1、2016 年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1比 0 小 1 的有理数是（ ）A1 B1 C 0 D22下列运算正确的是（ ）Am 6m2=m3B3m 22m2=m2C （3m 2） 3=9m6D m2m2=m23如图，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F，若1=115，则2 的度数是（ ）A55 B 65 C75 D85 4我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：） ，这组数据的平均数和众数分别是（ ）A7，6 B6，5 C5，6 D6，65互联网“微商” 经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200
2、 元，按标价的五折销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为（ ）A120 元 B100 元 C80 元 D60 元6如图，过O 外一点 P 引 O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交O 于点 C，点D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB=80 ，则ADC 的度数是（ ）A15 B 20 C25 D30 7如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则图中ABC 的余弦值是（ ）A2 B C D8如图，在 RtABC 中，C=90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，
3、垂足为E若 BC=3，则 DE 的长为（ ）A1 B2 C 3 D49如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案，若第 n 个图案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为（ ）A671 B672 C673 D67410如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将AOB绕点 B 逆时针旋转 90后得到 AOB若反比例函数 的图象恰好经过斜边 AB 的中点 C，S ABO=4，tanBAO=2，则 k 的值为（ ）A3 B4 C 6 D8二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）11将二次三项式 x2+4x+5
4、化成（x+p） 2+q 的形式应为 12当 a= 1 时，代数式 的值是 13若 12xm1y2 与 3xyn+1 是同类项，点 P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 14若点 M（k 1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y=（k1）x+k 的图象不经过第 象限15全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外如图，张三同学在东门城墙上 C 处 测得塑像底部 B 处的俯角为 1848，测得塑像顶部 A 处的仰角为 45，点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上，若 CD=10 米，则此塑像的高 AB 约为 米（参考数据：tan78124.8） 16如图是一个几何体的三视图（
5、图中尺寸单位：cm） ，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 cm 217请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记） 18若函数 y=（a1）x 24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分）19计算： 20为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答100 道选择题，答对一题得 1 分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表：组别
6、 分数段 频数（人） 频率1 50x60 30 0.12 60x70 45 0.153 70x80 60 n4 80x90 m 0.45 90x100 45 0.15请根据以图表信息，解答下列问题：（1）表中 m= ， n= ；（2）补全频数分布直方图；（3）全体参赛选手成绩的中位数落在第几组；（4）若得分在 80 分以上（含 80 分）的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访 1 人，求这名选手恰好是获奖者的概率21如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到ACD，再将 ACD沿 DB 方向平移到ACD的位置，若平移开始后点 D未到达点 B 时，AC 交
7、CD 于 E，DC 交 CB于点 F，连接 EF，当四边形 EDDF 为菱形时，试探究ADE 的形状，并判断ADE 与EFC 是否全等？请说明理由22为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用23如图，A、F 、B 、C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC
8、是平行四边形，FAB=15 ，连接OF 交 AB 于点 E，过点 C 作 OF 的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H（1）求证：CD 是半圆 O 的切线；（2）若 DH=63 ，求 EF 和半径 OA 的长24已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、x 2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程 的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k）
9、 ，且 k 为负整数时，试判断|m| 2 是否成立？请说明理由25阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2 ，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和y 轴上，抛物线 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 O
10、P 折叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？2016 年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1比 0 小 1 的有理数是（ ）A1 B1 C 0 D2【分析】直接利用有理数的加减运算得出答案【解答】解：由题意可得：01=1，故比 0 小 1 的有理数是：1故选：A【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键2下列运算正确的是（ ）Am 6m2=m3B3m 22m2=m2C （3m 2） 3=9m6D m2m2=m2【分析】分
11、别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以单项式运算法则分别分析得出答案【解答】解：A、m 6m2=m4，故此选项错误；B、3m 22m2=m2，正确；C、 （3m 2） 3=27m6，故此选项错误；D、 m2m2=m3，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算、单项式乘以单项式等知识，熟练应用相关运算法则是解题关键3如图，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F，若1=115，则2 的度数是（ ）A55 B 65 C75 D85 【分析】根据两直线平行，同旁内 角互补可求出 AFD 的度数，然后根据对顶角相等
12、求出2 的度数【解答】解：AB CD，1+F=180，1=115，AFD=65，2 和AFD 是对顶角，2=AFD=65，故选 B【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补4我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：） ，这组数据的平均数和众数分别是（ ）A7，6 B6，5 C5，6 D6，6【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数【解答】解：平均数为： =6，数据 6 出现了 3 次，最多，故众数为 6，故选 D【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，属基础题，难度不大5互联网“微商” 经营已成为
13、大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按标价的五折销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为（ ）A120 元 B100 元 C80 元 D60 元【分析】设该商品的进价为 x 元/件，根据“标价=（进价+利润）折扣”即可列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：设该商品的进价为 x 元/件，依题意得：（x+20） =200，解得：x=80该商品的进价为 80 元/件故选 C【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20） =200本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键6如图，过O 外一点
14、P 引 O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交O 于点 C，点D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB=80 ，则ADC 的度数是（ ）A15 B 20 C25 D30 【分析】根据四边形的内角和，可得BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案【解答】解；如图 ，由四边形的内角和定理，得BOA=360909080=100，由 = ，得AOC=BOC=50由圆周角定理，得ADC= AOC=25，故选：C【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 = 是解题关键，又利用了圆周角定理7如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形
15、的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则图中ABC 的余弦值是（ ）A2 B C D【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：由图可知，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，AB 2=32+42=25，ABC 是直角三角形，且ACB=90，cosABC= = 故选 D【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键8如图，在 RtABC 中，C=90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为E若 BC=3，则 DE 的长为
16、（ ）A1 B2 C 3 D4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得B=CAD= DAB=30，【解答】解：DE 垂直平分 AB，DA=DB，B=DAB，AD 平分 CAB，CAD=DAB，C=90，3CAD=90，CAD=30，AD 平分 CAB，DEAB ，CDAC，CD=DE= BD，BC=3，CD=DE=1，故选 A【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键9如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案，若第 n 个图案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为（ ）A671 B672 C
17、673 D674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加 3 个白色纸片；据此可得第 n 个图案中白色纸片数，从而可得关于 n 的方程，解方程可得【解答】解：第 1 个图案中白色纸片有 4=1+13 张；第 2 个图案中白色纸片有 7=1+23 张；第 3 个图案中白色纸片有 10=1+33 张；第 n 个图案中白色纸片有 1+n3=3n+1（张） ，根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多 3 块，从而总结出第 n 个图形的白色纸片的块数是解题的关键10如
18、图，在 RtAOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将AOB绕点 B 逆时针旋转 90后得到 AOB若反比例函数 的图象恰好经过斜边 AB 的中点 C，S ABO=4，tanBAO=2，则 k 的值为（ ）A3 B4 C 6 D8【分析】先根据 SABO=4，tanBAO =2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 AB 的中点，求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值【解答】解：设点 C 坐标为（ x，y） ，作 CDBO交边 BO于点 D，tanBAO=2， =2，SABO= AOBO=4，AO=2，BO=4，ABOAOB，AO
19、=A0=2， BO=BO=4，点 C 为斜边 AB 的中点，CDBO，CD= A0=1，BD= BO=2，x=BOCD=41=3，y=BD=2 ，k=xy=32=6故选 C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点 C 的坐标，然后根据点 C 的横纵坐标之积等于 k 值求解即可二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）11将二次三项式 x2+4x+5 化成（x+p） 2+q 的形式应为 （x+2） 2+1 【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案【解答】解：x 2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2） 2+1故答案为：（
20、x+2） 2+1【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键12当 a= 1 时，代数式 的值是 【分析】根据已知条件先求出 a+b 和 ab 的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可【解答】解：a= 1，a+b= +1+ 1=2 ，ab= +1 +1=2， = = = ；故答案为： 【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简13若 12xm1y2 与 3xyn+1 是同类项，点 P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 3 【分析】先根据同类项的定义求出 m、n 的值，故可得出 P 点坐标，代入反比例
21、函数的解析式即可得出结论【解答】解：12x m1y2 与 3xyn+1 是同类项，m1=1，n+1=2，解得 m=2，n=1，P（ 2，1） 点 P（m，n）在双曲线 上，a1=2，解得 a=3故答案为：3【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键14若点 M（k 1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y=（k1）x+k 的图象不经过第 一 象限【分析】首先确定点 M 所处的象限，然后确定 k 的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案【解答】解：点 M（k1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四
22、象限内，点 M（k1，k+1）位于第三象限，k10 且 k+10，解得：k1，y=（k 1）x+k 经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为：一【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时，函数图象经过二、三、四象限15全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外如图，张三同学在东门城墙上 C 处测得塑像底部B 处的俯角为 1848，测得塑像顶部 A 处的仰角为 45，点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上，若 CD=10 米，则此塑像的高 AB 约为 58 米（参考数据：tan78124.8） 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长
23、，进而得 出 AE 的长，进而得出答案【解答】解：如图所示：由题意可得：CE AB 于点 E，BE=DC，ECB=1848，EBC=7812，则 tan7812= = =4.8，解得：EC=48（ m） ，AEC=45，则 AE=EC，且 BE=DC=10m，此塑像的高 AB 约为：AE+EB=58（米） 故答案为：58【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出 EC 的长是解题关键16如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm） ，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 4 cm 2【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底
24、面半径，从而确定其表面积【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为 3cm，底面半径为 1cm，故表面积=rl+ r2=13+12=4cm2故答案为：4【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查17请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记） 【分析】沿 AB 的中点 E 和 BC 的中点 F 剪开，然后拼接成平行四边形即可【解答】解：如图所示AE=BE，DE=EF，
25、AD=CF 【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从AB、BC 的中点入手剪开是解题的关键18若函数 y=（a1）x 24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 1 或 2 或 1 【分析】直接利用抛物线与 x 轴相交，b 24ac=0，进而解方程得出答案【解答】解：函数 y=（a 1）x 24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b 24ac=164（a 1）2a=0，解得：a 1=1，a 2=2，当函数为一次函数时，a1=0，解得：a=1故答案为：1 或 2 或 1【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴
26、的交点，正确得出关于 a 的方程是解题关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分）19计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案【解答】解：原式= +322 1= +6 1=5【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键20为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答100 道选择题，答对一题得 1 分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表：组别 分数段 频数（人） 频率1 50x60
27、 30 0.12 60x70 45 0.153 70x80 60 n4 80x90 m 0.45 90x100 45 0.15请根据以图表信息，解答下列问题：（1）表中 m= 120 ，n= 0.2 ；（2）补全频数分布直方图；（3）全体参赛选手成绩的中位数落在第几组；（4）若得分在 80 分以上（含 80 分）的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访 1 人，求这名选手恰好是获奖者的概率【分析】 （1）根据表格可以求得全体参赛选手的人数，从而可以求得 m 的值，n 的值；（2）根据（1）中的 m 的值，可以将补全频数分布直方图；（3）根据表格可以求得全体参赛选手成绩的中位数落在第几组；（4
28、）根据表格中的数据可以求得这名选手恰好是获奖者的概率【解答】解：（1）由表格可得，全体参赛的选手人数有：300.1=300，则 m=3000.4=120，n=60 300=0.2，故答案为：120，0.2；（2）补全的频数分布直方图如右图所示，（3）35+45=75，75+60=135，135+120=255，全体参赛选手成绩的中位数落在 80x90 这一组；（4）由题意可得，即这名选手恰好是获奖者的概率是 0.55【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、概率公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答21如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 A
29、B 上的中线 CD 剪开，得到ACD，再将 ACD沿 DB 方向平移到ACD的位置，若平移开始后点 D未到达点 B 时，AC 交 CD 于 E，DC 交 CB于点 F，连接 EF，当四边形 EDDF 为菱形时，试探究ADE 的形状，并判断ADE 与EFC 是否全等？请说明理由【分析】当四边形 EDDF 为菱形时，A DE 是等腰三角形， ADEEFC先证明CD=DA=DB，得到DAC=DCA，由 ACAC即可得到DA E=DEA由此即可判断DA E 的形状由 EFAB 推出CEF=EAD， EFC=ADC=ADE，再根据 AD=DE=EF 即可证明【解答】解：当四边形 EDDF 为菱形时，A
30、DE 是等腰三角形， ADEEFC理由：BCA 是直角三角形，ACB=90，AD=DB，CD=DA=DB，DAC=DCA，ACAC，DAE=A， DEA=DCA，DAE=DEA，DA=DE，ADE 是等腰三角形四边形 DEFD是菱形，EF=DE=DA，EFDD，CEF=DAE，EFC= CDA，CDCD，ADE=ADC=EFC，在ADE 和EFC 中，ADEEFC【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型22为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树
31、苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用【分析】 （1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；（2）根据所需费用 为 W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用，即可解答【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，把（20，160） ， （40，288）代入 y=kx+b 得：解得：y=6.4x+32（2）B 种苗的数量不超过
32、 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，22.5x35，设总费用为 W 元，则 W=6.4x+32+7（45 x）=0.6x+347，k=0.6，y 随 x 的增大而减小，当 x=35 时，W 总费用最低，W 最低 =0.635+34 7=137（元） 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得 出费用最省方案是解决问题的关键23如图，A、F 、B 、C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形，FAB=15 ，连接OF 交 AB 于点 E，过点 C 作 OF 的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H（1）求证：CD 是半圆 O 的切
33、线；（2）若 DH=63 ，求 EF 和半径 OA 的长【分析】 （1）连接 OB，根据已知条件得到AOB 是等边三角形，得到AOB=60 ，根据圆周角定理得到AOF=BOF=30，根据平行线的性质得到 OCCD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到DBC=EAO=60 ，解直角三角形得到 BD= BC= AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到 ，求得 EF=2 ，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接 OB，OA=OB=OC，四边形 OABC 是平行四边形，AB=OC，AOB 是等边三角形，AOB=60，FAD=15，BOF=30，AOF=BOF
34、=30，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD 是半圆 O 的切线；（2）BCOA，DBC=EAO=60，BD= BC= AB，AE= AD，EFDH，AEFADH， ，DH=63 ，EF=2 ，OF=OA，OE=OA（2 ） ，AOE=30， = = ，解得：OA=2 【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 OB 构造等边三角形是解题的关键24已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、
35、x 2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程 的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，且 k 为负整数时，试判断|m| 2 是否成立？请说明理由【分析】 （1）先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出 k 的取值；（2）先把 k=m+2，n=1 代入方程 化简，由方程 有两个整数实根得 是完全平方数，列等式得出关于 m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x1、x 2 得出 m=1 和1，分别代入方程后解出即可（3）根据（1）中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=1，化简已知所给的
36、等式，并将两根和与积代入计算求出 m 的值，做出判断【解答】解：（1）关于 x 的分式方程 的根为非负数，x0 且 x1，又 x= 0，且 1，解得 k1 且 k1，又 一元二次方程（2 k）x 2+3mx+（3k）n=0 中 2k0，k2，综上可得：k1 且 k1 且 k2；（2）一元二次方程（2 k）x 2+3mx+（3k）n=0 有两个整数根 x1、x 2，且 k=m+2，n=1 时，把 k=m+2，n=1 代入原方程得： mx2+3mx+（1m）=0 ，即： mx23mx+m1=0，0，即=（ 3m） 24m（m1） ，且 m0，=9m24m（m 1）=m（5m+4） ，x1、 x2
37、是整数，k、m 都是整数，x1+x2=3，x 1x2= =1 ，1 为整数，m=1 或 1，把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 23x+11=0，x23x=0，x（x3） =0，x1=0，x 2=3；把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得： x2+3x2=0，x23x+2=0，（x1） （ x2）=0，x1=1，x 2=2；（3）|m| 2 不成立，理由是：由（1）知：k 1 且 k1 且 k2，k 是负整数，k=1，（2k） x2+3mx+（3k）n=0 且方程有两个实数根 x1、x 2，x1+x2= = =m，x 1x2= = ，x1（x 1k）+x 2（x 2
38、k）=（x 1k） （x 2k） ，x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2，x12+x22x1x2+k2，（x 1+x2） 22x1x2x1x2=k2，（x 1+x2） 23x1x2=k2，（m ） 23 =（1 ） 2，m24=1，m2=5，m= ，|m|2 不成立【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：解分式方程时分母不能为 0； 一元二次方程有两个整数根时，根的判别式为完全平方数25阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点 M（1，3）的特征线有：x
39、=1，y=3，y=x+2 ，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和y 轴上，抛物线 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？【分析】 （1）根据特征线直接求出点 D 的特征线；（2）由点 D
40、 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于 x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可【解答】解：（1）点 D（m，n） ，点 D（ m，n）的特征线是 x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）点 D 有一条特征线是 y=x+ 1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为 ，y= （x m） 2+m+1，四边形 OABC 是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（m，n） ，B（2m，2m） ， （ 2mm） 2+n=2m，将 n=m+1 带入得到 m=2，n=3；D（ 2， 3） ，抛物线解析式为 y= （x2） 2+3（3）如图，当点 A
41、在平行于 y 轴的 D 点的特征线时，根据题意可得，D（2，3） ，OA=OA=4，OM=2 ，AOM=60，AOP=AOP=30，MN= = ，抛物线需要向下平移的距离=3 = 乳头，当点 A在平行于 x 轴的 D 点的特征线时，顶点落在 OP 上，A与 D 重合，A（ 2，3） ，设 P（4，c） （c0） ，由折叠有，PD=PA， =c，c= ，P（ 4， ）直线 OP 解析式为 y= ，N（ 2， ） ，抛物线需要向下平移的距离=3 = ，即：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在 OP 上【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点 D 的坐标
