1、南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次模拟数学 2019.2一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 已知集合 ， ，则集合 = 13A， 01B， AB【答案】 0， ，【考点】集合的运算。【解析】并集是属于 A 或属于 B 的元素，所以， AB013， ，2 已知复数 （ i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 .2i31z=【答案】 5【考点】复数的概念及其运算。【解析】 ，所以，z2i3=12iz 53 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1 ）班 50 名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5人数 20 15 10 5则平均每人参
2、加活动的次数为 .【答案】3【考点】数据的平均数。【解析】平均次数为： 320315405104 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 【答案】7【考点】算法初步。【解析】第 1 步：a1，b 3；第 2 步：a5，b5；第 3 步：a21，b7，退出循环，所以，b7 。5 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 【答案】 23【考点】古典概型。【解析】设数学、物理、化学分别为 1、2 、3，则甲、乙两位同学参加的兴趣小组可能为：（1，1 ） （1，2） 、 （1，3 ） 、 （2，1） 、 （2 ，2） 、 （2，3 ） 、（
3、3 ， 1） 、 （3，2） 、 （3，3） ，共 9 种，参加不同兴趣小组的可能有 6 种，所以，所求概率为：P 6936已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是 cm，则这个正四棱柱的体积为 5cm3【答案】 54【考点】棱柱的结构特征及其体积的计算。【解析】设正四棱柱的高为 h，则 ，解得：h6223(5)VSh96 54。7 若实数 满足 ，则 的最小值为 xy， 2+x y【答案】 6【考点】线性规划。【解析】原不等式化为： ，平面区域如下图所示，2+3xy目标函数 zxy 过点 A（3，3）时，取得最小值为： 68 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的准线为 l
4、，直线 l 与双曲线 214xy2(0)ypx的两条渐近线分别交于 A，B 两点， ，则 的值为 6【答案】 26【考点】抛物线和双曲线的性质。【解析】双曲线 214xy的两条渐近线为 ，12yx抛物线 的准线为： ，2(0)yppxA、B 两点坐标分别为（ ， ） ， （ ， ） ，2424所以，AB2 ， p69 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 与曲线 相切于3yxtsincosyaxbatR， ，点 ，则 的值为 01， abt【答案】 4【考点】函数的导数及其应用。【解析】 ，切线的斜率为 k3 ，切点在直线和曲线上，有：cosinyaxb，所以， 413tbat10已知数列
5、是等比数列，有下列四个命题：na数列 是等比数列； 数列 是等比数列； 1na数列 是等比数列； 数列 是等比数列1na 2lgna其中正确的命题有 个【答案】 3【考点】等比数列的定义、通项公式。【解析】数列 是等比数列，所以， ，na1naq对于， ，所以，数列 是等比数列，正确；11|nnqn对于， ，所以，数列 是等比数列； 21na 1na对于， ，所以，数列 是等比数列；1naqn对于， ，不是常数，所以，错误211lglnn共有 3 个命题正确。11 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 当 时，()fxR(2)(fxf01x，则实数 a 的值为 ()f31a【答案】2【考点】函数
6、的奇偶性，周期性。【解析】函数 是定义在 上的奇函数，所以， ，()fxR(1)(ff又因为 ，所以， ，2ff(1)ff即 ，即 ，(1)f(1)0f所以， ，解得：3fa2a12 在平面四边形 中， ， 则 的最小ABCD1ADB， 32CAD， ， ACD值为 【答案】 25【考点】平面向量的数量积。【解析】如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0,0） ，B（1,0） ，因为 DADB，可设 D（ ，m ） ，12因为 ，AB1，可设 C（3，n） ，3BC又 所以， ，即A， 12，2(4,2)Dnm ，C2164n218418425mnn当且仅当 ，即 n1，m 时，取
7、等号。213在平面直角坐标系 xOy 中，圆 ，圆 若存在过点 的21Oxy： 24Cxy： 0Pm，直线 l，l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是 【答案】 43，【考点】直线与圆的方程，直线截圆的弦长问题，一元二次不等式。 。【解析】直线 l 的斜率 k 不存在或 0 时均不成立，设直线 l 的方程为： ，xym圆 O（0，0 ）到直线 l 的距离 ，圆 C（4，0）到直线 l 的距离 ，12|kd22|4|1kmdl 被两圆截得的弦长相等，所以， ，即 ，21d213所以， 3，化为：2221681kmk2268kmk0，得：23又 121kmd21k238m26即 ，解得
8、：23860414 已知函数 若 ，则满()2|2|(0)fxaxa(1)2(3)ff(672)0f足 的 的值为 019f【答案】337【考点】函数的对称性，综合应用数学知识解决问题的能力。【解析】注意到： ， ，又因为：()02af2a， ，3()|(0)2afxx 3()2|(0)2afxaxa因此， 0f()2af所以，函数 关于点 对称，所以， ，解得： ，)x,1672a6732019，()2673|673|fxx显然有： ，即02019x14所以， 2019，()673673f x1，解得：x3372673二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15 （本小题满分 14 分
9、）如图，在四棱锥 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点已知侧面 PAD底面 ABCD，PABCD底面 ABCD 是矩形，DA =DP求证：（1）MN平面 PBC； （2）MD平面 PAB【证明】 （1）在四棱锥 中，M ，N 分别为PABCD棱 PA，PD 的中点，所以 MNAD2 分又底面 ABCD 是矩形，所以 BCAD 所以 MNBC 4 分又 BCPMNPBC平 面 ， 平 面 ，所以 MN平面 PBC 6 分（2）因为底面 ABCD 是矩形，所以 ABAD又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCD=AD，AB 底面 ABCD，所以 AB侧面 PAD8 分又 MD 侧
10、面 PAD，所以 ABMD 10 分因为 DA=DP，又 M 为 AP 的中点，从而 MD 12 分PA又 ，AB 在平面 PAB 内， ，PAB所以 MD平面 PAB14 分16 （本小题满分 14 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长， ， cos2csaBbA3o（1 ）求角 的值；B（2 ）若 ，求ABC 的面积6【解】 （1）在ABC 中，因为 ， ，3cosA0所以 2 分26sin1A因为 ，cocsaBb由正弦定理 ，得 iniincos2incosABA所以 4 分cos若 ，则 ，与 矛盾，故 =0Bi022sics1cs0B于是 snta1co又
11、因为 ，所以 7 分4B（2）因为 ， ，6a6sin3A由（1）及正弦定理 ，得 ，isinabB623b所以 9 分 32b又 sinisinCABcos12 分63262所以 的面积为 .14 分ABC23621sin4SabC17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，21yxab=(0)FA上顶点为 B（1 ） 已知椭圆的离心率为 ，线段 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程；12AF2（2 ）已知 外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值AFyx=e【解】 （1）因为椭圆 的离心率为 ，21xyab=(0)12所以 ，则 cc
12、因为线段 中点的横坐标为 ，AF2所以 2ac=所以 ，则 ， 28226bac=所以椭圆的标准方程为 4 分1xy（2 ）因为 ，(0)()AaFc， ， ，所以线段 的中垂线方程为： 2acx=又因为 外接圆的圆心 C 在直线 上，By所以 6 分()2acC，因为 ，0)(Ab， ， ，所以线段 的中垂线方程为： B()2bayx=由 C 在线段 的中垂线上，得 ，)2cca整理得， ，10 分2()bac即 ()0因为 ，所以 12 分abc所以椭圆的离心率 14 分2eab18 （本小题满分 16 分）如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ， 的长分别为 和ABCD， 23m
13、，上部是圆心为 的劣弧 ， 4mOCD=3O（1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离；（2 ）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直，AB如图 2、图 3、图 4 所示设 与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地面Bl的最大距离为 ，试用 的函数表示 ，并求出 的最大值hh【解】 （1）如图，过 作与地面垂直的直线交 于点 ，交劣弧 于点 ， 的OABCD， 12O， CDP1O长即为拱门最高点到地面的距离在 中， ， ，2RtC 232所以 ，圆的半径 1ROC所以 12=5OP答：拱门最高点到地面的距离为 4 分m（2 ）在拱门放倒过程中，过点 作与地面
14、垂直的直线与 “拱门外框上沿”相交于点 OP当点 在劣弧 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于圆 的半径长与圆心PCDhO到地面距离之和；O当点 在线段 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距离A D由（1）知，在 中， 1RtOB 213OB以 为坐标原点，直线 为 轴，建立如图所示的坐标系Blx（2.1 ）当点 在劣弧 上时， PCD62由 ， ，6OBx23由三角函数定义，得 ，23cos()sin()6，则 8 分ih所以当 即 时，623取得最大值 10 分h（2.2 ）当点 在线段 上时， 设 ，在 中，PAD06 =CBDRtBCD，27DBC31427sinco
15、s7，由 ，得 Bx()sin()D，所以 14 分27sin()h4sin23co又当 时， 064cos23in4cos23in06h所以 在 上递增4sin23h06，所以当 时， 取得最大值 6h5因为 ，所以 的最大值为 23523答： ；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地4sincos0623()62h， ， 面距离的最大值为（ ） 16 分3m19 （本小题满分 16 分）已知函数 ()lnafxR（1 ）讨论 的单调性；f（2 ）设 的导函数为 ，若 有两个不相同的零点 ()fx()fx()f 12x， 求实数 的取值范围；a 证明： 12()()ln2xffxa【解】 （
16、1） 的定义域为 ，且 0+， 2()xf（1.1 ）当 时， 成立，所以 在 为增函数； 2 分a ()fx()f0+，（1.2 ）当 时，0（i）当 时， ，所以 在 上为增函数；x()0fx()fxa，（ii）当 时， ，所以 在 上为减函数4 分0aff0，（2 ） 由（1 ）知，当 时， 至多一个零点，不合题意； ()fx当 时， 的最小值为 ，0a()fxfa依题意知 ，解得 6 分=1ln01e一方面，由于 ， ， 在 为增函数，且函数 的图af()fxa， ()fx象在 上不间断1，所以 在 上有唯一的一个零点()fxa，另一方面， 因为 ，所以 10e210ea，令 ，221
17、()lnlfaalng当 时， ，0e22110ag所以 2()lnf gea又 ， 在 为减函数，且函数 的图象在 上不间断0fa(fx0， ()fx2a，所以 在 有唯一的一个零点()f，综上，实数 的取值范围是 10 分a10e， 设 121212=+aapxffxxx又 则 12 分12ln0ax， 12lnp下面证明 21a不妨设 ，由知 2x120xa要证 ，即证 1a2因为 ， 在 上为减函数，20x， ， ()fx0a，所以只要证 12aff又 ，即证 14 分1=0fx22affx设函数 2lnlFffxax所以 ，所以 在 为增函数.20xaF+，所以 ，所以 成立2F22
18、affx从而 成立.1xa所以 ，即 成立. 16 分12lnlpxa12ln2xffxa20 （本小题满分 16 分）已知等差数列 满足 ，前 8 项和 na4836S（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若数列 满足 nb211(21)n nkka N， 证明： 为等比数列； 求集合 *3()=pmab， ， ，【解】 （1）设等差数列 的公差为 dna因为等差数列 满足 ，前 8 项和 ，4836S所以 ，解得138762da， 1ad，所以数列 的通项公式为 3 分nn（2 ） 设数列 前 项的和为 bB由（1）及 得，2113(21)n nkka N，21113212nnkkknkba
19、n， ， 由-得 1122313132 +2nnnnnnbaba5 123211()()()2nnnnba 51+2baba121nnnB所以 ，132nnB N ，又 ，所以 ，满足上式1ba1b所以 6 分32nn当 时，2 21nnB由-得， 8 分b，1212nnbb 102nb所以 ， ，n所以数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 10 分由 ，得 ，即 3=pmab132mp3pm记 ，由得， ，nc12nacb所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立） 12n 1n 1n由 ，得 ，3=pmab3mpc所以 12 分设 ，由 ，得 tp*tN， ， 32pm32t当 时， ，不
20、合题意；13m当 时， ，此时 符合题意；2t68当 时， ，不合题意；95当 时， ，不合题意4t13下面证明当 时， tN ， 312tm不妨设 ，xf4，2ln30xf所以 在 上单调增函数，4+)，所以 ，()1ff所以当 时， ，不合题意tN ， 312tm综上，所求集合 16 分*()=pmabN， ， ， =68，21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 ， ，且 ，求矩阵 =abcdM102N10
21、42MNM【解】由题意， ，则 4 分14010因为 ，则 6 分=12N1=2所以矩阵 10 分40401MB选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （ 为参数） 以原点 O 为极点，2xty，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin()24求：（1）直线 l 的直角坐标方程；（2）直线 被曲线 C 截得的线段长【解】 （1）直线 l 的极坐标方程可化为 ，即 (sincosin)24sincos2又 ，cosixy，所以直线 l 的直角坐标方程为 4 分20xy（2）曲线 C: （ 为参数）的普通方
22、程为 2ty， xy由 ，得 ，20x， 20x所以直线 l 与曲线 C 的交点 ， 8 分1A， 24B，所以直线 被曲线 C 截得的线段长为 10 分22=1+=3C选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知实数 满足 ，求证： abc， ， 22bc 12229114abc【证明】由柯西不等式，得2222221c+c，5 分2222119ab 所以 10 分222221199314+abcabc 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)“回文数”是指从左到右与
23、从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y（1）求 X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量 表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望 ()E【解】 （1）记“X 是回文数 ”为事件 A9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为：44，88，132，176，220，264 ，308，352，396其中“回文数”有：44 ，88所以，事件 A 的概率 3 分2
24、()9P（2）根据条件知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2由（1）得 5 分2()9设“Y 是回文数 ”为事件 B，则事件 A，B 相互独立根据已知条件得， 2905=PC；8=011PA；25431981B8 分2502981所以，随机变量 的概率分布为0 1 2P 281438108所以，随机变量 的数学期望为 10 分27()019E23 (本小题满分 10 分)设集合 是集合 ， 的子集记 中所有元素的B123nA， ， ， 23nnN， ， ， B和为 （规定： 为空集时， =0） 若 为 3 的整数倍，则称 为 的“和谐子集” SBSBnA求：（1）集合 的“和谐子集”的个数
25、；1A（2）集合 的“和谐子集”的个数n【解】 （1）集合 的子集有： ， ， ， ， ， ， ，1=23， ， 12312， 3， 2，23， ，其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有： ， ， ， 312， 3， ，所以 的“和谐子集”的个数等于 43 分1A（2）记 的“和谐子集”的个数等于 ，即 有 个所有元素和为 3 的整数倍的子集；n nanAa另记 有 个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集，有 个所有元素和为 3 的整数nAb nc倍余 2 的子集由（1）知， 11=42ac， ，集合 的“和谐子集”+331321nAnnn， ， ， ， ， ， ， ， ，有以下四类（考察
26、新增元素 ）：12， ，第一类 集合 ， 的“和谐子集” ，共 个；23n， ， ， 31nn， ， na第二类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；1na同时含两个元素 的“和谐子集” ，共 个；32n， n同时含三个元素 的“和谐子集” ，共 个；131n， ， na第三类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；3nnc同时含两个元素 的“和谐子集” ，共 个；1+， n第四类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；32nnb同时含有两个元素 的“和谐子集” ，共 个，1n， nb所以集合 的“和谐子集”共有 个 +1nA142nnabc同理得 ， 7 分142nnbca142nncab所以 ， ，+()ab所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列n所以 同理得 =ab=nnac又 ，所以 10 分32nnc312nN，
