1、单元测试卷(四)(考试时间:120 分钟 试卷满分: 120 分)一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)1.如图 D4-1,过ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是 ( )图 D4-12.若一个 三角形的两边长分别为 3 和 7,则第三边长可能是 ( )A.6 B.3 C.2 D.113.如图 D4-2,CE 是ABC 的外角ACD 的平分线.若B=35,ACE=60,则A 等于 ( )图 D4-2A.35 B.95 C.85 D.754.将一块等腰直角三角尺与一把直尺如图 D4-3 放置.若 1=60,则2 的度数为 ( )图 D4-3A.85 B.75 C.60 D.
2、455.若一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5,则它的周长为 ( )A.12 B.9 C.12 或 9 D.9 或 76.如图 D4-4,ABCD ,BC 平分 ABD.若C=40, 则D 的度数为 ( )图 D4-4A.90 B.100 C.110 D.1207.一个多边形的内角和比其外角和的 2 倍多 180,则该多边形的对角线的条数是 ( )A.12B.13C.14D.158.如图 D4-5,ABCD ,BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC 的距离是 ( )图 D4-5A.8 B.6 C.4 D.29.两组邻边分
3、别相等的四边形叫做“筝形”.如图 D4-6,四边形 ABCD 是一个筝形,其中 AD=CD,AB=CB.小明在探究筝形的性质时,得到如下结论: AC BD ; AO=CO= AC; ABDCBD.其中正确的结论有 ( )12图 D4-6A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个10.如图 D4-7,已知AOB= 60,点 P 在边 OA 上,OP=12,点 M,N 在边 OB 上,PM=PN.若 MN=2,则 OM 等于 ( )图 D4-7A.3 B.4 C.5 D.611.如图 D4-8,OP 平分AOB,PAOA 于 A,PBOB 于 B,连接 AB,交 OP 于 C.给出下列结论:
4、图中有 3 对全等三角形 ; CAP=COB; OPA=OPB; AB 垂直平分 OP.其中正确的个数是 ( )图 D4-8A.1 B.2 C.3 D.412.如图 D4-9,在 RtABC 中,ABC=90,AB=6,BC=8,BAC,ACB 的平分线相交于点 E,过点 E 作 EFBC,交 AC 于点F,则 EF 的长为 ( )图 D4-9A. B. C. D.52 83 103 154二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)13.如图 D4-10,直线 ab,1= 135,则2 的度数为 . 图 D4-1014.如图 D4-11,AB=AC,要使ABEACD,应添加的条件是 (添加一个
5、条件即可) . 图 D4-1115.如图 D4-12,在 RtABC 中,ACB=90,A= 50,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上的 A处,折痕为 CD,则ADB= .图 D4-1216.如图 D4-13,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,DE 垂直平分 AB.已知ADE=40, 则DBC= . 图 D4-1317.如图 D4-14,点 D,E,F 分别是ABC 各边的中点,连接 DE,EF,DF,若ABC 的周长为 10,则DEF 的周长为 . 图 D4-1418.如图 D4-15,正六边形 ABCDEF 的边长是 6+4 ,点 O1,O2 分别是ABF,CDE 的内心,则 O1O
6、2= . 3图 D4-15三、解答题(共 66 分)19.(6 分) 如图 D4-16,直线 ABCD ,BC 平分ABD,1= 65,求2 的度数.图 D4-1620.(6 分) 如图 D4-17,已知 AB=AC=AD,且 ADBC,求证: C=2D.图 D4-1721.(8 分) 公交总站( A 点)与 B,C 两个站点的位置如图 D4-18 所示.已知 AC=6 km,B=30,C=15,求 B 站点离公交总站的距离,即 AB 的长( 结果保留根号) .图 D4-1822.(8 分) 如图 D4-19,在 RtABC 中,D,E 为斜边 AB 上的两个点,且 BD=BC,AE=AC,求
7、DCE 的度数.图 D4-1923.(8 分) 如图 D4-20,在五边形 ABCDE 中,BC D=EDC=90,BC=ED,AC=AD.图 D4-20(1)求证:ABCAED;(2)当B=140时,求BAE 的度数.24.(10 分) 如图 D4-21,在ABC 中,ADBC 于 D,BD=AD,DG=DC,E,F 分别是 BG,AC 的中点.图 D4-21(1)求证:DE=DF,DEDF;(2)连接 EF,若 AC=10,求 EF 的长 .25.(10 分)(1)发现如图 D4-22,点 A 为线段 BC 外一动点 ,且 BC=a,AB=b.图 D4-22填空:当点 A 位于 时,线段
8、AC 的长取得最大值,且最大值为 (用含 a,b 的式子表示). (2)应 用点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1.如图 D4-23 所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE.图 D4-23 请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由; 直接写出线段 BE 长的最大值.(3)拓展如图 D4-24,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),点 P 为线段 AB 外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM= 90.请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图 D4-2426.(10 分
9、) 如图 D4-25,在ABCD 中,点 E 是 BC 边上的一点,且 DE=BC,过点 A 作 AFCD 于点 F,交 DE 于点 G,连接AE,EF.图 D4-25(1)若 AE 平分BAF,求证:BE=GE ;(2)若B=70,求CDE 的度数 ;(3)若点 E 是 BC 边上的中点,求证: AEF=2EFC.参考答案1.A 2.A 3.C4.B 解析 如图,ABC 是等腰直角三角形,A= 45.在AIJ 中,1=60, 3 =75.DEGF ,2=3=75.故选 B.5.A 6.B7.C 解析 设多边形的边数是 n.根据题意,得( n-2)180=2360+180.解得 n=7.七边形
10、的对角线的条数是 =14.7(7-3)28.C 解析 过点 P 作 PEBC 于 E.ABCD,PA AB,PDCD.BP 和 CP 分别平分 ABC 和DCB,PA=PE,PD=PE.PE=PA =PD.PA+PD=AD= 8,PA=PD=4.PE=4 .故选 C.9.D10.C 解析 过 P 作 PDOB,交 OB 于点 D.在 Rt OPD 中,cos60= = ,OP=12,12OD=6.PM=PN,PD MN,MN=2,MD=ND= MN=1.12OM=OD-MD=6-1=5.故选 C.11.C 解析 依据角平分线的性质可得到 AP=PB,然后依据 HL 可证明 RtAOPRtBOP
11、,则 OA=OB,然后依据 SAS可证明AOCBOC,则OCA= OCB= 90,依据 HL 可证明 RtAPC RtBPC.依据等角的余角相等可证明CAP=COB.依据全等三角形的性质可证明 OPA= OPB.由 AC=BC,OCA=OCB=90,得 OP 是 AB 的垂直平分线,故 错误.12.C 解析 如图,过点 E 作 EMAB 于 M,ENBC 于 N,EHAC 于 H.由题意,易得 RtABC 的内切圆半径为 2,所以 EM=EH=2.又易证四边形 EMBN 为正方形,所以 BN=2,得到 CN=CH=6.设 EF=x,由 CE 平分ACB,EFBC ,得到CEF 为等腰三角形.故
12、 FC=EF=x.所以 HF=6-x.由勾股定理 ,得 EH2+HF2=EF2,即 22+(6-x)2=x2.解得 x= .10313.4514.B=C(答案不唯一)15.10 解析 由题意,得CAD=A=50,B=40.由三角形的外角定理,可得CAD=B+ ADB.ADB= 50-40=10.故答案为 10.16.15 解析 DE 垂直平分 AB,AD=BD.A=ABD.ADE= 40,A=90- 40=50.ABD= A= 50.AB=AC,ABC=C= (180-A)=65.12DBC=ABC- ABD= 65-50=15.故答案为 15.17.5 解析 点 D,E,F 分别是ABC 各
13、边的中点,DE = AC,DF= BC,EF= BA.12 12 12ABC 的周长为 10,DEF 的周长为 5.18.12+4 解析 设 O1O2 与 BF,CE 分别相交于点 M,N,连接 AM,因为正六边形边长为 6+4 ,所以3 3MN=6+4 ,O1M=O2N,在ABF 中,O 1 是内心,所以设内切圆半径为 r,则 r=O1M,因为 AB=AF=6+4 ,BAF=120,所以3 3BF=12+6 ,AM=3+2 ,用等面积法求 r,即 BFAM= r,解得 r=3,所以 O1O2=O1M+MN+O2N=12+4 .3 312 12(+) 319.解:ABCD,ABC=1=65,A
14、BD+ BDC=180.BC 平分ABD ,ABD= 2ABC=130.BDC=180-ABD=50.2=BDC=50 .20.解析 首先根据 AB=AC=AD,可得ABC=CBD+D;然后根据 ADBC,可得CBD=D,据此判断出ABC=2D,再根据C= ABC,即可判断出C=2D.证明:AB=AC=AD ,C=ABC,D=ABD.ABC=CBD+D.ADBC,CBD=D.ABC=D+D=2D.又C=ABC,C= 2D.21.解:过点 C 作 CDAB,交 BA 延长线于点 D.B=30, ACB= 15,CAD=45.在 Rt ACD 中 ,ADC=90, CAD= 45,AC=6,CD=
15、AD=3 .2在 Rt BCD 中 ,CDB=90, B=30,CD=3 ,2BD=3 .AB=(3 -3 )km.6 6 222.解析 设DCE=x,ACD=y ,则ACE=x+y,BCE=90-ACE=90-x-y.根据等边对等角得出ACE=AEC=x+y ,BDC=BCD=BCE+DCE= 90-y.然后在DCE 中,利用三角形内角和定理列出方程 x+(90-y)+(x+y)=180,解方程即可求出DCE 的大小.解:设DCE=x ,ACD=y,则AEC= ACE=x+y,BCE=90- ACE=90-x-y.BD=BC,BDC=BCD=BCE+DCE=90-x-y+x=90 -y.在D
16、CE 中,DCE+CDE+DEC=180,x+(90-y)+(x+y)=180.解得 x=45.DCE=45.23.解:(1)AC=AD,ACD= ADC.又BCD=EDC=90,ACB=ADE.在ABC 和AED 中, =,=,=, ABCAED(SAS) .(2)当B=140时,E=140,又BCD=EDC= 90,在五边形 ABCDE 中,BAE=540-140 2-902=80.24.解:(1)AD BC 于 D,BDG=ADC=90.BD=AD,DG=DC.BDG ADC (SAS).BG=AC.ADBC 于 D,E,F 分别是 BG,AC 的中点,DE= BG,DF= AC,DE=
17、DF.12 12DE=DF,BD=AD,BE=A F,BDEADF(SSS).BDE= ADF.EDF= EDG+ ADF= EDG+ BDE= BDG=90.DE DF.(2)如图所示.AC=10,DE=DF= AC= 10=5.12 12EDF= 90,EF= = =5 .2+2 52+52 225.解:(1)CB 的延长线上 a+b(2) DC=BE.理由如下 :ABD 和ACE 都是等边三角形,AD=AB,AC=AE ,BAD=CAE= 60,BAD+ BAC= CAE+BAC,即CAD=EAB.CADEAB(SAS) .DC=BE. BE 长的最大值是 4.(3)AM 长的最大值为
18、3+2 ,点 P 的坐标为(2- , ).2 2 2提示 如图 ,作 PNPA ,且 PN=PA,构造BNPMAP ,则 NB=AM.由(1) 知,当点 N 在 BA 的延长线上时,NB 有最大值(如图 ).易得APN 是等腰直角三角形,AP= 2,AN=2 .2AM=NB=AB+AN=3+2 .2如图 ,过点 P 作 PEx 轴于点 E,则 PE=AE= .2又 A(2,0),P(2- , ).2 226.解析 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形,DE=BC,易证得AEB=AEG,又由 AE 平分BAF,可证得ABEAGE,即可证得 BE=GE;(2)由(1)可知ABEAGE ,故可知D
19、GF=AGE=70, 在 RtDGF 中,利用直角三角形的两锐角互余可求得CDE=20;(3)延长 AE,交 DC 的延长线于点 M,易证得ABEMCE,又由 AFCD,可得 EF 是 RtAFM 的斜边上的中线,继而证得结论.解:(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,AD=BC.DAE=AEB.DE=BC,AD=DE.DAE= AED .AEB=AED.A E 平分BAF,BAE=GAE.在ABE 和AGE 中, =,=,=,ABE AGE(ASA).BE=GE.(2)由(1)可知:ABEAGE,EGA= B= 70.DGF=EGA=70.AFCD,GFD=90.GDF+DGF=90.CDE=90-70 =20.(3)证明:如图,延长 AE,交 DC 的延长线于点 M.四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD.M=BAE.点 E 是 BC 的中点,BE=CE.在ABE 和MCE 中, =,=,=, ABE MCE(AAS).AE=ME.又AFCD,EF=AE=EM= AM.12M=EFC.AEF=M+EFC=2EFC.
