1、专题四 存在型专题【考纲与命题规律】考纲要求 存在型探索问题是在某种题设条件，判断具有某种性质的数学对象是否存在或某一结论是否出现或成立的一类.这类问题构思巧妙，对学生思维的敏锐性、哲理的严密性具有独特的作用，它以解答题的形式出现，难度较大，是以压轴题为主，涉及代数、几何等多个知识点.命题规律 存在型探索问题解题的策略与法法：直接解法，从已知条件出发，推导出所要求的结论.假设求解法，先假设数学对象存在，以条件进行运算或推理。【课堂精讲】例 1.问题探究（1）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4，如果 BC 边上存在点 P，使 APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角
2、形 APD，并求出此时 BP 的长；（2）如图，在 ABC 中， ABC=60， BC=12， AD 是 BC 边上的高， E、 F 分别为边 AB、 AC 的中点，当 AD=6 时， BC 边上存在一点 Q，使 EQF=90，求此时 BQ 的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使 AMB 大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知 A= E= D=90， AB=270m， AE=400m， ED=285m， CD=340m，问在线段 CD 上是否存在点 M，使 AMB=60？若
3、存在，请求出符合条件的 DM 的长，若不存在，请说明理由考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网分析： （1）由于 PAD 是等腰三角 形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以 EF 为直径作 O，易证 O 与 BC 相切，从而得到符合条件的点 Q 唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出 BQ 长（3）要满足 AMB=60，可构造以 AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段 CD 的
4、交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的 DM 长解答： 解：（1） 作 AD 的垂直平分线交 BC 于点 P，如图，则 PA=PD PAD 是等腰三角形四边形 ABCD 是矩形， AB=DC， B= C=90 PA=PD， AB=DC， Rt ABP Rt DCP（ HL） BP=CP BC=4， BP=CP=2以点 D 为圆心， AD 为半径画弧，交 BC 于点 P，如图，则 DA=DP P AD 是等腰三角形四边形 ABCD 是矩形， AD=BC， AB=DC， C=90 AB=3， BC=4， DC=3， DP=4 CP= = BP
5、=4 点 A 为圆心， AD 为半径画弧，交 BC 于点 P，如图，则 AD=AP P AD 是等腰三角形同理可得： BP= 综上所述：在等腰三角形 ADP 中，若 PA=PD，则 BP=2；若 DP=DA，则 BP=4 ；若 AP=AD，则 BP= （2） E、 F 分别为边 AB、 AC 的中点， EF BC， EF= BC BC=12， EF=6以 EF 为直径作 O，过点 O 作 OQ BC，垂足为 Q，连接 EQ、 FQ，如图 AD BC， AD=6， EF 与 BC 之间的距离为 3 OQ=3 OQ=OE=3 O 与 BC 相切，切点为 Q EF 为 O 的直径， EQF=90过点
6、 E 作 EG BC，垂足为 G，如图 EG BC， OQ BC， EG OQ EO GQ， EG OQ， EGQ=90， OE=OQ，四边形 OEGQ 是正方形 GQ=EO=3， EG=OQ=3 B=60， EGB=90， EG=3， BG= BQ=GQ+BG=3+ 当 EQF=90时， BQ 的长为 3+ （3）在线段 CD 上存在点 M，使 AMB=60理由如下：以 AB 为边，在 AB 的右侧作等边三角形 ABG，作 GP AB，垂足为 P，作 AK BG，垂足为 K设 GP 与 AK 交于点 O，以点 O 为圆心， OA 为半径作 O，过点 O 作 OH CD，垂足为 H，如图则 O
7、 是 ABG 的外接圆， ABG 是等边三角形， GP AB， AP=PB= AB AB=270， AP=135 ED=285， OH=285135=150 ABG 是等边三角形， AK BG， BAK= GAK=30 OP=APtan30=135=45 OA=2OP=90 OH OA O 与 CD 相交，设交点为 M，连接 MA、 MB，如图 AMB= AGB=60， OM=OA=90 OH CD， OH=150， OM=90 ， HM= = =30 AE=400， OP=45 ， DH=40045 若点 M 在点 H 的左边，则 DM=DH+HM=40045 +30 40045 +30 3
8、40， DM CD点 M 不在线段 CD 上，应舍去若点 M 在点 H 的右边，则 DM=DH HM=40045 30 40045 30 340， DM CD点 M 在线段 CD 上综上所述：在线段 CD 上存在唯一的点 M，使 AMB=60，此时 DM 的长为（40045 30 ）米点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键例 2 如图，四边形 OMTN 中，O
9、M=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形。(1)试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；(2)在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5，BC=CD，BCAB，BD、AC 为对角线，BD=8，是否存在一个圆使得 A，B，C，D 四个点都在这个圆上?若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；过点 B 作 BFCD，垂足为 F，BF 交 AC 于点 E，连接 DE，当四边形 ABED 为菱形时，求点 F 到 AB 的距离。分析：（1）证明OMPONP，即可证得 MNOT，且 OT 平分 MN；（2）若经过 A，B，C，D 四个点的圆存在，则对角互补，据此即可判断；
10、已知 FMAB，作 EGAB 于 G，根据菱形的面积公式求得 GE 的长，然后根据BNEBFD 求得 BF 的长，再根据BEGBFM 求得 FM 的长解答：解：（1）MNOT，且 OT 平分 MN理由是：连接 MN、OT 相交于点 P在OMT 和ONT 中，OMTONT，MOT=NPT，在OMP 和ONP 中，OMPONP，MP=NP，OPM=OPN=90，即 MNOT；（2）经过 A，B，C，D 四个点的圆不一定存在，理由是：若经过 A，B，C，D 四个点的圆存在，则圆心一定是 AC 和 BD 的中垂线的交点，根据（1） 可得 AC 垂直平分 BD，而垂足不一定是 AC 的中点；作 FMAB
11、，作 EGAB 于 G四边形 ABED 是菱形，AEBD，且 BN= BD=4，AN=NE= = =3，AE=6S 菱形 ABED= AEBD= 68=24，又S 菱形 ABED=ABEG， EG= DBF=DBF，BNE=BFD， BNEBFD， ，即 ， BF= GEAB，FMAB， GEFM， BEGBFM， ，即 ，解得：FM= 【课堂提升】1.如图,抛物线 y=54x2+174x+1 与 y 轴交于 A 点,过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点 C(3,0)(1)求直线 AB 的函数关系式；(2)动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位
12、的速度向 C 移动。过点 P 作PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N.设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；(3)当线段 MN 最长时，求出ABN 的面积；(4)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O,点 C 重合的情况)，连接 CM、BN.当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形?问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形?请说明理由。2.如图，在平面直角坐标系中，已知 抛物线 y x2bxc 经过点 A(0，1)、B（3， ）两点，BCx 轴，垂足为 C点 P 是线段 AB 上
13、的一动点（不与 A，B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t(1)求此抛物线的函数表达式；(2)连结 AM、BM，设AMB 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值；(3)连结 PC，当 t 为何值时，四边形 PMBC 是菱形 （10 分来源:学*科*网3.如图,抛物线 y=12x2+mx+n 与 x 轴交于 A. B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x轴于点 D,已知 A(1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在，直
14、接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大?求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标。【高效作业本】专题四 存在型专题1.如图 221，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M，N 两点，则以下结论：PMPN 恒成立；OMON 的值不变；四边形 PMON 的面积不变；MN 的长不变，其中正确的个数为 ( B )A4 B3 C2 D1图
15、 2 21 第 1 题答图2.若ABC 内一点 P 满足PACPBAPCB，则点 P 为ABC 的布洛卡点三角形的布洛卡点(Brocard，point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A .L.Crelle，17801855)于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard，18451922)重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF90，若点 Q 为DEF 的布洛卡点，DQ1，则 EQFQ 的值为 ( )A5 B4 C3 D22 2图 222 第 2 题答图3如图 223，AOB45，
16、点 M，N 在边 OA 上，OMx，ONx4，点 P 是边 OB 上的点，若使点 P，M，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是_4.如图 229是一张直角三角形纸片，B90，小明想从中剪出一个以B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_ _12图 229【拓展应用】如图，在ABC 中，BCa，BC 边上的高 ADh，矩形 PQMN 的顶点 P，N 分别在边 AB，AC上，顶点 Q，M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为_(用含
17、a，h 的代数式表示)如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积21*cnjy*com【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB50 cm，BC108 cm，CD60 cm，且 tanBtanC ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M，N 在边 BC 上且面积最大的矩43形 PQMN，求该矩形的面积图 229 备用图5.如图 228，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A(1，0)，点 B(0， )3(1)求BAO 的度数；(2)如图，将AOB 绕点 O 顺时
18、针旋转得AOB，当 A恰好落在 AB 边上时，设ABO 的面积为 S1，BAO 的面积为 S2，则 S1 与 S2 有何关系？为什么？(3)若将AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图所示的位置，S1 与 S2 的关系发生变化了吗？证明你的判断 【答案】专题四 存在型专题答案1.解答：(1)x=0 时， y=1，点 A 的坐标为：(0,1)， BC x 轴,垂足为点 C(3,0)，点 B 的横坐标为 3，来源:学科网当 x=3 时, y=52，点 B 的坐标为(3,52)，设直线 AB 的函数关系式为 y=kx+b，b=13 k+b=52，解得 k=12 b=1，则直线 AB 的函数关系式 y=12
19、x+1；(2)当 x=t 时, y=12t+1，点 M 的坐标为( t,12t+1)，当 x=t 时, y=54t2+174t+1，点 N 的坐标为( t,54t2+174t+1)，s=54t2+174t+1(12t+1)=54t2+154t(0t3)；(3)s=54t2+154t=54(t32)2+4516，当 x=32 时, MN 有最大值 4516， ABN 的面积=12324516+12324516=13532；(4)若四边形 BCMN 为平行四边形，则有 MN=BC，54 t2+154t=52，解得 t1=1,t2=2，来源:学科网 ZXXK当 t=1 或 2 时，四边形 BCMN
20、为平行四边形，当 t=1 时, MP=32， PC=2， MC=52=MN，此时四边形 BCMN 为菱形，当 t=2 时， MP=2， PC=1，来源:Zxxk.Com MC=5 MN，此时四边形 BCMN 不是菱形。2. 已知抛物线 y x2 bxc 经过点 A(0，1)、B（3， ）两点，那么，解得 ，所以此抛物线的函数表达式是（2）BC x 轴，垂足为 C点 P 是线段 AB 上的一动点（不与 A，B 重合） ，过点 P作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，交 X 轴于 D 点； ，而， ；M、P 点的横坐标相同，由（1）知抛物线的解析式是 ，所以 M 的纵坐标为 ；由题知 A0=1，BC=
21、 ，OD=t，CD=OC-OD=3-t,DM=,所以 =+ - =，设AMB 的面积为 S， = ，要使 有最大值，那么当且仅当 ，即当（3）四边形 PMBC 是菱形，则 PM=PC=BC，而由题知 BC= ，PM=PC=BC= ，过点 P作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t，M 的纵坐标为，MD= ，PD=MD-MP= - =，在 中，由勾股定理得 ，即，解得 ，所以 四边形 PMBC 为菱形点评：本题考查抛物线，求最值，菱形，要求学生掌握用待定系数法求抛物线的解析式，会用配 方法求二次函数的最值，掌握菱形的性质，本题问题多，所涉及的知识面广，计算量比较大，但总体难度不
22、大3. 解：（1）抛物线 y=-12x2+mx+n 经过 A（-1，0） ，C（0，2） 解得：m32n2，抛物线的解析式为：y=-12x2+32x+2；（2）y=-12x2+32x+2，y=-12（x-32）2+258，抛物线的对称轴是 x=32OD=32C（0，2） ，OC=2在 RtOCD 中，由勾股定理，得CD=52CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD作 CHx 对称轴于 H，HP1=HD=2，DP1=4P1（32，4） ，P2（32，52） ，P3（32，-52） ；（3）当 y=0 时，0=-12x2+32x+2x1=-1，x2=4，B（4，0） 设直
23、线 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得2b04k+b，解得：k?12b2，直线 BC 的解析式为：y=-12x+2如图 2，过点 C 作 CMEF 于 M，设 E（a，-12a+2） ，F（a，-12a2+32a+2） ，EF=-12a2+32a+2-（-12a+2）=-12a2+2a（0x4） S 四边形 CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=12BD?OC+12EF?CM+12EF?BN，=12522+12a（-12a2+2a）+12（4-a） （-12a2+2a） ，=-a2+4a+52（0 x4） =-（a-2）2+132a=2 时，S 四边形 CDBF 的面积最大=132，E（2，1）
