1、第 1 页（共 24 页）2016 年贵州省黔东南州中考数学试卷一、选择题（每个小题 4 分，10 个小题共 40 分）12 的相反数是（ ）A2 B2 C D2如图，直线 ab，若1=40，2=55，则3 等于（ ）A85 B95 C105 D1153已知一元二次方程 x22x1=0 的两根分别为 m、n，则 m+n 的值为（ ）A2 B1 C1 D24如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AB=2，ABC=60 ，则BD 的长为（ ）A2 B3 C D25小明在某商店购买商品 A、B 共两次，这两次购买商品 A、B 的数量和费用如表：购买商品 A 的数量（个
2、）购买商品 B 的数量（个） 购买总费用（元）第一次购物 4 3 93第二次购物 6 6 162若小丽需要购买 3 个商品 A 和 2 个商品 B，则她要花费（ ）A64 元 B65 元 C66 元 D67 元6已知一次函数 y1=ax+c 和反比例函数 y2= 的图象如图所示，则二次函数 y3=ax2+bx+c的大致图象是（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D7不等式组 的整数解有三个，则 a 的取值范围是（ ）A1 a0 B 1a0 C 1a0 D1a082002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成
3、的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么（a+b） 2 的值为（ ）A13 B19 C25 D1699将一个棱长为 1 的正方体水平放于桌面（始终保持正方体的一个面落在桌面上） ，则该正方体正视图面积的最大值为（ ）A2 B +1 C D110如图，在等腰直角ABC 中，C=90，点 O 是 AB 的中点，且 AB= ，将一块直角三角板的直角顶点放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、BC 相交，交点分别为 D、E，则 CD+CE=（ ）第 3 页（共 24 页）A B C2 D二、填空
4、题（每个小题 4 分，6 个小题共 24 分）11tan60 = 12分解因式：x 3x220x= 13在一个不透明的箱子中装有 4 件同型号的产品，其中合格品 3 件、不合格品 1 件，现在从这 4 件产品中随机抽取 2 件检测，则抽到的都是合格品的概率是 14如图，在ACB 中，BAC=50，AC=2 ，AB=3，现将ACB 绕点 A 逆时针旋转 50得到AC 1B1，则阴影部分的面积为 15如图，点 A 是反比例函数 y1= （x0）图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交反比例函数 y2= （x0）的图象于点 B，连接 OA、OB，若OAB 的面积为 2，则 k 的值为 16如图，
5、在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，OC=3，OA=2 ，D 是 BC 的中点，将OCD 沿直线 OD 折叠后得到OGD ，延长 OG交 AB 于点 E，连接 DE，则点 G 的坐标为 第 4 页（共 24 页）三、解答题（8 个小题，共 86 分）17计算：（ ） 2+（ 3.14） 0| |2cos3018先化简： （x ） ，然后 x 在1，0，1，2 四个数中选一个你认为合适的数代入求值19解方程： + =120黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A，B，C，D
6、四个等级，设学生时间为 t（小时） ，A：t1，B：1t1.5，C：1.5t 2，D：t 2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？（3）表示 B 等级的扇形圆心角 的度数是多少？（4）在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，乙班有 3 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，若从这 5 人中任选 2 人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的 2 人来自不同班级的概率21黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展
7、数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30，在 C 处测得电线杆顶端 A 得仰角为 45，斜坡与地面成 60角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB） （结果精确到 1m，参考数据： 1.4， 1.7）第 5 页（共 24 页）22如图，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CDAB，垂足为 E，且PC2=PEPO（1）求证：PC 是O 的切线（2）若 OE：EA=1：2，PA=6，求O 的半径23凯里市某文具店某种型号的计算
8、器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价 0.1 元，例如：某人买 18 只计算器，于是每只降价 0.1（1810）=0.8（元） ，因此所买的 18 只计算器都按每只 19.2 元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为 16 元（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售 x（x10）只时，所获利润 y（元）与 x（只）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了 46 只，乙顾客购买了 50 只，店主发现卖 46 只赚的钱反而比卖50 只赚的
9、钱多，请你说明发生这一现象的原因；当 10x50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？24如图，直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、C，经过 B、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P，且对称轴为直线 x=2（1）求该抛物线的解析式；（2）连接 PB、PC ，求PBC 的面积；（3）连接 AC，在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以点 P，B，Q 为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页（共 24 页）第 7 页（共 24 页）2016 年贵州省黔东南州中考数学试卷参考
10、答案与试题解析一、选择题（每个小题 4 分，10 个小题共 40 分）12 的相反数是（ ）A2 B2 C D【考点】相反数【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2故选：A2如图，直线 ab，若1=40，2=55，则3 等于（ ）A85 B95 C105 D115【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质得出4=3，然后根据三角形外角的性质即可求得3 的度数【解答】解：直线 ab，4=3，1+2=4，3=1+2=95故选 B3已知一元二次方程 x22x1=0 的两根分别为 m、n，则 m+n 的值为（ ）A2 B1 C1 D2【考点】
11、根与系数的关系第 8 页（共 24 页）【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出 m+n 的值，由此即可得出结论【解答】解：方程 x22x1=0 的两根分别为 m、n，m+n= =2故选 D4如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AB=2，ABC=60 ，则BD 的长为（ ）A2 B3 C D2【考点】菱形的性质【分析】首先根据菱形的性质知 AC 垂直平分 BD，再证出ABC 是正三角形，由三角函数求出 BO，即可求出 BD 的长【解答】解：四边形 ABCD 菱形，ACBD ，BD=2BO ，ABC=60，ABC 是正三角形，BAO=60，BO=
12、sin60 AB=2 = ，BD=2 故选：D5小明在某商店购买商品 A、B 共两次，这两次购买商品 A、B 的数量和费用如表：购买商品 A 的数量（个）购买商品 B 的数量（个） 购买总费用（元）第一次购物 4 3 93第二次购物 6 6 162若小丽需要购买 3 个商品 A 和 2 个商品 B，则她要花费（ ）A64 元 B65 元 C66 元 D67 元【考点】二元一次方程组的应用【分析】设商品 A 的标价为 x 元，商品 B 的标价为 y 元，由题意得等量关系：4 个 A的花费+3 个 B 的花费=93 元；6 个 A 的花费+6 个 B 的花费=162 元，根据等量关系列出方程组，再
13、解即可第 9 页（共 24 页）【解答】解：设商品 A 的标价为 x 元，商品 B 的标价为 y 元，根据题意，得 ，解得： 答：商品 A 的标价为 12 元，商品 B 的标价为 15 元；所以 312+215=66 元，故选 C6已知一次函数 y1=ax+c 和反比例函数 y2= 的图象如图所示，则二次函数 y3=ax2+bx+c的大致图象是（ ）A B C D【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出 a、b、c 的正负，再根据抛物线的对称轴为x= ，找出二次函数对称轴在 y 轴左侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论【解答】解：一次函
14、数 y1=ax+c 图象过第一、二、四象限，a0，c0，二次函数 y3=ax2+bx+c 开口向下，与 y 轴交点在 x 轴上方；反比例函数 y2= 的图象在第二、四象限，b0，第 10 页（共 24 页） 0，二次函数 y3=ax2+bx+c 对称轴在 y 轴左侧满足上述条件的函数图象只有 B 选项故选 B7不等式组 的整数解有三个，则 a 的取值范围是（ ）A1 a0 B 1a0 C 1a0 D1a0【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出 a 的范围即可【解答】解：不等式组 的解集为 ax3，由不等式组的整数解有三个，即 x=0，1，2，得到1a 0，故
15、选 A82002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么（a+b） 2 的值为（ ）A13 B19 C25 D169【考点】勾股定理的证明【分析】根据题意，结合图形求出 ab 与 a2+b2 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【解答】解：根据题意得：c 2=a2+b2=13，4 ab=131=12，即 2ab=12，则（a+b） 2=a2+2ab+b2=13+12=25，故
16、选 C9将一个棱长为 1 的正方体水平放于桌面（始终保持正方体的一个面落在桌面上） ，则该正方体正视图面积的最大值为（ ）A2 B +1 C D1【考点】简单几何体的三视图【分析】先求得正方体的一个面的上的对角线的长度，然后可求得正方体视图面积的最大值第 11 页（共 24 页）【解答】解：正方体正视图为正方形或矩形正方体的棱长为 1，边长为 1每个面的对角线的长为= 正方体的正视图（矩形）的长的最大值为 始终保持正方体的一个面落在桌面上，正视图（矩形）的宽为 1最大值面积=1 = 故选：C10如图，在等腰直角ABC 中，C=90，点 O 是 AB 的中点，且 AB= ，将一块直角三角板的直角
17、顶点放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、BC 相交，交点分别为 D、E，则 CD+CE=（ ）A B C2 D【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】连接 OC 构建全等三角形，证明ODCOEB，得 DC=BE；把 CD+CE 转化到同一条线段上，即求 BC 的长；通过等腰直角ABC 中斜边 AB 的长就可以求出BC= ，则 CD+CE=AB= 【解答】解：连接 OC，等腰直角ABC 中，AB= ，B=45 ，cosB= ，BC= cos45= = ，点 O 是 AB 的中点，OC= AB=OB，OC AB，COB=90，DOC+COE=90，COE+EO
18、B=90，DOC=EOB，同理得ACO=B，ODCOEB，DC=BE，CD+CE=BE +CE=BC= ，故选 B第 12 页（共 24 页）二、填空题（每个小题 4 分，6 个小题共 24 分）11tan60 = 【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可【解答】解：tan60的值为 故答案为： 12分解因式：x 3x220x= x（x+4） （x 5） 【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解 -提公因式法【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法把原式因式分解即可【解答】解：原式=x（x 2x20）=x（x+4） （x 5） 故答案为：x（x+4） （x5） 1
19、3在一个不透明的箱子中装有 4 件同型号的产品，其中合格品 3 件、不合格品 1 件，现在从这 4 件产品中随机抽取 2 件检测，则抽到的都是合格品的概率是 【考点】列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的都是合格品的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，抽到的都是合格品的有 6 种情况，抽到的都是合格品的概率是： = 第 13 页（共 24 页）故答案为： 14如图，在ACB 中，BAC=50，AC=2 ，AB=3，现将ACB 绕点 A 逆时针旋转 50得到AC 1B1，则阴影部分的面积为 【考
20、点】旋转的性质【分析】根据旋转的性质可知 ，由此可得 S 阴影 = ，根据扇形面积公式即可得出结论【解答】解： ，S 阴影 = = AB2= 故答案为： 15如图，点 A 是反比例函数 y1= （x0）图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交反比例函数 y2= （x0）的图象于点 B，连接 OA、OB，若OAB 的面积为 2，则 k 的值为 5 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】延长 BA，与 y 轴交于点 C，由 AB 与 x 轴平行，得到 BC 垂直于 y 轴，利用反比例函数 k 的几何意义表示出三角形 AOC 与三角形 BOC 面积，由三角形 BOC 面积减去三角形 AO
21、C 面积表示出三角形 AOB 面积，将已知三角形 AOB 面积代入求出 k 的值即可【解答】解：延长 BA，与 y 轴交于点 C，ABx 轴，BCy 轴，A 是反比例函数 y1= （x0）图象上一点，B 为反比例函数 y2= （x0）的图象上的点，第 14 页（共 24 页）S AOC= ，S BOC= ，S AOB=2，即 =2，解得：k=5，故答案为：516如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，OC=3，OA=2 ，D 是 BC 的中点，将OCD 沿直线 OD 折叠后得到OGD ，延长 OG交 AB 于点 E，连接 DE，则点 G
22、 的坐标为 （ ， ） 【考点】翻折变换（折叠问题） ；坐标与图形性质；矩形的性质【分析】过点 G 作 GFOA 于点 F，根据全等直角三角形的判定定理（HL）证出 RtDGE RtDBE，从而得出 BE=GE，根据勾股定理可列出关于 AE 长度的方程，解方程可得出 AE 的长度，再根据平行线的性质即可得出比例关系 ，代入数据即可求出点 G 的坐标【解答】解：过点 G 作 GFOA 于点 F，如图所示点 D 为 BC 的中点，DC=DB=DG，四边形 OABC 是矩形，AB=OC，OA=BC，C= OGD=ABC=90在 Rt DGE 和 RtDBE 中， ，RtDGERtDBE（HL） ，B
23、E=GE设 AE=a，则 BE=3a，DE= = ，OG=OC=3，OE=OG+GE，即 =3+3a，解得：a=1，第 15 页（共 24 页）AE=1，OE=5GFOA，EAOA，GFEA， ，OF= = = ，GF= = = ，点 G 的坐标为（ ， ） 故答案为：（ ， ） 三、解答题（8 个小题，共 86 分）17计算：（ ） 2+（ 3.14） 0| |2cos30【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算【解答】解：原
24、式=4+1 （2 ） 2 =52+ =318先化简： （x ） ，然后 x 在1，0，1，2 四个数中选一个你认为合适的数代入求值【考点】分式的化简求值【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的 x 的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论【解答】解：原式= ，= ，=x+1在1， 0，1， 2 四个数中，使原式有意义的值只有 2，第 16 页（共 24 页）当 x=2 时，原式=2 +1=319解方程： + =1【考点】解分式方程【分析】观察可得最简公分母是（x1） （x+1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解
25、：方程的两边同乘（x1） （x+1） ，得（x+1） 24=（x1） （x+1） ，解得 x=1检验：把 x=1 代入（x 1） （x+1）=0所以原方程的无解20黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A，B，C，D 四个等级，设学生时间为 t（小时） ，A：t1，B：1t1.5，C：1.5t 2，D：t 2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？（3）表示 B 等级的扇形圆心
26、角 的度数是多少？（4）在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，乙班有 3 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，若从这 5 人中任选 2 人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的 2 人来自不同班级的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；中位数【分析】 （1）根据 B 类的人数和所占的百分比即可求出总数；求出 C 的人数从而补全统计图；（2）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；（3）用 B 的人数除以总人数再乘以 360，即可得到圆心角 的度数；
27、第 17 页（共 24 页）（4）先设甲班学生为 A1，A 2，乙班学生为 B1，B 2，B 3 根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可【解答】解：（1）共调查的中学生数是：8040%=200（人） ，C 类的人数是：200 608020=40（人） ，如图 1：（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在 C 等级内；（3）根据题意得：= 360=54，（4）设甲班学生为 A1，A 2，乙班学生为 B1，B 2，B 3，一共有 20 种等可能结果，其中 2 人来自不同班级共有 12 种，P（2 人来自不同班级）= = 21黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量
28、学校附近一电线杆的高已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30，在 C 处测得电线杆顶端 A 得仰角为 45，斜坡与地面成 60角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB） （结果精确到 1m，参考数据： 1.4， 1.7）第 18 页（共 24 页）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；解直角三角形的应用- 仰角俯角问题【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 G，作 DHBG 于 H，由三角函数求出求出 CH、DH的长，得出 CG，设 AB=xm，根据正切的定义求出 BG，得出方程
29、，解方程即可【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 G，作 DHBG 于 H，如图所示：在 Rt DHC 中，DCH=60，CD=4，则 CH=CDcosDCH=4 cos60=2，DH=CD sinDCH=4sin60=2 ，DHBG，G=30 ，HG= = =6，CG=CH+HG=2+6=8，设 AB=xm，ABBG ，G=30 ，BCA=45，BC=x，BG= = = x，BGBC=CG， xx=8，解得：x11（m） ；答：电线杆的高为 11m22如图，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CDAB，垂足为 E，且PC2=PEPO（1）求证：PC 是O 的切线（2
30、）若 OE：EA=1：2，PA=6，求O 的半径第 19 页（共 24 页）【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的判定【分析】 （1）连结 OC，如图，由 PC2=PEPO 和公共角可判断PCEPOC，则PEC=PCO=90，然后根据切线的判定定理可判断 PC 是O 的切线；（2）设 OE=x，则 EA=2x，OA=OC=3x，证明OCEOPC，利用相似比可表示出OP，则可列方程 3x+6=9x，然后解出 x 即可得到O 的半径【解答】 （1）证明：连结 OC，如图，CDAB ，PEC=90，PC 2=PEPO，PC： PO=PE：PC ，而CPE=OPC ，PCEPOC，PEC=P
31、CO=90，OCPC，PC 是 O 的切线；（2）解：设 OE=x，则 EA=2x，OA=OC=3x，COE=POC，OEC= OCP，OCEOPC，OC：OP=OE：OC，即 3x：OP=x：3x，解得 OP=9x，3x+6=9x，解得 x=1，OC=3，即O 的半径为 323凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价 0.1 元，例如：某人买 18 只计算器，于是每只降价 0.1（1810）=0.8（元） ，因此所买的 18 只计算器都按每只 19.2 元的价格购买，但是每只计算
32、器的最低售价为 16 元（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？第 20 页（共 24 页）（2）求写出该文具店一次销售 x（x10）只时，所获利润 y（元）与 x（只）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了 46 只，乙顾客购买了 50 只，店主发现卖 46 只赚的钱反而比卖50 只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当 10x50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【考点】二次函数的应用【分析】 （1）设一次购买 x 只，由于凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，而最低价为
33、每只 16 元，因此得到 200.1（x 10）=16，解方程即可求解；（2）由于根据（1）得到 x50，又一次销售 x（x10）只，因此得到自变量 x 的取值范围，然后根据已知条件可以得到 y 与 x 的函数关系式；（3）首先把函数变为 y=0.1x2+9x=0.1（x 45） 2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题【解答】解：（1）设一次购买 x 只，则 200.1（x 10）=16 ，解得：x=50答：一次至少买 50 只，才能以最低价购买；（2）当 10x50 时，y=200.1（x10）12x= 0.1x2+9x，当 x50 时，y=（16 12）x=4
34、x；综上所述：y= ；（3）y= 0.1x2+9x=0.1（x 45） 2+202.5，当 10x45 时，y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大当 45x50 时，y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小且当 x=46 时，y 1=202.4，当 x=50 时，y 2=200y1y 2即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只赚的钱多的现象当 x=45 时，最低售价为 200.1（4510）=16.5（元） ，此时利润最大24如图，直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、C，经过 B、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A
35、，顶点为 P，且对称轴为直线 x=2第 21 页（共 24 页）（1）求该抛物线的解析式；（2）连接 PB、PC ，求PBC 的面积；（3）连接 AC，在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以点 P，B，Q 为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及 B 点的坐标，即可求出 A的坐标，利用抛物线过 A、B、C 三点，可用待定系数法来求函数的解析式（2）首先利用各点坐标得出得出PBC 是直角三角形，进而得出答案；（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点 P 的坐标，然后求出 BP 的长
36、，进而分情况进行讨论：当 = ， PBQ=ABC=45时，根据 A、B 的坐标可求出 AB 的长，根据 B、C 的坐标可求出 BC 的长，已经求出了 PB 的长度，那么可根据比例关系式得出 BQ 的长，即可得出 Q 的坐标当 = ， QBP=ABC=45时，可参照的方法求出 Q 的坐标当 Q 在 B 点右侧，即可得出PBQBAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的 Q 的坐标【解答】解：（1）直线 y=x+3 与 x 轴相交于点 B，当 y=0 时，x=3，点 B 的坐标为（3，0） ，y=x+ 3 过点 C，易知 C（0，3） ，c=3又抛物线过 x 轴上的 A，B 两点，且
37、对称轴为 x=2，根据抛物线的对称性，点 A 的坐标为（1，0） 又抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，解得：该抛物线的解析式为：y=x 24x+3；第 22 页（共 24 页）（2）如图 1，y=x 24x+3=（x2） 21，又B（3，0） ，C（0，3） ，PC= = =2 ， PB= = ，BC= = =3 ，又PB 2+BC2=2+18=20，PC 2=20，PB 2+BC2=PC2，PBC 是直角三角形，PBC=90，S PBC= PBBC= 3 =3；（3）如图 2，由 y=x24x+3=（x2） 21，得 P（2， 1） ，设抛物线的对称轴交 x
38、 轴于点 M，在 RtPBM 中，PM=MB=1，PBM=45，PB= 由点 B（3，0） ，C（0，3）易得 OB=OC=3，在等腰直角三角形 OBC 中，ABC=45，由勾股定理，得 BC=3 假设在 x 轴上存在点 Q，使得以点 P，B ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似当 = ， PBQ=ABC=45时，PBQABC即 = ，解得：BQ=3，又BO=3，点 Q 与点 O 重合，Q 1 的坐标是（0，0） 当 = ， QBP=ABC=45时，QBPABC即 = ，解得：QB= OB=3，OQ=OBQB=3 ，Q 2 的坐标是（ ，0） 当 Q 在 B 点右侧，第 23 页（共 24 页）则PBQ=180 45=135，BAC135，故PBQ BAC则点 Q 不可能在 B 点右侧的 x 轴上，综上所述，在 x 轴上存在两点 Q1（0，0） ，Q 2（ ，0） ，能使得以点 P，B ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似第 24 页（共 24 页）2016 年 8 月 10 日
