1、第 1 页（共 30 页）2016 年福建省莆田市中考数学试卷一、精心选一选：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分1 的绝对值是（ ）A B C2 D22下列运算正确的是（ ）A3aa=0 Ba a2=a3 Ca 4a3=a2 D（a 3） 2=a53一组数据 3，3，4，6，8，9 的中位数是（ ）A4 B5 C5.5 D64图中三视图对应的几何体是（ ）A B C D5菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直6如图，OP 是AOB 的平分线，点 C，D 分别在角的两边 OA，OB 上，添加下列条件，不能判定POC P
2、OD 的选项是（ ）APC OA， PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD7关于 x 的一元二次方程 x2+ax1=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B只有一个实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根第 2 页（共 30 页）8规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ）A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十边形9如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，将ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若 AE=3，则 s
3、inBFD 的值为（ ）A B C D10如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，2），在 x 轴上任取一点 M，完成以下作图步骤：连接 AM作线段 AM 的垂直平分线 l1，过点 M 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l 2 的交点为 P；在 x 轴上多次改变点 M 的位置，用 的方法得到相应的点 P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）A直线 B抛物线 C双曲线 D双曲线的一支二、细心填一填：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分11莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达 217000 米，用科学记数法表示 217000 为_12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）向右平移 3
4、 个单位长度得到的点的坐标是 _13已知直线 ab，一块直角三角板如图所示放置，若1=37，则2=_第 3 页（共 30 页）14在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳 ”次数不低于 130 次的成绩为优秀，全校共有 1200 名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳” 成绩优秀的人数为_人15如图，CD 为O 的弦，直径 AB 为 4，ABCD 于 E，A=30，则 的长为_（结果保留 ）16
5、 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补 ”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理若图中 BF=1，CF=2，则 AE 的长为_第 4 页（共 30 页）三、耐心做一张：本大题共 10 小题，共 86 分17计算：| 3| + 18先化简，再求值： ，其中 x=119解不等式组： 20小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图，A，B 两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角AOB=62，立杆 OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为 122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明
6、理由（参考数据：sin590.86， cos590.52，tan591.66）21在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的 4 张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取 2 张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的 2 张牌的数字之和为偶数的概率22甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距 B 地的距离 y（km）与行驶时间 x（ h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是 60km/h第 5 页（共 30 页）（1）求甲车的速度；（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持
7、不变，结果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值23如图，在ABCD 中，BAC=90，对角线 AC，BD 相交于点 P，以 AB 为直径的O 分别交BC，BD 于点 E，Q ，连接 EP 并延长交 AD 于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：EF 2=4BPQP24如图，反比例函数 y= （x0）的图象与直线 y=x 交于点 M，AMB=90，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点 A，B，四边形 OAMB 的面积为 6（1）求 k 的值；（2）点 P 在反比例函数 y= （x0）的图象上，若点 P 的横坐标为 3，EPF=90 ，其两边分别与 x 轴的正半轴，直线 y=x
8、 交于点 E，F，问是否存在点 E，使得 PE=PF？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页（共 30 页）25若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，ABC 中，设 BC=a，AC=b ，AB=c，各边上的高分别记为 ha，h b，h c，各边上的内接正方形的边长分别记为 xa，x b，x c（1）模拟探究：如图，正方形 EFGH 为ABC 的 BC 边上的内接正方形，求证： + = ；（2）特殊应用：若BAC=90，x b=xc=2，求 + 的值；（3）拓展延伸：若ABC 为锐角三角形，bc
9、，请判断 xb 与 xc 的大小，并说明理由26如图，抛物线 C1：y= x2+2 x 的顶点为 A，与 x 轴的正半轴交于点 B（1）将抛物线 C1 上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线 C1 上的点（x ，y）变为（kx，ky）（|k|1），变换后得到的抛物线记作 C2，抛物线 C2 的顶点为 C，点 P 在抛物线 C2 上，满足 SPAC=SABC，且APC=90当 k1 时，求 k 的值；当 k1 时，请直接写出 k 的值，不必说明理由第 7 页（共 30 页）2016 年福建省莆田市中考数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选：本
10、大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分1 的绝对值是（ ）A B C2 D2【考点】绝对值【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答【解答】解： 的绝对值是 故选：A【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02下列运算正确的是（ ）A3aa=0 Ba a2=a3 Ca 4a3=a2 D（a 3） 2=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘除法和幂的乘方分别计算即可得出答案【解答】解：A、3a2a=a ，故 A 不正确；B、aa 2=a3，故 B 正确；
11、C、a 4a3=a，故 C 不正确；D、（a 3） 2=a6，故 D 不正确；故选 B【点评】本题主要考查幂的运算，掌握同底数幂的运用性质是解题的关键3一组数据 3，3，4，6，8，9 的中位数是（ ）第 8 页（共 30 页）A4 B5 C5.5 D6【考点】中位数【专题】统计与概率【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的中位数【解答】解：数据 3，3，4，6，8，9 的中位数是： =5，故选 B【点评】本题考查中位数，解题的关键是明确中位数的定义，可以将一组数据按照从小到大的顺序排列，找出这组数据的中位数4图中三视图对应的几何体是（ ）A B C D【考点】由三视图判断几何体【分析】由
12、主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆柱体，由此即可得出结论【解答】解：由主视图可以推出这个几何体是上下两个大小不同柱体，从主视图推出这两个柱体的宽度相同，从俯视图推出上面是圆柱体，直径等于下面柱体的宽由此可以判断对应的几何体是 C故选 C【点评】不同考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状5菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直第 9 页（共 30 页）【考点】菱形的性质；平行四边形的性质【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；
13、而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案【解答】解：菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直故选 D【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质注意菱形的对角线互相平分且垂直6如图，OP 是AOB 的平分线，点 C，D 分别在角的两边 OA，OB 上，添加下列条件，不能判定POC POD 的选项是（ ）APC OA， PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定【分析】要得到POCPOD，现有的条件为
14、有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论于是答案可得【解答】解：APCOA， PDOB 得出PCO=PDO=90，根据 AAS 判定定理成立，BOC=OD ，根据 SAS 判定定理成立，COPC=OPD ，根据 ASA 判定定理成立，DPC=PD，根据 SSA 无判定定理不成立，故选 D【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键7关于 x 的一元二次方程 x2+ax1=0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B只有一个实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根第 10 页（共 30 页）【考点】根的判别式
15、【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：=a 2+40，方程有两个不相等的两个实数根故选 D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根8规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ）A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十边形【考点】旋转对称图形【分析】分别求出各旋转对称图形的
16、最小旋转角，继而可作出判断【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是 120，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是 90，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是 60，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是 36，故此选项错误；故选：C【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角9如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，将ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若 AE=3，则 sinBFD 的值为（ ）A B C D【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义第 11 页（共 30 页）【分析】
17、由题意得：AEFDEF，故EDF=A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决【解答】解：在ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，A= B，由折叠的性质得到：AEFDEF，EDF=A，EDF=B，CDE+BDF+EDF= BFD+BDF+B=180，CDE=BFD又AE=DE=3，CE=43=1 ，在直角ECD 中，sinCDE= = 故选：A【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题10如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，2），在 x 轴上任取一点 M，完成以下作图步骤：连接 AM作线段 AM 的垂直平分线
18、 l1，过点 M 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l 2 的交点为 P；在 x 轴上多次改变点 M 的位置，用 的方法得到相应的点 P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）A直线 B抛物线 C双曲线 D双曲线的一支第 12 页（共 30 页）【考点】二次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；作图基本作图【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线【解答】解：根据作图步骤作图，如图所示由此即可得出该曲线为抛物线故选 B/【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图本
19、题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各曲线的图形是关键二、细心填一填：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分11莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达 217000 米，用科学记数法表示 217000 为 2.1710 5 【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 217000 用科学记数法表示为：217000=2.1710 5故答案为：2.17
20、10 5【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）向右平移 3 个单位长度得到的点的坐标是 （2，2） 第 13 页（共 30 页）【考点】坐标与图形变化-平移【分析】将点 P 的横坐标加 3，纵坐标不变即可求解【解答】解：点 P（ 1，2）向右平移 3 个单位长度得到的点的坐标是（ 1+3，2），即（2，2）故答案为（2，2）【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减13已知直线 ab，一块
21、直角三角板如图所示放置，若1=37，则2= 53 【考点】平行线的性质【分析】首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到1+2=90，据此求出2 的度数【解答】解：作直线 ABa，abABab，ABa，1=3，ABb，2=4，3+4=90，1+2=90，1=37，2=9037=53 ，故答案为 53第 14 页（共 30 页）【点评】本题考查了平行线的性质，构成直线 ABa 是解题的关键，熟练掌握两直线平行，内错角相等14在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小
22、组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳 ”次数不低于 130 次的成绩为优秀，全校共有 1200 名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳” 成绩优秀的人数为 480 人【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】首先由第二小组有 10 人，占 20%，可求得总人数，再根据各小组频数之和等于数据总数求得第四小组的人数，利用总人数 260 乘以样本中“一分钟跳绳 ”成绩为优秀的人数所占的比例即可求解【解答】解：总人数是：1020%=50（人），第四小组的人数是：504 101664=10，所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是： 1200
23、=480，故答案为：480第 15 页（共 30 页）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题15如图，CD 为O 的弦，直径 AB 为 4，ABCD 于 E，A=30，则 的长为 （结果保留 ）【考点】弧长的计算；垂径定理【分析】连接 AC，由垂径定理的 CE=DE，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=AD，由等腰三角形的性质得到CAB=DAB=30，由圆周角定理得到COB=60 ，根据弧长的计算公式即可得到结论【解答】解：连接 AC，CD 为O 的弦，AB 是O 的直径，CE=DE，
24、ABCD ，AC=AD，CAB=DAB=30 ，COB=60， 的长= = ，故答案为： 第 16 页（共 30 页）【点评】本题考查的是垂径定理，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键16 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补 ”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理若图中 BF=1，CF=2，则 AE 的长为 3 【考点】勾股定理的证明【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形【分析】由 BF+CF 求出 BC 的长，即为正方形 ABCD 的边长，由 AB 与 CE 平行，得比例求出 CE的长，由 DC+CE
25、求出 DE 的长，在直角三角形 ADE 中，利用勾股定理求出 AE 的长即可【解答】解：BF=1，CF=2，BC=BF+CF=1 +2=3，ABEC， = ，即 = ，解得：CE=6，在 Rt ADE 中，AD=3，DE=DC+CE=3 +6=9，根据勾股定理得：AE= =3 ，故答案为：3第 17 页（共 30 页）【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键三、耐心做一张：本大题共 10 小题，共 86 分17计算：| 3| + 【考点】实数的运算；零指数幂【专题】计算题【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算【解答】解：原式=3
26、4+1= 【点评】本题考查了绝对值的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方注意零指数幂的意义18先化简，再求值： ，其中 x=1【考点】分式的化简求值【专题】计算题【分析】先把 x24 分解因式和除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的减法运算得到原式=，然后把 x 的值代入计算即可【解答】解：原式= （x+2）= = ，第 18 页（共 30 页）当 x=1 时，原式= =1【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式
27、的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式19解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可【解答】解： 由得 x1；由得 x4；所以原不等式组的解集为：x1【点评】考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）20小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图，A，B 两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角AOB=62，立杆 OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为 122cm
28、，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin590.86， cos590.52，tan591.66）【考点】解直角三角形的应用【分析】过点 O 作 OEAB，根据等腰三角形的性质求得 OAB，再在 RtAEO 中，利用三角函数 sinOAB= ，求得 OE，即可作出判断第 19 页（共 30 页）【解答】证明：过点 O 作 OEAB 于点 E，OA=OB， AOB=62，OAB=OBA=59，在 Rt AEO 中，OE=OAsin OAB=140sin591400.86=120.4，120.4122，这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面【点评】本题考查了
29、解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形和三角函数的定义的综合运用21在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的 4 张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取 2 张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的 2 张牌的数字之和为偶数的概率【考点】列表法与树状图法【专题】概率及其应用【分析】列出得出所有等可能的情况数，找出抽取 2 张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表如下：3 4 5 63 （4，3） （5，3） （6，3）第 20 页（共 30 页）4 （3，4） （5，4） （6，4）5 （3，5） （4，5） （6，5）6 （
30、3，6） （4，6） （5，6） 所有等可能的情况数有 12 种，抽取 2 张牌的数字之和为偶数的有 4 种，则 P= = 【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比22甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距 B 地的距离 y（km）与行驶时间 x（ h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是 60km/h（1）求甲车的速度；（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值【考点】分式方程的应用；函数的图象【专题】方程与不等式【分析
31、】（1）根据函数图象可知甲 2 小时行驶的路程是（280120）km ，从而可以求得甲的速度；（2）根据第（1）问中的甲的速度和甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a（km/h ），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，可以列出分式方程，从而可以求得 a 的值【解答】解：（1）由图象可得，甲车的速度为： =80km/h，即甲车的速度是 80km/h；（2）相遇时间为： =2h，由题意可得， = ，第 21 页（共 30 页）解得，a=75，经检验，a=78 是原分式方程的解，即 a 的值是 75【点评】本题考查分式方程的应用、函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求
32、问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题23如图，在ABCD 中，BAC=90，对角线 AC，BD 相交于点 P，以 AB 为直径的O 分别交BC，BD 于点 E，Q ，连接 EP 并延长交 AD 于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：EF 2=4BPQP【考点】切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）连接 OE，AE，由 AB 是O 的直径，得到AEB=AEC=90，根据四边形 ABCD是平行四边形，得到 PA=PC 推出OEP= OAC=90 ，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由 AB 是O 的直径，得到AQB=90 根据相似三
33、角形的性质得到PA 2=PBPQ，根据全等三角形的性质得到 PF=PE，求得 PA=PE= EF，等量代换即可得到结论【解答】证明：（1）连接 OE，AE ，AB 是O 的直径，AEB=AEC=90，四边形 ABCD 是平行四边形，PA=PC，PA=PC=PE，PAE=PEA，OA=OE，OAE=OEA，OEP=OAC=90，第 22 页（共 30 页）EF 是O 的切线；（2）AB 是O 的直径，AQB=90，APQ BPA， ，PA 2=PBPQ，在AFP 与CEP 中， ，AFPCEP，PF=PE，PA=PE= EF，EF 2=4BPQP【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，相
34、似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键24如图，反比例函数 y= （x0）的图象与直线 y=x 交于点 M，AMB=90，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点 A，B，四边形 OAMB 的面积为 6（1）求 k 的值；（2）点 P 在反比例函数 y= （x0）的图象上，若点 P 的横坐标为 3，EPF=90 ，其两边分别与 x 轴的正半轴，直线 y=x 交于点 E，F，问是否存在点 E，使得 PE=PF？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 23 页（共 30 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）过点 M 作 MCx 轴于点 C，MDy 轴于点 D，
35、根据 AAS 证明AMCBMD，那么 S 四边形 OCMD=S 四边形 OAMB=6，根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得出 k=6；（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点 P 的坐标为（3，2）再分两种情况进行讨论：如图 2，过点 P 作 PGx 轴于点 G，过点 F 作 FHPG 于点 H，交 y 轴于点 K根据 AAS 证明PGEFHP，进而求出 E 点坐标；如图 3，同理求出 E 点坐标【解答】解：（1）如图 1，过点 M 作 MCx 轴于点 C， MDy 轴于点 D，则MCA=MDB=90，AMC=BMD，MC=MD ，AMCBMD ，S 四边形 OCMD=S 四边形 O
36、AMB=6，k=6；（2）存在点 E，使得 PE=PF由题意，得点 P 的坐标为（3，2）如图 2，过点 P 作 PGx 轴于点 G，过点 F 作 FHPG 于点 H，交 y 轴于点 KPGE=FHP=90，EPG=PFH ，PE=PF ，PGEFHP，PG=FH=2，FK=OK=32=1，GE=HP=21=1，OE=OG+GE=3+1=4 ，E（4，0）；如图 3，过点 P 作 PGx 轴于点 G，过点 F 作 FHPG 于点 H，交 y 轴于点 KPGE=FHP=90，EPG=PFH ，PE=PF ，PGEFHP，第 24 页（共 30 页）PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=H
37、P=5 2=3，OE=OG+GE=3+3=6 ，E（6，0）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度利用数形结合与分类讨论是解题的关键25若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，ABC 中，设 BC=a，AC=b ，AB=c，各边上的高分别记为 ha，h b，h c，各边上的内接正方形的边长分别记为 xa，x b，x c第 25 页（共 30 页）（1）模拟探究：如图，正方形 EFGH 为ABC 的 BC
38、边上的内接正方形，求证： + = ；（2）特殊应用：若BAC=90，x b=xc=2，求 + 的值；（3）拓展延伸：若ABC 为锐角三角形，bc，请判断 xb 与 xc 的大小，并说明理由【考点】三角形综合题；相似三角形的判定与性质【分析】（1）先根据 EHFG，判定AEHABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式变形即可得到 + = ；（2）先根据（1）中的结论得出 ，再将 hb=c 和 xb=2 代入变形，即可求得 + 的值；（3）先根据（1）中的结论得出 和 ，变形得出 ， ，再根据ABC 得到 bhb=chc， hb=csinA，h c=bsinA，最后代入代数式 进行变形推导，
39、即可得出 xb 与 xc 的大小关系【解答】解：正方形 EFGH 中，EHFG，AEH ABC，ADBC， ，即 ， + = ；（2）由（1）得： ，A=90 ，第 26 页（共 30 页）h b=c，又x b=2， ；（3）x bx c证明：由（1）得： ， ， ， ，S= bhb= chc，2S=bh b=chc，又h b=csinA，h c=bsinA， = ，bc，sinA 1， 0，即 0，x bx c【点评】本题主要考查了三角形的综合运用，难度较大，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定与性质解题时注意，当三角形的高出现时，可以考虑相似三角形的对应高之比等于相似比；其中第（2）个问题
40、也可以运用相似三角形的性质进行计算求解此外，特殊应用和拓展延伸部分的解答都运用了模拟探究中的结论第 27 页（共 30 页）26如图，抛物线 C1：y= x2+2 x 的顶点为 A，与 x 轴的正半轴交于点 B（1）将抛物线 C1 上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线 C1 上的点（x ，y）变为（kx，ky）（|k|1），变换后得到的抛物线记作 C2，抛物线 C2 的顶点为 C，点 P 在抛物线 C2 上，满足 SPAC=SABC，且APC=90当 k1 时，求 k 的值；当 k1 时，请直接写出 k 的值，不必说明理由【考点】二次函数综
41、合题【分析】（1）由抛物线 C1 解析式求出 A、B 及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的 2 倍，待定系数求解可得；（2）如图 1 中，当 k1 时，与（1）同理可得抛物线 C2 的解析式为 y= x2+2 x 及顶点 C的坐标，根据 SPAC=SABC 知 BPAC，继而可得ABO 是边长为 2 的正三角形，四边形 CEBP是矩形，表示出点 P 的坐标，将其代入到抛物线 C2 解析式可求得 k 的值；如图 2 中，当 k1 时，作ABO 关于 y 轴对称的AB O，OE A B，同理可得四边形 CEBP是矩形，先求出抛物线 C2 解析式，表示出点 P 的坐标，将其代入到抛物线 C2 解析式
42、可求得 k 的值；【解答】解：（1）y= x2+2 x= （x 1） 2+ ，抛物线 C1 经过原点 O，点 A（1， ）和点 B（2，0）三点，变换后的抛物线经过原点 O，（2，2 ）和（4，0）三点，变换后抛物线的解析式为 y= x2+2 x；第 28 页（共 30 页）（2）如图 1 中，当 k1 时，抛物线 C2 经过原点 O，（k， k），（2k，0）三点，抛物线 C2 的解析式为 y= x2+2 x，O、A、C 三点共线，且顶点 C 为（k， k），如图，S PAC=SABC，BP AC，过点 P 作 PDx 轴于 D，过点 B 作 BEAO 于 E，由题意知ABO 是边长为 2
43、的正三角形，四边形 CEBP 是矩形，OE=1，CE=BP=2k1，PBD=60，BD=k ，PD= （2k1），P（k+ ， （2k 1）， （2k1） = （k+ ） 2+2 （k+ ），解得：k= ；如图 2 中，当 k1 时，第 29 页（共 30 页）抛物线 C2 经过原点 O，（k， k），（2k，0）三点，抛物线 C2 的解析式为 y= x2+2 x，O、A、C三点共线，且顶点 C为（k， k），作ABO 关于 y 轴对称的A BO，OEA B，S PAC=SABC=SACB，AP AC，由题意四边形 PCOE是矩形，PE=OC= 2k，BE=1，PB=2k 1，在 RTPDB 中，PDB =90，PBD=AB O=60，DB= PB= ，DP= （ 2k1），点 P 坐标 ， （2k+1）， （2k+1）= （ ） 2+2 （ ）k= 【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数的性质、解直角三角形等知识点，根据题意表示出点 P 的坐标是解题的关键，学会添加辅助线构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题第 30 页（共 30 页）
