1、第 8 讲、类比结构构造类比探究（讲义）1. 我们定义：如图 1，在 ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0 180）得到AB ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC ，连接 BC 当 + =180时，我们称 ABC 是 ABC 的“旋补三角形”， ABC 边 BC 上的中线 AD 叫做 ABC的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图 2、图 3 中， ABC 是 ABC 的“旋补三角形”， AD 是 ABC 的“旋补中线”如图 2，当 ABC 为等边三角形时， AD 与 BC 的数量关系为 AD=_BC；如图 3，当 BAC=90， BC=8 时，则 AD
2、 的长为_猜想论证：（2）在图 1 中，当 ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图 4，四边形 ABCD， C=90， D=150， BC=12， CD=23， DA=6在四边形内部是否存在点 P，使 PDC 是 PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求 PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由CB DCB A 图 1 图 22. 【探索发现】如图 1，是一张直角三角形纸片， B=90，小明想从中剪出一个以 B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE， EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证
3、了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_AB CDB C DC BA图 4图 3【拓展应用】如图 2，在 ABC 中， BC=a， BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P， N 分别在边AB， AC 上，顶点 Q， M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为_（用含a， h 的代数式表示）【灵活应用】如图 3，有一块“缺角矩形” ABCDE， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积【实际应用】如图 4，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，
4、 BC=108 cm， CD=60 cm，且tant3BC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M， N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积FEDCBAABCDEF AB CDEMNPQ AB CDE图1图 图2图 图3图图 1 图 2 图 33. 折纸的思考【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步，对折矩形纸片 ABCD（ AB BC）（如图 1），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平（如图 2）EDCBAAB CD DCBA图4图 图AB CD DCBA图4图 图图 4备用图第二步，如图 3，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折
5、痕经过点 B，得到折痕 BG，折出 PB， PC，得到 PBC DCBA FEDCBA EFGPDCBA图 1 图 2 图 3（1）说明 PBC 是等边三角形【数学思考】（2）如图 4，小明画出了图 3 的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC他发现，在矩形 ABCD中把 PBC 经过图形变化，可以得到图 5 中的更大的等边三角形请描述图形变化的过程 PDCBA DCBA图 4 图 5（3）已知矩形一边长为 3 cm，另一边长为 a cm对于每一个确定的 a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角
6、边长分别为 4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为_cm4. 已知四边形 ABCD 的一组对边 AD， BC 的延长线交于点 E（1）如图 1，若 ABC= ADC=90，求证： EDEA=ECEB（2）如图 2，若 ABC=120，cos ADC=35， CD=5， AB=12， CDE 的面积为 6，求四边形 ABCD 的面积（3）如图 3，另一组对边 AB， DC 的延长线相交于点 F若cos ABC=cos ADC=5， CD=5， CF=ED=n，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示）EDCBA图 1 EDCB A图 2 FE DCBA图 3【参考答案】1. （1） 2；4；（2） AD= BC，证明略；（3）存在，“旋补中线”长为 392. 【探索发现】12；【拓展应用】 4ah；【灵活应用】该矩形的面积为 720；【实际应用】该矩形的面积为 1 944 cm23. （1）证明略；（2）先将 BPC 按点 B 逆时针旋转某个适当角度得 BP1C1，再将 BP1C1以 B 为位似中心放大，使点 C1的对应点 C2落在边 CD 上，得到 BP2C2；（3）略；（4）654. （1）证明略；（2）四边形 ABCD 的面积为 75183；（3） AD 的长为26n
