1、第 1 页，共 16 页山东省泰安市 2019 届高三一轮复习质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若集合 ， 0，1， ，则 =|20,0,|0,0,|5,则 (2019)( )A. 2 B. C. D. 326 27【答案】A【解析】解： 函数 ， ()=2(8),5(5),5(2019)=(4)=24=2故选：A推导出 ，由此能求出结果(2019)=(4)第 5 页，共 16 页本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10. 在 中，三边长分别为 a， ， ，最小角的余弦值为 ，则这个三角 +2 +41314形的
2、面积为 ( )A. B. C. D. 1543 154 2143 3543【答案】A【解析】解：设最小角为 ，故 对应的边长为 a， 则 ，解得 =(+4)2+(+2)222(+4)(+2)=2+12+2022+12+16=1314 =3最小角 的余弦值为 ， 1314=12=1(1314)2=3314=12(+4)(+2)=12353314=1534故选：A设最小角为 ，故 对应的边长为 a，然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值，再由 三角形面积公式求解即可本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题11. 在直三棱柱 ， ，M，N 分别是 ， 的中点，111 =90 11 11
3、，则 AN 与 BM 所成角的余弦值为 =1=1 ( )A. B. C. D. 110 22 25 3010【答案】D【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系：则 0， ， 1， ， 0， ， ，(1,0)(0,0)(12, 1)(12,12,1)0， ， ，=(12, 1) =(12,12,1)，=|= 1212+114+0+114+14+1= 345262=3010故选：D建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再根据空间向量的夹角公式可得本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题第 6 页，共 16 页12. 已知函数 有四个不同的零点 ， ， ， ，且()=|221| 1 2 3
4、4，则 的取值范围是 1022+ 120 22+12平方得 得 ，得 ，即 ，此时为增函数，42+12 842+ 50,0)点，P 为 C 上一点，且 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 为坐标原点 ，则双曲线 C 的离=2( )心率为_【答案】3【解析】解：因为 轴，所以设 ， (,)则 ， ，(,0)(,0)AE 的斜率 ，=则 AE 的方程为 ，令 ，则 ，=(+) =0 =即 ，(0,)BN 的斜率为 ，则 BN 的方程为 ，+ = +()令 ，则 ，即 ，=0 =+ (0,+)因为 ，所以 ，|=2| 2|+
5、|=|即 ，即 ，则离心率 2()=+ =3 =3故答案为：3根据条件分别求出直线 AE 和 BN 的方程，求出 N，E 的坐标，利用 的关|=2|系建立方程进行求解即可本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点 N，E 的坐标是解决第 9 页，共 16 页本题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知等差数列 满足(1+2)+(2+3)+(+1)=2(+1)()求数列 的通项公式；(1) 数列 中， ， ，从数列 中取出第 项记为 ，若 是等比(2) 1=1 2=2 数列，求 的前 n 项和 【答案】解： 差数列 满足(1) ，(1+2)+(2+3)+
6、(+1)=2(+1)()可得 ， ，1+2=4 1+2+2+3=12设等差数列的公差为 d，可得 ， ，21+=4 41+4=12解得 ， ，1=1 =2则 ；=1+2(1)=21由题意可得 ， ，(2) 1=1=1=1 2=2=2=3可得数列 的公比为 3， ， =31由 ，=21可得 ，=12(1+31)的前 n 项和 =12(1+3+31)+12=121313+12=31+24【解析】 设等差数列的公差为 d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所(1)求通项公式；分别求得 ， ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算(2) 1 2可得所求和本题考查等差数列和等比数
7、列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ABCD， 是边长为 2 的等边三角形，底面ABCD 是菱形，且 =60证明： ；(1) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小(2)第 10 页，共 16 页【答案】证明： 取 AD 的中点 E，连结(1)PE，BE，BD ，四边形 ABCD 是菱形， ， =60是等边三角形， ， 同理，得 ，又 ， 平面 PBE， 平面= PBE，平面 PBE，又 平面 PBE， 解： 平面 平面 ABCD，(2) 由 可知 EA，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
8、如(1) 图，由题意得 ，=2则 0， ， ， ， 0， ，(0,0)(0,3,0)(2,3,0)(0,3)， ， ，=(0,3,0)=(0,3,3) =(2,3,3)设平面 PBC 的一个法向量 y， ，=(, )由 ，取 ，得 1， ，=33=0=2+33=0 =1 =(0, 1)由 得 是平面 PAD 的一个法向量，(1)， ， ，=|=22 =45平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小为 45【解析】 取 AD 的中点 E，连结 PE，BE，BD，推导出 ， ，从而(1) 平面 PBE，由此能证明 ，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，利用向量法(2)
9、 能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19. 已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ：22+22=1(0) =22 (22,32)求椭圆 C 的方程；(1)过点 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 ，(2) (2,0) (1,1)，过右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N ，设 ，(2,2)=的取值范围=,求 +第 11 页，共 16 页【答案】解： 由题意可得 ，解得 ， ，则椭圆方程为(1)=22122
10、+342=12=2+2 2=2 2=1，22+2=1设直线 l 的斜率为 k， ， ， ，(2) (1,2) (2,2) (3,3)则 ， ，=(11,1) =(31,3)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，由 ，可得 ，则 ，= 1=3 =13当 AM 与 x 轴不垂直时，直线 AM 的方程为 ，即 ，=111(1) =(11)+11代入曲线 C 的方程又 ，整理可得 ，1221+21=1 (321)2+21(11)21=0，13=21321，=13=321当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 ， ，显然 也成立，1=1 =1 =32，=32同理可得 ，=32设直线 l 的方程
11、为 ， ，联立 ，=(+2)(0) =(+2)22+2=1消去 y 整理得 ，(22+1)2+82+822=0由 ，解得 ，=(82)24(22+1)(822)0 00.5所以学生甲与学生乙适合结为“对子”【解析】 根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；(1)由题意知随机变量 X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数(2)学期望值，求出 以及 的值，由此得出结论2 21本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题21. 已知 ，函数 ，直线 l： 0 ()= =讨论 的图象与直线 l 的交点个数；(1) ()若函数 的图象与直线 l
12、： 相交于 ， 两点 ，(2) () = (1,1) (2,2) (11【答案】解： 由題意，令 ，(1) ()=+(0)则 ，令 0/，解得 所以 在 上单调递增，()(,+)令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，0 02 ()综上所述，当 时， 的图象与直线 l 无交点02 ()点证明：令 ，(2) ()=(+)()=2(0)，()=(+2)+2=2，即 在 上单调递增，()(0,+)时， 恒成立，()(0)=00 (+)()又 ，00即 ，(+1)(+1) (21)(1)又 (1)=(2)， ，(2) 2在 上单调递增，=()(,+)即 21【解析】 根据函数与方程的关系，设 ，求函数的导
13、数，研究函(1) ()=+数的单调性和极值，结合极值与 0 的关系进行判断即可构造函数 ，求函数的导数，结合 与 l 的交点坐标，进行证明即可(2) () ()本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和第 15 页，共 16 页极值是解决本题的关键 综合性较强，难度较大.22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 曲线 C 的方程=2+32=23+12( ).为 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系22+2=0.求直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程；(1)直线 与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，
14、求(2) ： +232=0面积的最大值【答案】解： 由 得 代入 整理得 ，(1)=2+32 =23(2) =23+12 3+4=0直线 l 的普通方程为 ， 3+4=0又 ， ，= 222+22=0，=2曲线 C 的极坐标方程为 ， =2由 得 ， ，(2)+232=03+4=0 =2=23 (2,23)设 ，则 ，(,)=2的面积 =12|=12|4(3)|，=|4(3)|=|2(2+6)+3|=2+3【解析】 用代入法消去 t 可得直线 l 的普通方程；利用 ， 代入可(1) =得曲线 C 的极坐标方程；先求得 ，再利用 B 的极径求出三角形的面积，再求最值(2) (2,22)本题考查了
15、参数方程化成普通方程，属中档题23. 已知函数 ()=|+1|2|()当 时，求不等式 的解集；(1)=3 ()1当 时，不等式 恒成立，求 m 的取值范围(2)1,2 ()1得 或 或 ，1 12451 22+71解得： 或 ，32第 16 页，共 16 页当 时， 成立，=2 02当 时， ，1,2 2=122令 ，()=122，113【解析】 代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可；(1)问题转化为 恒成立，当 时， ，(2) +1(2)2=122令 ，求出 的最大值，求出 m 的范围即可()=122 ()本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题
