1、湖北省恩施州 2016 年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）19 的相反数是（ ）A 9 B9 C D2恩施州 2013 年建筑业生产总值为 36900 万元，将数 36900 用科学记数法表示为（ ）A3.69 105 B36.910 4 C3.69 104 D0.36910 53下列图标中是轴对称图形的是（ ）A B C D4下列计算正确的是（ ）A2a 3+3a3=5a6 B（x 5） 3=x8C 2m（m3）=2m 26mD（ 3a2）（ 3a+2）=9a 245已知AOB=70，以 O 为端点作射线 OC，使 AOC=42，则B
2、OC 的度数为（ ）A28 B112 C28 或 112 D686函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 1 Bx1 且 x2 Cx2 Dx 1 且 x27有 6 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（ ）A B C D8在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创” 六个字如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（ ）A恩 B施 C城 D同9关于 x 的不等式组 恰有四个整数解，那么 m 的取值范围为（ ）Am
3、 1 Bm0 C 1m0 D 1m010某商品的售价为 100 元，连续两次降价 x%后售价降低了 36 元，则 x 为（ ）A8 B20 C36 D1811如图，在ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，则 AE 的长为（ ）A3cm B6cm C12cm D16cm12抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n 的图象如图所示，下列判断中：abc0；a+b+c0；5ac=0 ；当 x 或 x6 时，y 1y 2，其中正确的个数有（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本题共有 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
4、13因式分解：a 2b10ab+25b= 14已知一元二次方程 2x25x+1=0 的两根为 m，n，则 m2+n2= 15如图，平面内有 16 个格点，每个格点小正方形的边长为 1，则图中阴影部分的面积为 16观察下列等式：1+2+3+4+n= n（n +1）；1+3+6+10+ n（n+1）= n（n+1）（n +2）；1+4+10+20+ n（n+1）（n+2）= n（n +1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35 + n（n+1）（n+2）（n +3）= 三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72 分）17（8 分）先化简，再求值： （a+2 ），其中 a= 318（8 分
5、）如图，BEAC ，CD AB ，垂足分别为 E，D，BE=CD 求证：AB=AC19（8 分）在恩施州 2016 年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有 32 万名学生参加比赛活动，其中有 8 万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题获奖等级 频数一等奖 100二等奖 a三等奖 275（1）表格中 a 的值为 （2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为 度（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？20（8 分）如图，在办公楼 AB 和实验楼 CD 之间有一旗杆 EF，从办公楼 AB顶部 A 点处经过旗杆顶部 E 点恰好看到
6、实验楼 CD 的底部 D 点，且俯角为 45，从实验楼 CD 顶部 C 点处经过旗杆顶部 E 点恰好看到办公楼 AB 的 G 点，BG=1米，且俯角为 30，已知旗杆 EF=9 米，求办公楼 AB 的高度（结果精确到 1米，参考数据： 1.41， 1.73）21（8 分）如图，直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系中，直角边 AB 垂直 x轴，垂足为 Q，已知ACB=60，点 A，C，P 均在反比例函数 y= 的图象上，分别作 PFx 轴于 F，ADy 轴于 D，延长 DA，FP 交于点 E，且点 P 为 EF 的中点（1）求点 B 的坐标；（2）求四边形 AOPE 的面积22（10 分）在清
7、江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至少需要清运渣土 12720m3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共 80 辆已知每辆大车每天运送渣土 200m3，每辆小车每天运送渣土 120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为 1200 元，900 元，且要求每天租车的总费用不超过 85300 元（1）施工方共有多少种租车方案？（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？23（10 分）如图，在O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于 E，过点 A 作DAF=DAB，过点 D 作 AF 的垂线，垂足为 F，交 AB 的延长线于点 P，连接CO 并延长交O 于点
8、G，连接 EG，已知 DE=4，AE=8（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求证：OC 2=OEOP；（3）求线段 EG 的长24（12 分）如图，在矩形 OABC 纸片中，OA=7，OC=5，D 为 BC 边上动点，将OCD 沿 OD 折叠，当点 C 的对应点落在直线 l：y=x+7 上时，记为点 E，F，当点 C 的对应点落在边 OA 上时，记为点 G（1）求点 E，F 的坐标；（2）求经过 E，F，G 三点的抛物线的解析式；（3）当点 C 的对应点落在直线 l 上时，求 CD 的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点 P，使以 E，F，P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点
9、P 的坐标；若不存在，请说明理由2016 年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）19 的相反数是（ ）A 9 B9 C D【考点】相反数【分析】根据相反数的定义即可求解【解答】解：9 的相反数是9，故选 A【点评】此题主要考查相反数的定义，比较简单2恩施州 2013 年建筑业生产总值为 36900 万元，将数 36900 用科学记数法表示为（ ）A3.69 105 B36.910 4 C3.69 104 D0.36910 5【考点】科学记数法表示较大的数【分析】数据绝对值大于 10 或小于 1 时科学记数法的表示形式为
10、a10n 的形式其中 1|a|10，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：36900=3.6910 4；故选 C【点评】本题考查的是科学记数法任意一个绝对值大于 10 或绝对值小于 1 的数都可写成 a10n 的形式，其中 1|a|10 对于绝对值大于 10 的数，指数n 等于原数的整数位数减去 13下列图标中是轴对称图形的是（ ）A B C D【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合
11、，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选 D【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4下列计算正确的是（ ）A2a 3+3a3=5a6 B（x 5） 3=x8C 2m（m3）=2m 26mD（ 3a2）（ 3a+2）=9a 24【考点】整式的混合运算【分析】A、原式合并得到结果，即可作出判断；B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可
12、作出判断；D、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式=5a 3，错误；B、原式=x 15，错误；C、原式=2m 2+6m，错误；D、原式=9a 24，正确，故选 D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5已知AOB=70，以 O 为端点作射线 OC，使 AOC=42，则BOC 的度数为（ ）A28 B112 C28 或 112 D68【考点】角的计算【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可【解答】解：如图，当点 C 与点 C1 重合时，BOC=AOBAOC=7042=28 ；当点 C 与点 C2 重合时，BOC=AOB+AOC=70+4
13、2=112故选 C【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解6函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 1 Bx1 且 x2 Cx2 Dx 1 且 x2【考点】函数自变量的取值范围【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于0，据此即可求解【解答】解：根据题意得： ，解得 x1 且 x2故选：B【点评】本题考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义7有 6 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，
14、两次抽取的数字的积为奇数的概率是（ ）A B C D【考点】列表法与树状图法【分析】画树状图展示所有 36 种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字的积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 36 种等可能的结果数，其中两次抽取的数字的积为奇数的结果数为 9，所以随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率= = 故选 B【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率8在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城
15、同创” 六个字如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（ ）A恩 B施 C城 D同【考点】专题：正方体相对两个面上的文字【分析】根据图象思想确定和六相邻的是施、城、同、创，和创相邻的是恩、施、六、城由此即可解决问题【解答】解：由题意可知和六相邻的是施、城、同、创，所以和六相对的是恩因为和创相邻的是恩、施、六、城，所以和创相对的是同故选 D【点评】本题考查正方体相对面上的文字，解题的关键是先确定或某一个字相邻的字是什么，得出相对的面的字，属于中考常考题型9关于 x 的不等式组 恰有四个整数解，那么 m 的取值范围为（ ）Am 1 Bm0 C 1m0 D 1m
16、0【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】可先用 m 表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m 的不等组，可求得 m 的取值范围【解答】解：在 中，解不等式可得 xm，解不等式可得 x3，由题意可知原不等式组有解，原不等式组的解集为 mx3，该不等式组恰好有四个整数解，整数解为 0，1，2，3，1 m0，故选 C【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用10某商品的售价为 100 元，连续两次降价 x%后售价降低了 36 元，则 x 为（ ）A8 B20 C36 D18【考点】一元二次方程的应用【分析】第一次降价后的单价是原来的（1x
17、），那么第二次降价后的单价是原来的（1x） 2，根据题意列方程解答即可【解答】解：根据题意列方程得100（ 1x%） 2=10036解得 x1=20， x2=180（不符合题意，舍去）故选：B【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b11如图，在ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，则 AE 的长为（ ）A3cm B6cm C12cm D16cm【考点】线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线性质得出 A
18、D=DC，AE=CE= AC，求出AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线，AD=DC，AE=CE= AC，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB +BC=13cm，AC=6cm，AE=3cm，故选 A【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等12抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n 的图象如图所
19、示，下列判断中：abc0；a+b+c0；5ac=0 ；当 x 或 x6 时，y 1y 2，其中正确的个数有（ ）A1 B2 C3 D4【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系【分析】直接根据二次函数的性质来判定；观察图象：当 x=1 时，对应的 y 的值；当 x=1 时与对称轴为 x=3 列方程组可得结论；直接看图象得出结论【解答】解：二次函数开口向上，a 0 ，二次函数与 y 轴交于正半轴，c0，二次函数对称轴在 y 轴右侧，b0，abc0，所以此选项正确；由图象可知：二次函数与 x 轴交于两点分别是（ 1，0）、（5，0），当 x=1 时，y=0，则 a+b+c=0，所以此
20、选项错误；二次函数对称轴为：x=3，则 =3，b=6a，代入 a+b+c=0 中得：a6a+c=0，5a c=0，所以此选项正确；由图象得：当 x 或 x6 时，y 1y 2；所以此选项正确【点评】本题综合考查了二次函数和一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的性质是关键：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小；当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口； 一次项系数 b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异），反之也成立；常数项 c 由抛物
21、线与 y 轴交点的位置确定； 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围二、填空题（本题共有 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）13因式分解：a 2b10ab+25b= b （a5） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=b（a 210a+25）=b（a5） 2，故答案为：b（a5） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14已知一元二次方程 2x25x+1=0 的两根为 m，n，则 m2+n2= 【考点】根与系数的关系【分析】先由根与系数的关系得：
22、两根和与两根积，再将 m2+n2 进行变形，化成和或积的形式，代入即可【解答】解：由根与系数的关系得：m+n= ，mn= ，m 2+n2=（m+n） 22mn= 2 = ，故答案为： 【点评】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如 、x12+x22 等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化15如图，平面内有 16 个格点，每个格点小正方形的边长为 1，则图中阴影部分的面积为 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积【分析】可运用相似三角形的性质求出 GF、MN，从而求出 OF、OM，进而可求出阴影部分的面
23、积【解答】解：如图，GFHC，AGFAHC， = = ，GF= HC= ，OF=OGGF=2 = 同理 MN= ，则有 OM= S OFM = = ，S 阴影 =1 = 故答案为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，求得OFM 的面积是解决本题的关键16观察下列等式：1+2+3+4+n= n（n +1）；1+3+6+10+ n（n+1）= n（n+1）（n +2）；1+4+10+20+ n（n+1）（n+2）= n（n +1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35 + n（n+1）（n+2）（n +3）= n（n+1）（n+2）（n+3 ）（n+4） 【考
24、点】整式的混合运算【分析】根据已知等式发现分母依次乘以 2、乘以 3、乘以 4，据此作答即可【解答】解：1+2+3+4+n= n（n +1）= n（n+1）；1+3+6+10+ n（n+1）= n（n+1）（n +2）= n（n+1）（n +2）；1+4+10+20+ n（n+1）（n+2）= n（n +1）（n+2）（n+3）= n（n+1）（n+2 ）（n+3），1+5 +15+35+ n（n+1）（n+2）（n +3）= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4 ）= n（n+1）（n+2）（n +3）（n +4），故答案为： n（n+1）（n+2）（n +3）（n+4）【点评】本题主要
25、考查数字的变化规律，由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72 分）17先化简，再求值： （a +2 ），其中 a= 3【考点】分式的化简求值【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把 a 的值代入进行计算即可【解答】解：原式= = = ，当 a= 3 时，原式= = 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助18如图，BEAC ，CD AB，垂足分别为 E，D，BE=CD
26、求证：AB=AC【考点】全等三角形的判定与性质【分析】通过全等三角形（RtCBERt BCD）的对应角相等得到ECB=DBC，则 AB=AC【解答】证明：BEAC，CD AB ，CEB=BDC=90在 RtCBE 与 RtBCD 中， ，RtCBERt BCD（HL），ECB=DBC，AB=AC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形19在恩施州 2016 年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有 32 万名学生参加比赛活动，其中有 8 万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部
27、分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题获奖等级 频数一等奖 100二等奖 a三等奖 275（1）表格中 a 的值为 125 （2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为 72 度（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）由一等奖学生数及其所占百分比求得被调查学生总数，根据各组频数之和等于总数即可得 a；（2）用 360乘以获得一等奖所对应百分比即可得；（3）用全州获奖学生总数乘以样本中获三等奖所占比例【解答】解：（1）抽取的获奖学生有 10020%=500（人），a=500100 275=125，故答案为：125
28、；（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为 36020%=72，故答案为：72；（3）8 =4.4（万人），答：估计全州有 4.4 万名学生获得三等奖【点评】本题主要考查频数分布表与扇形统计图及用样本估计总体，从统计图表中获取解题所需信息是解题的关键20如图，在办公楼 AB 和实验楼 CD 之间有一旗杆 EF，从办公楼 AB 顶部 A 点处经过旗杆顶部 E 点恰好看到实验楼 CD 的底部 D 点，且俯角为 45，从实验楼CD 顶部 C 点处经过旗杆顶部 E 点恰好看到办公楼 AB 的 G 点，BG=1 米，且俯角为 30，已知旗杆 EF=9 米，求办公楼 AB 的高度（结果精确到 1
29、米，参考数据： 1.41， 1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】根据题意求出BAD=ADB=45，进而根据等腰直角三角形的性质求得 FD，在 RtGEH 中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BF，即可求得 PG，在 RtAGP 中，继而可求出 AB 的长度【解答】解：由题意可知BAD=ADB=45，FD=EF=9 米，AB=BD在 RtGEH 中，tanEGH= = ，即 ，BF=8 ，PG=BD=BF+ FD=8 +9，AB=（8 +9）米23 米，答：办公楼 AB 的高度约为 23 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的
30、知识求解相关线段的长度21如图，直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系中，直角边 AB 垂直 x 轴，垂足为 Q，已知 ACB=60 ，点 A，C，P 均在反比例函数 y= 的图象上，分别作 PF x 轴于 F，ADy 轴于 D，延长 DA，FP 交于点 E，且点 P 为 EF 的中点（1）求点 B 的坐标；（2）求四边形 AOPE 的面积【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】（1）根据ACB=60，求出 tan60= = ，设点 A（a，b），根据点A，C，P 均在反比例函数 y= 的图象上，求出 A 点的坐标，从而得出 C 点的坐标，然后即可得出点 B
31、 的坐标；（2）先求出 AQ、PF 的长，设点 P 的坐标是（m ， n），则 n= ，根据点 P 在反比例函数 y= 的图象上，求出 m 和 SOPF ，再求出 S 长方形 DEFO，最后根据 S四边形 AOPE=S 长方形 DEFOSAOD SOPF ，代入计算即可【解答】解：（1）ACB=60，AOQ=60，tan60= = ，设点 A（a，b），则 ，解得： 或 （不合题意，舍去）点 A 的坐标是（2，2 ），点 C 的坐标是（ 2， 2 ），点 B 的坐标是（2，2 ），（2）点 A 的坐标是（2，2 ），AQ=2 ，EF=AQ=2 ，点 P 为 EF 的中点，PF= ，设点 P 的
32、坐标是（ m，n ），则 n=点 P 在反比例函数 y= 的图象上， = ，S OPF = |4 |=2 ，m=4，OF=4 ，S 长方形 DEFO=OFOD=42 =8 ，点 A 在反比例函数 y= 的图象上，S AOD = |4 |=2 ，S 四边形 AOPE=S 长方形 DEFOSAOD SOPF =8 2 2 =4 【点评】此题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即S= |k|22（10 分）（2016恩施州）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至
33、少需要清运渣土12720m3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共 80 辆已知每辆大车每天运送渣土 200m3，每辆小车每天运送渣土 120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为 1200 元，900 元，且要求每天租车的总费用不超过 85300 元（1）施工方共有多少种租车方案？（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）设大车租 x 辆，则小车租（80 x）辆列出不等式组，求整数解即可解决问题（2）设租车费用为 w 元，则 w=1200x+900（80 x）=300x+7200，利用一次函数的增减性，即可解决问题【解答】解：（1）设
34、大车租 x 辆，则小车租（80x）辆由题意 ，解得 39x44.5，x 为整数，x=39 或 40 或 41 或 42 或 43 或 44施工方共有 6 种租车方案（2）设租车费用为 w 元，则 w=1200x+900（80 x）=300x+7200，300 0，w 随 x 增大而增大，x=39 时，w 最小，最小值为 18900 元【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等整数，解题的关键是学会构建不等式组解决实际问题，学会构建一次函数，利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型23（10 分）（2016恩施州）如图，在O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于 E，过点 A 作D
35、AF=DAB ，过点 D 作 AF 的垂线，垂足为 F，交 AB 的延长线于点P，连接 CO 并延长交O 于点 G，连接 EG，已知 DE=4，AE=8（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求证：OC 2=OEOP；（3）求线段 EG 的长【考点】圆的综合题【分析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质得出DAB=ADO，再由已知条件得出ADO=DAF，证出 ODAF，由已知 DF AF，得出 DFOD，即可得出结论；（2）由射影定理得出 OD2=OEOP，由 OC=OD，即可得出 OC2=OEOP；（3）由垂径定理得出 DE=CE=4，OEC=90 ，由相交弦定理得出 DE2=AEBE，求出
36、BE=2，得出直径 CG=AB=AE+BE=10，半径 OC= CG=5，由三角函数的定义得出 cosC= = ，在CEG 中，由余弦定理求出 EG2，即可得出 EG 的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示：OA=OD，DAB=ADO，DAF=DAB，ADO=DAF，ODAF，又DFAF，DFOD，DF 是O 的切线；（2）证明：由（1）得：DFOD，ODF=90 ，ABCD，由射影定理得：OD 2=OEOP，OC=OD，OC 2=OEOP；（3）解：ABCD，DE=CE=4，OEC=90 ，由相交弦定理得：DE 2=AEBE，即 42=8BE，解得：BE=2，CG=AB=AE+BE=8
37、+2=10，OC= CG=5，cosC= = ，在CEG 中，由余弦定理得：EG 2=CG2+CE22CGCEcosC=102+422104=52，EG= =2 【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果24（12 分）（2016恩施州）如图，在矩形 OABC 纸片中，OA=7 ，OC=5 ，D为 BC 边上动点，将OCD 沿 OD 折叠，当点 C 的对应点落在直线 l：y=x +7 上时，记为点 E，F，当点 C 的
38、对应点落在边 OA 上时，记为点 G（1）求点 E，F 的坐标；（2）求经过 E，F，G 三点的抛物线的解析式；（3）当点 C 的对应点落在直线 l 上时，求 CD 的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点 P，使以 E，F，P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由点 E 在直线 l 上，设出点 E 的坐标，由翻折的特性可知OE=OC，利用两点间的距离公式即可得出关于 x 的无理方程，解方程即可求出x 值，在代入点 E 的坐标中即可得出点 E、F 的坐标；（2）由 OG=OC 即可得出点 G 的坐标，根据点 E、F
39、、G 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）设点 D 的坐标为（m，5）（m0），则 CD=m，利用 ED=CD，FD=CD 即可得出关于 m 的无理方程，解方程即可求出 m 的值，从而得出 CD 的长度；（4）假设存在，设点 P 的坐标为（n， n2+6n5），由两点间的距离公式找出PE、PF、EF 的长，根据三个角分别为直角，利用勾股定理即可得出关于 n 的方程，解方程即可求出 n 的值，再代入点 P 坐标即可得出结论【解答】解：（1）点 E 在直线 l：y= x+7 上，设点 E 的坐标为（x，x+7），OE=OC=5， =5，解得：x 1=3， x2=4，点 E 的坐标为（
40、3，4），点 F 的坐标为（4，3）（2）OG=OC=5 ，且点 G 在 x 正半轴上，G（5，0）设经过 E，F，G 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，将 E（3，4 ）、 F（4，3 ）、 G（5，0）代入 y=ax2+bx+c 中，得： ，解得： ，经过 E，F，G 三点的抛物线的解析式为 y=x2+6x5（3）BC x 轴，且 OC=5，设点 D 的坐标为（ m，5）（m0），则 CD=mED=CD 或 FD=CD， =m 或 =m，解得：m= 或 m= 当点 C 的对应点落在直线 l 上时，CD 的长为 或 （4）假设存在，设点 P 的坐标为（n， n2+6n5），E （
41、3 ，4 ）， F（4，3 ），EF= = ，PE= ，PF=以 E，F，P 为顶点的直角三角形有三种情况：当EFP 为直角时，有 PE2=PF2+EF2，即（n3） 2+（n 2+6n9） 2=2+（n 4） 2+（ n2+6n8） 2，解得：n 1=1，n 2=4（舍去），此时点 P 的坐标为（ 1，0 ）；当FEP 为直角时，有 PF2=PE2+EF2，即（n4） 2+（n 2+6n8） 2=2+（n 3） 2+（ n2+6n9） 2，解得：n 3=2，n 4=3（舍去），此时点 P 的坐标为（ 2，3 ）；当EPF 为直角时，有 EF2=PE2+PF2，即 2=（n3） 2+（n 2+
42、6n9） 2+（n 4） 2+（ n2+6n8） 2，整理得：（n4）（n3）（n 25n+7）=0 ，在 n25n+7 中=（5） 247=30，n 25n+70 解得：n 5=3（舍去），n 6=4（舍去）综上可知：在（2）中的抛物线上存在点 P，使以 E，F ，P 为顶点的三角形是直角三角形，点 P 的坐标为（1，0）或（2，3 ）【点评】本题考查了两点间的距离公式、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据 OE=OC 得出关于 x 的无理方程；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式；（3）根据 ED=CD（FD=CD）找出关于 m 的方程；（4）分三个角分别为直角三种情况考虑本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，解决该题型题目时，利用翻折的性质以及两点间的距离公式找出方程是关键
