1、第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理11.1 正弦定理(一)课时目标1熟记正弦定理的内容；2能够初步运用正弦定理解斜三角形1在ABC 中，AB C ， .A2 B2 C2 22在 RtABC 中，C ，则 sin_A， sin _B.2 ac bc3一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 asin A bsin B，这个比值是 三角形外接圆的直径 2R.csin C一、选择题1在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 A
2、BC 123，则abc 等于( )A123 B234C345 D1 23答案 D2若ABC 中，a4，A45，B60，则边 b 的值为( )A. 1 B2 13 3C2 D226 3答案 C解析 由正弦定理 ，asin A bsin B得 ，b2 .4sin 45 bsin 60 63在ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2C，则ABC 为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形答案 A解析 sin 2Asin 2Bsin 2C(2 R)2sin2A(2 R)2sin2B(2R) 2sin2C，即 a2b 2c 2，由勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形4在AB
3、C 中，若 sin Asin B，则角 A 与角 B 的大小关系为 ( )AA B BAsin B2Rsin A2Rsin BabA B.5在ABC 中，A60，a ，b ，则 B 等于( )3 2A45或 135 B60C45 D135答案 C解析 由 得 sin Basin A bsin B bsin Aa .2sin 603 22ab，AB ， Bbsin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ，故 B60 或 120.bsin Aa 6sin 3023 32当 B60时，C90 ，c 4 ；a2 b2 3当 B120时，C30 ，c a2 .3所以 B60 ，C90 ，c 4
4、 或 B120，C 30，c2 .3 3能力提升13在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 若 a ，b2，sin Bcos 2B ，则角 A 的大小为_ 2答案 6解析 sin Bcos B sin( B) .24 2sin( B )1.4又 0bA 为直角或钝角 无解 一解( 锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1熟记正弦定理的有关变形公式；2能够运用正弦定理进行简单的推理与证明1正弦定理： 2R 的常见变形：asin A bsin B csin C(1)sin Asin Bsin Cabc；(2) 2R；asin A bsin B csin C a b csin
5、A sin B sin C(3)a2Rsin _A， b2Rsin_B，c2Rsin _C；(4)sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2R2三角形面积公式：S absin C bcsin A casin B.12 12 12一、选择题1在ABC 中，sin Asin B，则ABC 是( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案 D2在ABC 中，若 ，则ABC 是( )acos A bcos B ccos CA直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知： ，sin Acos A sin Bcos B sin Cco
6、s Ctan Atan Btan C，ABC .3在ABC 中，sin A ，a10，则边长 c 的取值范围是 ( )34A. B(10 ，)(152， )C(0,10) D.(0，403答案 D解析 ， c sin C.csin C asin A 403 40300)，b c4 c a5 a b6则Error! ，解得Error! .sin Asin Bsin Cab c7 53.6已知三角形面积为 ，外接圆面积为 ，则这个三角形的三边之积为( )14A1 B2C. D412答案 A解析 设三角形外接圆半径为 R，则由 R2，得 R1，由 S absin C ，abc1.12 abc4R a
7、bc4 14二、填空题7在ABC 中，已知 a3 ，cos C ，S ABC 4 ，则 b_.213 3答案 2 3解析 cos C ，sin C ，13 223 absin C4 ，b2 .12 3 38在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A60，a ，b1，则3c_.答案 2解析 由正弦定理 ，得 ，asin A bsin B 3sin 60 1sin Bsin B ，故 B30或 150.由 ab，12得 AB，B30，故 C90 ，由勾股定理得 c2.9在单位圆上有三点 A，B，C ，设ABC 三边长分别为 a，b，c，则 asin A b2sin B_.2
8、csin C答案 7解析 ABC 的外接圆直径为 2R2， 2R2，asin A bsin B csin C 2147.asin A b2sin B 2csin C10在ABC 中，A60，a6 ，b12，S ABC 18 ，则3 3_，c_.a b csin A sin B sin C答案 12 6解析 12.a b csin A sin B sin C asin A 6332SABC absin C 6 12sin C18 ，12 12 3 3sin C ， 12， c6.12 csin C asin A三、解答题11在ABC 中，求证： .a ccos Bb ccos A sin Bsi
9、n A证明 因为在ABC 中， 2R ，asin A bsin B csin C所以左边2Rsin A 2Rsin Ccos B2Rsin B 2Rsin Ccos A 右边sinB C sin Ccos BsinA C sin Ccos A sin Bcos Csin Acos C sin Bsin A所以等式成立，即 .a ccos Bb ccos A sin Bsin A12在ABC 中，已知 a2tan Bb 2tan A，试判断ABC 的形状解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan Bb 2tan A a2sin Bcos B b2sin Acos A 4R2sin2 Asin
10、Bcos B 4R2sin2 Bsin Acos Asin Acos A sin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B 或 2A2BAB 或 A B .2ABC 为等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC 中，B60，最大边与最小边之比为( 1)2，则最大角为( )3A45 B60 C75 D90答案 C解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 AC120， sin Csin A sin(120 A)sin Asin 120 cos A cos 120sin Asin A ，32tan A 12 3 12 32 12tan A1，A45 ，C75.14在ABC 中，a，b，c 分
11、别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a2，C ，4cos ，求ABC 的面积 S.B2 255解 cos B 2cos 2 1 ，B2 35故 B 为锐角，sin B .45所以 sin Asin(BC)sin .(34 B) 7210由正弦定理得 c ，asin Csin A 107所以 SABC acsin B 2 .12 12 107 45 871在ABC 中，有以下结论：(1)ABC ；(2)sin(AB )sin C，cos(AB)cos C；(3) ；A B2 C2 2(4)sin cos ，cos sin ，tan .A B2 C2 A B2 C2 A B2 1tan C22借
12、助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明11.2 余弦定理(一)课时目标1熟记余弦定理及其推论；2能够初步运用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 a2b 2c 22bccos_A，b 2c 2a 22ca cos_B，c 2a 2b 22abcos _C.2余弦定理的推论cos A ；cos B ；cos C .b2 c2 a22bc c2 a2 b22ca a2 b2 c22ab3在ABC 中：(1)若 a2b 2c 20，则 C90 ；(2)若 c2a 2b 2ab，则
13、 C60 ；(3)若 c2a 2b 2 ab，则 C135.2一、选择题1在ABC 中，已知 a1，b2，C60，则 c 等于( )A. B33C. D55答案 A2在ABC 中，a7，b4 ，c ，则ABC 的最小角为( )3 13A. B.3 6C. D.4 12答案 B解析 abc ， C 为最小角，由余弦定理 cos Ca2 b2 c22ab .C .72 432 1322743 32 63在ABC 中，已知 a2，则 bcos Cccos B 等于( )A1 B. C2 D42答案 C解析 bcos Cccos Bb c a2.a2 b2 c22ab c2 a2 b22ac 2a22
14、a4在ABC 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B 等于( )A. B. C. D.14 34 24 23答案 B解析 b 2ac ，c2a，b 2 2a2，b a，2cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a22a2a 345在ABC 中，sin 2 (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边)，则ABC 的形A2 c b2c状为( )A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案 B解析 sin 2 ，A2 1 cos A2 c b2ccos A a 2b 2c 2，符合勾股定理bc b2 c2 a22bc故ABC 为直角三角形6在ABC 中，已知面积
15、 S (a2b 2c 2)，则角 C 的度数为( )14A135 B45 C60 D120答案 B解析 S (a2b 2c 2) absin C，14 12a2 b2c 22 absin C，c 2a 2b 22absin C.由余弦定理得：c 2a 2b 22abcos C，sin Ccos C，C 45 .二、填空题7在ABC 中，若 a2b 2c 2bc，则 A_.答案 1208ABC 中，已知 a2，b4，C60，则 A_.答案 30解析 c 2a 2b 22abcos C2 24 2224cos 6012c 2 .3由正弦定理： 得 sin A .asin A csin C 12a0
16、，b0)，则最大角为_a2 ab b2答案 120解析 易知： a， b，设最大角为 ，a2 ab b2 a2 ab b2则 cos ，a2 b2 a2 ab b222ab 12120.10在ABC 中，BC1，B ，当ABC 的面积等于 时，tan C_.3 3答案 2 3解析 S ABC acsin B ，c 4.由余弦定理得，b 2a 2c 22accos B13，12 3cos C ，sin C ，a2 b2 c22ab 113 1213tan C 2 .12 3三、解答题11在ABC 中，已知 CB7，AC 8，AB9，试求 AC 边上的中线长解 由条件知：cos A ，设中线长为
17、x，由余弦定AB2 AC2 BC22ABAC 92 82 72298 23理知：x 2 2AB 22 ABcos A4 29 2249 49(AC2) AC2 23x7.所以，所求中线长为 7.12在ABC 中，BCa，AC b，且 a，b 是方程 x22 x20 的两根，32cos(A B)1.(1)求角 C 的度数；(2)求 AB 的长；(3)求ABC 的面积解 (1)cos Ccos (A B)cos(AB ) ，12又 C(0，180) ，C120.(2)a， b 是方程 x22 x20 的两根，3Error!AB2b 2a 22abcos 120 (ab) 2ab10，AB .10(
18、3)SABC absin C .12 32能力提升13(2010潍坊一模)在ABC 中，AB2，AC ，BC1 ，AD 为边 BC 上的高，6 3则 AD 的长是_答案 3解析 cos C ，BC2 AC2 AB22BCAC 22sin C .22ADACsin C .314在ABC 中，acos A bcos Bccos C，试判断三角形的形状解 由余弦定理知cos A ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C ，a2 b2 c22ab代入已知条件得a b c 0，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac c2 a2 b22ab通分得 a2(b2c 2a
19、 2)b 2(a2c 2b 2)c 2(c2a 2b 2)0，展开整理得(a 2b 2)2c 4.a2 b2c 2， 即 a2b 2c 2 或 b2a 2c 2.根据勾股定理知ABC 是直角三角形1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例11.2 余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理；2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1) 2R.asin A bsin B csin C(2)a2Rsin _A， b2Rsin_
20、B，c2Rsin _C.(3)sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2R(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b 2c 22bccos _A.(2)cos A .b2 c2 a22bc(3)在ABC 中 ，c 2a 2b 2 C 为直角；c 2a2b 2C 为 钝角；c 2 b Ba0 ，a 2b2，ab.6如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2b 2c 2，则(ax )2(bx )2(cx) 2a 2
21、b 22x 22( ab)x c 22cxx 22(abc)xx 20，c x 所对的最大角变为锐角二、填空题7在ABC 中，边 a，b 的长是方程 x25x20 的两个根，C60，则边c_.答案 19解析 由题意：ab5，ab2.由余弦定理得：c 2a 2b 22abcos Ca 2b 2ab(ab) 23ab5 23219，c .198设 2a1，a,2a1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是_答案 20，a ，最大边为 2a1.12三角形为钝角三角形，a 2(2 a1) 22a1，a2，2 BC0，则S ABACsin A10 k210 .12 3 3k 1， AB8，AC5，由
22、余弦定理 ：BC2AB 2AC 22AB ACcos A8 25 2285 49.12BC7， 周长为： ABBCCA20.9已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为_答案 275解析 不妨设三角形三边为 a，b，c 且 a6，bc12，由余弦定理得：cos A ，b2 c2 a22bc 122 122 6221212 78sin A .1 (78)2 158由 (abc)r bcsin A 得 r .12 12 3155S 内切圆 r2 .27510某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得知，该渔船沿北偏东 105方向
23、，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是_小时答案 23解析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在ABC 中，由已知可得： ACB120，设舰艇到达渔船的最短时间为 t，则 AB21t，BC 9t，AC10，则(21t) 2(9t)21002109tcos 120，解得 t 或 t (舍)23 512三、解答题11如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.解 在ABC 中， BCA90 ，ABC 90，BAC ， CAD .根据正弦
24、定理得： ，ACsinABC BCsinBAC即 ，ACsin90 BCsin ACBCcos sin .hcos sin 在 RtACD 中，CDACsinCADAC sin .hcos sin sin 即山高 CD 为 .hcos sin sin 12已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD 的面积解 连接 BD，则四边形面积SS ABDS CBD ABADsin A BCCDsin C.12 12AC180 ，sin Asin C.S (ABADBCCD)sin A16sin A.12由余弦定理：在ABD 中，BD 22 24 2224cos
25、 A 2016cos A，在CDB 中，BD 24 26 2246cos C5248cos C，2016cos A 5248cos C.又 cos Ccos A，cos A .A120.12四边形 ABCD 的面积 S16sin A8 .3能力提升13如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量已知 AB50 m，BC 120 m，于 A 处测得水深 AD80 m，于 B 处测得水深BE 200 m，于 C 处测得水深 CF110 m，求DEF 的余弦值解 作 DMAC 交 BE 于 N，交 CF 于 M.DF 10 (m)，MF2 DM2 302 1702
26、 298DE 130(m) ，DN2 EN2 502 1202EF 150(m) BE FC2 BC2 902 1202在DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cosDEFDE2 EF2 DF22DEEF .1302 1502 1022982130150 1665即DEF 的余弦值为 .166514江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连成 30角，求两条船之间的距离解 如图所示：CBD30，ADB30，ACB 45AB30，BC30，BD30tan 3030 .3在BCD 中，CD2BC 2BD 22BCBDcos 30 900，
27、CD30 ，即两船相距 30 m.1测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题2测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角第一章 解三角形 复习课课时目标1掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一、选择题1在ABC 中，A60，a4 ，b4 ，则 B 等于( )3 2A45或 135 B135C45
28、D以上答案都不对答案 C解析 sin Bb ，且 bsin Asin B，则ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案 C解析 cos A cos Bsin Asin Bcos(AB)0，AB90，C 为钝角3已知ABC 中，sin Asin B sin Ck ( k1)2k，则 k 的取值范围是( )A(2，) B(，0)C. D.( 12，0) (12， )答案 D解析 由正弦定理得：amk，bm (k1)，c2mk(m0)，Error! 即Error!，k .124如图所示，D、C、B 三点在地面同一直线上，DCa，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是
29、、 ()则 A 点离地面的高 AB 等于( )A. B.asin sin sin asin sin cos C. D.asin cos sin acos cos cos 答案 A解析 设 ABh，则 AD ，hsin 在ACD 中，CAD ， .CDsin ADsin ，h .asin hsin sin asin sin sin 5在ABC 中，A60，AC16，面积为 220 ，那么 BC 的长度为( )3A25 B51 C 49 D493答案 D解析 S ABC ACABsin 60 16AB 220 ， AB55.12 12 32 3BC2AB 2AC 22AB ACcos 6055 2
30、16 221655 2 401.12BC49.6(2010天津)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2b 2 bc，3sin C2 sin B，则 A 等于( )3A30 B60C120 D150答案 A解析 由 sin C2 sin B，根据正弦定理，得3c2 b，把它代入 a2b 2 bc 得3 3a2b 26b 2，即 a27b 2.由余弦定理，得 cos A b2 c2 a22bc b2 12b2 7b22b23b .6b243b2 32又 0A180， A30.二、填空题7三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程 5x27x 60 的根，则此三角形的面积是_cm 2.答案 6解析 由 5x27x 60，解得 x1 ，x 22.35
