1、江苏省南通市 2019 届高三下学期重点中学模拟考试数 学 参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面面积， 是高13VShh一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1已知集合 ， ，则 _|1Mx|01xNNM答案： 0解析：由题意得 ，所以 。|01Nx1x2复数 为虚数单位）的共轭复数为 (1)zi答案：解析：由题意得 ，那么它的共轭复数为 。zi1i3某校对全校 1200 名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本已知女生抽了 85 人，则该校的男生数应是 人答案：690解析：男生的人数为 。2085161904如图所示的流程图，
2、若输入的 ，则输出的结果为 . .x答案：1解析：由题意得输出的结果为 。29.51c5已知 ,12,3456ab，直线 12:0,:0,lxylaxby则直线 12l的概率为 答案： 12解析：由 12l得 ，所以 的取值有三种情况 ，则直0ab,ab246,13aabb线 12l的概率为 163C6若圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,则该圆锥的体积是_ _ 5答案： 23解析：设圆锥的侧面半径为 ，圆心角为 ，那么有 ，R21,2R。圆锥的体积为 。225,5R2337已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围P41xyeP是_.答案： 3,4解析： ，则 的取值范围
3、是 。244=1,0)112xxxeeye3,48已知 （ ， ） ，sin = ，则 tan2 =_25答案： 43解析： 。12514sin,ta,tan223（ ， ） ，9设 )(xfy是一次函数， )0(f，且 )(,4)(ff成等比数列，则42 2n 答案： (3)n解析：设 ， )13(,4)(ff成等比数列，所以有,(0)1,yfxabfb，2(41)()22ayfx，。()4)2ffnnn 10设 ,xy满足约束条件 ,若目标函数 0,zabxy的最大值为120yx35,则 ab的最小值为 .答案：8解析：画出 所表示的区域，那么当 时取得最大值 35，120,yx2,3xy
4、那么有 。3516,8ababab11若函数 在定义域 内某区间 H 上是增函数，且 在 H 上是减函数，则称fxDfx的在 H 上是“弱增函数”已知函数 在 上是“ 弱yf24gxm0,2增函数”，则实数 的值为 m答案：4解析：根据题意，由于函数 f(x)在定义域 D 内某区间 I 上是增函数，且 在 I 上是减函fx数，则称 y=f(x)在 I 上是“弱增函数” ，则可知函数 在 上是24gxm0,2“弱增函数”则在给定区间是递增函数，开口向上，则对称轴 ，,4在 上单调递减，244gxmxmx0,2那么 21,(,10,4mxx综上所得 m=4。12 在ABC 中，角 A，B，C 的对
5、边分别是 a，b，c，a8，b10，ABC的面积为 20 ，则ABC 的最大角的正切值是_.3答案： 或533 3解析： 1322080sin,i,0,23CC或当 时，显然 C 是最大角，那么有 ,232tan32810cos210,53cos,tanB14c b当 时 ， 由 余 弦 定 理 得 是 最 大 边 ，由 余 弦 定 理 得13点 M是边长为 2 的正方形 ACD内或边界上一动点， N是边 BC的中点，则AN的最大值是 .答案：6 解析：以 A 为坐标原点，以 AD 方向为 x 轴正方向，以 AB 方向为 y 轴负方向建立坐标系，那么有 AN=(1,-2)，设 M 点坐标为（x
6、，y） ，则 AM=（x，y） ，则 0x2，-2y0Z= N=x-2y，由题意可得 Z 的最大值在正方形的顶点处取得，将 A，B，C ，D 四点坐标依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6 ，ZD=2 ，故 Z的最大值为 614 已知数列 的各项均为正整数，对于 ，有na,321n，若存在 ，当 且1 1352nnnkaak ， 为 奇 数， 为 奇 数 ， 是 使 为 奇 数 的 正 整 数 *mNn为奇数时， 恒为常数 ，则 的值为 nnap答案： 15或解析：由题意可假设 为奇数，则na1 23535,nn nkaa为 偶 数 ， 则。235,p5123nnkkpna为 奇 数 时 ，
7、 a恒 为 常 数 ， ， 或二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15 （本小题满分 14 分）已知以角 B为钝角的 AC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，,23,sinmab，且 .nm(1)求角 的大小；(2)求 cos的取值范围解： (1) ，得 (2 分).n032sin0abA由正弦定理，得 ，代入得： (3 分)si,aRB， ， (5 分)3sin2in0,iAB23sin为钝角，所以角 . (7 分)3(2)(理科) cosC2cos2AC3cos(6(或： A3) (10 分)sinsi2
8、co1s A由(1)知 ， (12 分)3,30A1,23i故 的取值范围是Ccos,216 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形，且PABDPABCDAB， ， ， 分别是 ， 的中点AMQ（1）求证： 平面 ； PABDCMNQ（第 16 题图）（2）若 ，垂足为 ，求证： ANPCNMPD解：（1）取 的中点 ，连结 ， ，EBE因为 是 的中点，所以 ， ，MDA12又因为 是 中点，所以 ，QBC12QC因为四边形 是平行四边形；A所以 ，所以 ,D ME 所以四边形 是平行四边形， 4 分所以 因为 平面 ，MQBEAPAB平面 ，P所以 平面
9、 6 分（2）因为 平面 , 平面 ,CDCD所以 ，又因为 , ,AAPA平面 ， 平面 ，P所以 平面 ，又 平面 ， CDN所以 9 分N又 ， ， 平面 ， 平面 ，ACPCDPCD所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，12 分AN又 ， 是 中点，所以 ，13 分PMM又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，NA AMN又 平面 ，所以 14NPD分17 （本小题满分 14 分）某人准备购置一块占地 平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围180均是宽为 米的小路（阴影部分所示） ，大棚所占地面积为 平方米，其中 S:12ab（1）试用 表示 ；,xyS（2）若要使 最大，则
10、的值各为多少？,xy解： 由题可得： ，1802ba则 3ya4 分.8 分3(2)(3)(8)()ySxabxa8103xy(2)方法一:10 分104180)x12 分423821568,x当且仅当 ,即 时取等号, 取得最大值.此时 .80xS1045yx所以当 时， 取得最大值 14 分4,5yS方法二:设 ， 10 分480()1(3)Sfxx(，12 分2280)()f令 得 ，x4当 时, ,当 时, .0()0fx4()0fx当 时, 取得最大值.此时xS5y所以当 时， 取得最大值. 14 分45y18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系中，方程为 20xyDEF
11、的圆 M的内接四边形 ABCD的对角线 和 B互相垂直，且 AC和 B分别在 x轴和 y轴上 .（1）求证： 0F；（2）若四边形 的面积为 8，对角线 的长为 2，且 0AD，求24E的值；（3）设四边形 ABCD的一条边 的中点为 G， OHB且垂足为 .试用平面解析几何的研究方法判断点 、 、 是否共线，并说明理由.解： （1）证法一：由题意，原点 O必定在圆 M内，即点 (0,)代入方程 20xyDEF的左边后的值小于 0，于是有 0F，即证. 4 分xyHGOAMCBD第 18 题证法二：由题意，不难发现 A、 C两点分别在 x轴正负半轴上. 设两点坐标分别为,0Aa， ,Cc，则有
12、 0ac. 对于圆方程 2xyDEF，当 0y时， 可得 20xDF，其中方程的两根分别为点 A和点 的横坐标，于是有 ACxac.因 为 0ac，故 . 4 分（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形 BD面积 2BS，因为 8S，AC，可得 8BD. 6 分又因为 0，所以 A为直角，而因为四边形是圆 M的内接四边形，故24r. 8 分对于方程 20xyDEF所表示的圆，可知224DEFr，所以2246DEFr. 10 分（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为 ,0Aa， ,Bb， ,0Cc， ,d.则可得点 G的坐标为 ,2cd，即 ,2cdOG. 12 分又 ,ABab，且 ABH，故要
13、使 、 、 H三点共线，只需证 0ABOG即可.而 2dcOG，且对于圆 M的一般方程 2xyDEF，当 0y时可得 0xDF，其中方程的两根分别为点 A和点 C的横坐标，于是有 ACac. 14 分同理，当 x时，可得 2yE，其中方程的两根分别为点 B和点 D的纵坐标，于是有 BDybdF.所以， 02bdacABOG，即 ABOG.故 、 、 H必定三点共线. 16 分19 （本小题满分 16 分）已知两个无穷数列 分别满足 ， ，,nab12na1nb其中 ，设数列 的前 项和分别为 ，*nN,n ,nST（1）若数列 都为递增数列，求数列 的通项公式；,nabab（2）若数列 满足：
14、存在唯一的正整数 ，使得 ，称数列 为“c(2)k1kcnc坠点数列”k若数列 为“5 坠点数列”，求 ；nanS若数列 为“ 坠点数列”，数列 为“ 坠点数列 ”，是否存在正整数pbq，使得 ，若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.m1mST解： （1）数列 都为递增数列， ，,na12na，2121,nbbN ， ；4 分a1,2n（2）数列 满足：存在唯一的正整数 ，使得 ，且 ，=5k1ka12na数列 必为 ，即前 4 项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，n,357,9,从第 5 项开始为首项 5，公差为 2 的等差数列，5 分故 ；7 分2,41,nSn ，即 ， 221b
15、2b1|nb而数列 为“ 坠点数列”且 ，数列 中有且只有两个负项nqnb假设存在正整数 ，使得 ，显然 ，且 为奇数，而 中各项均为m+1mSTmTna奇数， 必为偶数9 分2132()mSi.当 时， q113mmmT当 时， ，故不存在 ，使得 成立62()1mSTii.当 时， 110显然不存在 ，使得 成立m1mSTiii当 时，q3212+3mm当 时，才存在 ，使得 成立，所以 123()1ST6当 时， ，构造： 为 ， 为6na,5,79nb,48,2此时 ， ， 所以 的最大值为 .16 分p5qm620 （本小题满分 16 分）已知函数 , .2()|ln1|fxax()
16、|2ln,0gxaa（1）当 时,求函数 在区间 上的最大值；a()fe（2）若 恒成立,求 的取值范围；3()2fx（3）对任意 ,总存在惟一的 ,使得 成立, 求 的取值1)2)x12()fxga范围.解：（1）当 , 时 , ,axe2()lnf()()1ffx所以 在 递增,所以 4 分()f12max()fe（2）当 ex时， xfl)(2， xa， 0，0)(f恒成立, )(f在 ),e上增函数,故当 ex时，2miney5 分当 x1时， ， )2)(2)( axxaf ，2()lnfxax（i）当 ,2a即 0时， )(f在 ),1(e时为正数，所以 )(f在区间),1e上为增
17、函数,故当 1x时， aymin，且此时 )(f7 分2e(ii)当 a1,即 2ea时， )(xf在 )2,1(时为负数，在间ya2x),2(eax 时为正数,所以 )(xf在区间 )2,1a上为减函数，在 ,2(ea上为增函数,故当 时， ln23minay，且此时 )(eff8分(iii)当 ea2,即 2e时， )(xf在 ),1(e时为负数，所以 )(xf在区间1,e上为减函数，故当 x时， 2minfy9 分综上所述，函数 )(fy的最小值为 22in,l30,ea10 分所以当 时,得 ；当 ( )时,无解；312a02al当 （ ）时,得 不成立. 2ee3e综上,所求 的取值
18、范围是 11 分a02a（3）当 时, 在 单调递增,由 ,02()gx)(26ln21gaa）得 12 分5ln当 时， 在 先减后增,由 ,12a()x) 3(ll2）得 , 设 ,ll20(ln2l()ahttt,()n(1)httt所以 单调递增且 ，所以 恒成立得 14 分()0t4a当 时, 在 递增，在 递减，2ae()fx2,a,2在 递增,所以由 ,)g3ln得 ,设 ,23ln2l04aa2()3ln2lmtt则 ,所以 递增，且 ,2()l(mttet()0所以 恒成立，无解. ()0mt当 时， 在 递增，在 递减，在 递增,2ae()fx2,a,2a)所以由 得 无解
19、.()gln04e综上,所求 的取值范围是 16 分a5l2,4)3a江苏省南通市 2019 届高三下学期重点中学模拟考试数学(附加题 )21 【选做题】在 A、B、C、四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 42 矩阵与变换已知矩阵 M1a，其中 R，若点 (1,2)P在矩阵 M的变换下得到点(4,0)P（1）求实数 a 的值； （2）求矩阵 的特征值及其对应的特征向量解：（1）由 12= 40， （2 分） 243a. 3 分（2）由（1）知 M3，则矩阵 的特征多项式为 22()(2)16341f5
20、分令 0f，得矩阵 的特征值为 与 4. （6 分）当 1时， (2)301xyxy矩阵 M的属于特征值 的一个特征向量为 1; 8 分当 4时， (2)302301xyxy矩阵 M的属于特征值 的一个特征向量为 10 分B选修 44 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，曲线 C1：与曲线 C2： （t R ）交于 A、B 两点求证：OAOB cos()2424,xy解：曲线 1的直角坐标方程 ，曲线 2C的直角坐标方程是抛物线 24yx，4 分设 (,)Axy， 2(,)Bxy，将这两个方程联立，消去 x，得 214606， 421y
21、-6 分016)()4( 21221 yyyx-8 分 ， OBA -10 分0OABC选修 45 不等式选讲已知实数 满足 ，且 ，求证：,abcc221,1abcbc43ab解：因为 a b1 c， ab c2 c， 3 分2()()所以 a， b 是方程 x2(1 c)x c2 c0 的两个不等实根，则(1 c)24( c2 c)0，得 c1， 53分而( c a)(c b) c2( a b)c ab0，即 c2(1 c)c c2 c0，得 c0，或 c ， 8 分23又因为 ，所以 所以 c0，即 1 a b 10 分143【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计
22、20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图所示,在棱长为 2 的正方体 1AC中,点 PQ、 分别在棱A DB CPA1B1 C1QD1第 22 题BCD、 上,满足 1BQP,且 2.(1)试确定 P、 两点的位置.(2)求二面角 1A大小的余弦值.解：(1)以 ,BD 为正交基底建立空间直角坐标系 Axyz,设(02)CPa,则 2(,0)(,0)QPaQa , 21(,)BQa,1(,)D, 1B, 1D， 24，解得 14 分PC=1,CQ=1,即 P、分别为 ,BC 中点5 分(2)设平面 1CQ的法向量为 (,)nabc
23、， 1(,0)(,2)PQC ,又0n， 02b，令 1，则 2ab, ,n8 分 (,2)k为 面 AP的 一 个 法 向 量 , cos,3nk,而 二 面 角 为 钝 角 ,故 余 弦 值 为 13 23 （本小题满分 10 分）已知 2 *01()()(1)(1)n nxaxaax+N求 及 ；1niS试比较 与 的大小，并说明理由n2()n解：令 ，则 ，令 ，则 ，所以 2 分x0ax03nia132nniSa要比较 与 的大小 ，只要比 较 与 的大小nS2()n+n2()n+当 时， ；当 或 时， ，131n当 或 时， ，452()n猜想：当 时， 下面用数学归纳法证明：4 分 n+由上述过程可知，当 时，结论成立5 分4n假设当 时结论成立，即 ，*(,)nkN 23(1)kk+两边同乘以 ，得 ，312 2(3)4k k+ +而 2()43)4()6k k，所以 ，()60 1122()k+即 时结论也成立1n+由可知，当 时， 成立9 分4n 23()nn综上所述，当 时， ；当 或 时， ；132(1)nn+当 时， 10 分4n 23()nn+
