1、定远重点中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理科）试题本试卷分第卷和第卷两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 （选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.已知集合 ， ，则 （ ）|270AxN2|340 BxABA. B. C. D. 1,23,13|7| 2x2.复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）iA. B. C. D. 2i252i523.当 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 值为 （ ）4nSA. 9 B. 15 C. 31 D. 634.等比
2、数列 的前 项和为 ，且 成等差数列，若 ，nanS1234,a1a则 （ ）4SA. 15 B. 16 C. 18 D. 205.若 ，且 ，则 （ ）3sin25,2sin2A. B. C. D. 45115456.设 ， 分别是正方形 的边 ， 上的点，且EFABCDBC， ，如果 （ ， 为实数） ，则 的值为（ 12AB23EFmnAnmn） A. B. C. D. 01217.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. 92B. 61 C. 62 D. 738.设不等式组 表示的平面区域为 ，若直线10 4xyM上存
3、在 内的点，则实数 的取值范围是（ ）2ykxMkA. B. C. D. ,5,13,1,3,25,9.已知 ， 为 的导函数，则 的图像是（ ）2cos4fxxffxfxA. B. C. D. 10.已知函数 ，若 存在四个互不相等的实数根，则实数 的取24, 31xaf0fxa值范围为（ ）A. B. C. D. 2,6,2,6, 2,63,11.设函数 存在零点 ，且 ，则实数 的取值范围是1eln1xxfa0x1aA. B. C. D. ,1lne,eln1eln2,12.已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ fx4ffx4xf4og9f）A. B. C. D. 43433438第
4、II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 在底面1ABCD42MBCP内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为_.Q1PQ14.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ，在圆 内存在xOy2:9xy22:61Oxy2O一定点 ，过 的直线 被圆 ，圆 截得的弦分别为 ， ，且 ，则定点 的Ml12ABCD34ABM坐标为_.15.已知函数 ,若对任意的实数 ,都存在唯一的实数 ,sin6fx5620m使 ,则实数 的最小值是_0ffm16.如图，为了测量河对岸 、 两点之间的距离，观察者
5、找到一个点 ，从点 可以观察到点 、ABCA；找到一个点 ，从点可以观察到点 、 ；找到一个点 ，从点可以观察到点 、 ；并测BDCEBC量得到一些数据： ， ， ， ， ， 2C3E45D105A48.19， ，则 、 两点之间的距离为_ （其中 取近似值75E60 cos.）23三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.（本小题满分 10 分）已知 的内角 所对的边分别为 ， .（1） ；（2）若 的平分线交 于点 ，且 的面积为 ，求 的长.18. 本小题满分 12 分）已知右焦点为 的椭圆 与直线 相交于 两点，且F2:1(3)xyMa
6、37y,PQ.PQ（1）求椭圆 的方程；（2） 为坐标原点， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，试探究OA， ,BCOABC的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.ABC19. （本 题满分 12 分）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，且对任意 ，都有 ，. （）求 的值，并证明 为奇函数；（）若 时， ，且 ，证明 为 上的增函数，并解不等式 .20. （本小题满分 12 分）已知曲线 上任意一点 到直线 的距离是它到点 距1CM:y4l0,1F离的 2 倍；曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线2CF（1）求 的方程；1,（2）设过点 的直线与曲线 相交于 两点，分别
7、以 为切点引曲线 的两条切线 ，F2,AB,AB2C12,l设 相交于点 ，连接 的直线交曲线 于 两点，求 的最小值1,lP1C,D21. （本小题满分 12 分）如图，在边长为 的菱形 中， .点 ， 分别在边 ， 上，点 与点 ，不重合， ， .沿 将 翻折到 的位置，使平面 平面 .（1）求证： 平面 ；（2）当 与平面 所成的角为 时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.22. （本小题满分 12 分）已知 .（1）讨论 的单调性；（2）若 有三个不同的零点，求的取值范围.理科数学试题答案1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.C8.A9.A10.D11.D12.B13. 314.
8、 1807，15. 216. 1017.(1) (2) 【解析】 （1）因为 ，所以 .于是， .（2）由 可得 .设 的面积为 ， ， .则 . 为 的平分线， ， .又 . .在 中,由余弦定理可得， .18.(1) (2) 的面积为定值2143xyABC92【解析】 （1）设 ， ，则 ， ,0Fc3,7Pt3,7Qt，即 ，237ta247ta， ，即 ，PFQ31tc297ct由得 ，2497a又 ， ， 23ac椭圆 的方程为 M2143xy（2）设直线 方程为： ，ABkxm由 得 ， 2143xykm22484101228346kmxy为重心， ， O2286,34kmCOAB
9、点在椭圆 上，故有 ，CE22143kk可得 ， 243mk而 ，22 22 28141419333mkAB mk点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的 3 倍得到） ，C2ddAB， 222661 919312344ABCSkmm当直线 斜率不存在时， ， ， ，ABdABCS的面积为定值 219.(1) ,见解析(2) 解集为 .01f【解析】 （）解：令 ，得 . 值域为 ， .fx,01f 的定义域为 ， 的定义域为 .x又 ， ， 为奇0ffx1fxffx函数.（2） ，任取 12x ， ，12x10x 时， ， ， ，021fx210fx又 值域为 ， ， .21f2ffx 为
10、上的增函数.fx， .34,1636fff又 为 上的增函数， .1x故 的解集为 .20.（1）曲线 的方程 ，曲线 的方程为 ；（2）最小值为 1C2134xy2C4xy7【解析】 （1）设 ，则 曲线 的方程 ，设曲线 的(,)M22|,()xy12132C方程为 ，则 曲线 的方程为 20xpy1,p224xy（2）设 方程为 ，代入曲线 的方程得 ，12(,)(,)ABxAykx2C240kx124xk由 2221 121,:,:(,)4444xxxylylyP，代入曲线 方程得1(,1),:PFkCDABkk1C，设 ， 22(43)84y120 23434283(,)(,)kyx
11、y()()ADCBFCFB12341|()|2AFCBFDCBAFDCyy2112 1121(4)() ()84ykxkxx k（其中 ）29394t243t设 ，则 ，故 在 单调递增，因此ftt2910tft ft3,，当且仅当 即 等号成立，故 的最1393744ADCBt 3tkADCB小值为 721.解析：（1） ， .平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ， 平面.（2）如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，连接 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角，即 ， .设 ， ， 为等边三角形， ， ， .设 ，则 ，由 ，得 ，即 ， . ， ， ， ， .设平面 、平面 的法向量分别为
12、 ， ，由 ，取 ，得 .同理，得 ， ，所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .22.解析：（1）由已知 的定乂域为 ，又 ，当 时， 恒成立； 当 时，令 得 ；令 得 .综上所述，当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数.（2）由题意 ，则 ，当 时， ， 在 上为增函数，不符合题意.当 时， ，令 ，则 .令 的两根分别为 且 ，则 ， ，当 时， ， ， 在 上为增函数；当 时， ， ， 在 上为减函数；当 时， ， ， 在 上为增函数. ， 在 上只有一个零点 1，且 。，. ，又当 时， . 在 上必有一个零点. . ，又当 时， ， . 在 上必有一个零点.综上所述，故的取值范围为 .
