小数，小前提：(某是无理数) 是无限小数，结论：(某是无限小数) 13是无理数，其中，大前提正确，推理的结论错误。故选：D.
