1、江苏省南京市秦淮区 2018-2019 学年九年级上期末数学模拟试卷（一）一选择题（共 6 小题，满分 12 分，每小题 2 分）1已知关于 x 的一元二次方程（ k1） x2+3x+k210 有一根为 0，则 k（ ）A1 B1 C1 D02如图，衣橱中挂着 3 套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）A B C D3如果将抛物线 y2 x2向上平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A y2（ x+1） 2 B y2（ x1） 2C y2 x21 D y2 x2+14已知 O 的直径 CD10 cm， AB
2、 是 O 的弦， AB CD，垂足为 M，且AB8 cm，则 AC 的长为（ ）A2 cm B4 cm C2 cm 或 4 cm D2 cm 或4 cm5如图是二次函数 y ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x1，下列结论正确的是（ ）A b24 ac B ac0 C2 a b0 D a b+c06如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE PB设 AP x， PBE 的面积为 y则能够正确反映 y 与 x 之间的函数关系的图象是（ ）A BC D二填
3、空题（共 10 小题，满分 20 分，每小题 2 分）7已知 ，则 的值是 8关于 x 的一元二次方程 x22 kx+k2 k0 的两个实数根分别是 x1、 x2，且x12+x224，则 x12 x1x2+x22的值是 9有 10 个数据的平均数为 12，另有 20 个数据的平均数为 15，那么所有这 30个数据的平均数是 10大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割” ，如图， P 为 AB 的黄金分割点（ AP PB） ，如果 AB 的长度为 10cm，那么 PB 的长度为 cm11如图，已知 O 是 ABD 的外接圆， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， A
4、BD58，则 BCD 的度数是 12已知圆锥的底面半径为 6，母线长为 10，则此圆锥的侧面积为 13如图是二次函数 和一次函数 y2 kx+t 的图象，当 y1 y2时，x 的取值范围是 14试写出一个二次函数关系式，使 它对应的一元二次方程的一个根为 0，另一个根在 1 到 2 之间： 15如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m16如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是 O 的内接多边形，则 BOM 三解答题（共 11 小题）17 （8 分）解方程：（1） x2+2x1； （2） （ x3） 2+2（ x3）018 （6 分
5、）甲乙两组各有 10 名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：收集数据各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如表：输入汉字（个） 132 133 134 135 136 137甲组人数（人） 1 0 1 5 2 1乙组人数（人） 0 1 4 1 2 2分析数据两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：组 众数 中位数 平均数（）方差（ s2）甲组 135 135 135 1.6乙组 13 4 134.5 135 1.8得出结论（1）若每分钟输入汉字个数 136 及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度
6、评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价） 19 （8 分）一个不透明的布袋内装有形状、大小、质地等完全相同的 4 个小球，分别标有数字 1，2，3，4（1）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字恰好为 4 的概率；（2）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 y，这样就确定点 P 的一个坐标为（ x， y） ，用树状图或表格说明 P 落在直线 y x+1上的概率20 （6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是 边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形” ，图中的
7、 ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C 的坐标为（0，1） （1）在如图的方格纸 中把 ABC 以点 O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1：2，画出 A1B2C2（ ABC 与 A1B2C2在位似中心 O 点的两侧， A， B， C的对应点分别是 A1， B2， C2） （2）利用方格纸标出 A1B2C2外接圆的圆心 P， P 点坐标是 ， P 的半径 （保留根号）21 （6 分）在直角坐标平面 xOy 中，二次函数 y x2+2（ m+2） x+m2 图象与 y轴交于（0，3）点（1）求该二次函数的解析式，并画出示意图；（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，
8、可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标22 （8 分）如图，在等边 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点，且 ADE60（1）求证： ABD DCE；（2）若 BD3， CE2，求 ABC 的边长23 （6 分）小东根据学习函数的经验，对函数 y 图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数 y 的自变量 x 的取值范围是 ；（2）如表是 y 与 x 的几组对应值x 2 1 0 1 2 3 4 y 2 4 2 m 表中 m 的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对
9、应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数 y 的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数 y 的一条性质： （5）解决问题：如果函数 y 与直线 y a 的交点有 2 个，那么 a 的取值范围是 24 （8 分）如图，有一路灯杆 AB（底部 B 不能直接到达） ，在灯光下，小华在点 D 处测得自己的影长 DF3 m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己的影长FG4 m如果小华的身高为 1.5m，求路灯杆 AB 的高度25 （10 分）某商场将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件（1）
10、若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求当 x 取何值时，商场获利润最大？26 （10 分）在 Rt ABC 中， ACB90， BE 平分 ABC， D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的 O 经过点 E，且交 BC 于点 F（1）求证： AC 是 O 的切线；（2）若 BF6， O 的半径为 5，求 CE 的长27 （12 分）如图，点 A， B， C 都在抛物线y ax22 amx+am2+2m5（ a0）上， AB x 轴， ABC135，且AB4（1）填
11、空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示） ；（2）求 ABC 的面积（用含 a 的代数式表示） ；（3）若 ABC 的面积为 2，当 2m5 x2 m2 时， y 的最大值为 2，求 m 的值参考答案一选择题1解：把 x0 代入一元二次方程（ k1） x2+3x+k210，得 k210，解得 k1 或 1；又 k10，即 k1；所以 k1故选： B2解：令 3 件上衣分别为 A、 B、 C，对应的裤子分别为 a、 b、 c，画树状图如下：由树状图可知，共有 9 种等可能结果，其中取自同一套的有 3 种可能，所以取自同一套的概率为 ，故选： D3解：将抛物线 y2 x2向上平移 1
12、个单位，平移后的抛物线的解析式为： y2 x2+1故选： D4解：连接 AC， AO， O 的直径 CD10 cm， AB CD， AB8 cm， AM AB 84（ cm） ， OD OC5 cm，当 C 点位置如图 1 所示时， OA5 cm， AM4 cm， CD AB， OM 3（ cm） ， CM OC+OM5+38（ cm） ， AC 4 （ cm） ；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM3 cm， OC5 cm， MC532（ cm） ，在 Rt AMC 中， AC 2 （ cm） 故选： C5解：抛物线与 x 轴有两个交点， b24 ac0，即 b24 ac，所以 A
13、 选项错误；抛物线开口向上， a0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， ac0，所以 B 选项错误；二次函数图象的对称轴是直线 x1， 1，2 a+b0，所以 C 选项错误；抛物线过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是 x1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， a b+c0，所以 D 选项正确；故选： D6解：过点 P 作 PF BC 于 F， PE PB， BF EF，正方形 ABCD 的边长是 1， AC ， AP x， PC x， PF FC （ x）1 x， BF FE1 FC x， S PBE BEPF x（1 x） x2+ x，即 y x2+ x（0 x
14、 ） ， y 是 x 的二次函数（0 x ） ，故选： A二填空题（共 10 小题，满分 20 分，每小题 2 分）7解：由等比性质，得 ，故答案为： 8解： x22 kx+k2 k0 的两个实数根分别是 x1、 x2， x1+x22 k， x1x2 k2 k， x12+x224， 4，（2 k） 22（ k2 k）4，2k2+2k40，k2+k20，k2 或 1，（2 k） 241（ k2 k）0，k0， k1， x1x2 k2 k0， x12 x1x2+x22404故答案为：49解：所有这 30 个数据的平均数 14故答案为 1410解： P 为 AB 的黄金分割点（ AP PB） ， A
15、P AB 105 5， PB AB PA10（5 5）（155 ） cm故答案为（155 ） 11解： AB 是 O 的直径， ADB90， ABD58， A32， BCD32，故答案为：3212解：依题意知母线长10，底面半径 r6，则由圆锥的侧面积公式得 S rl10660故答案为：6013解：根据图象可得出：当 y1 y2时， x 的取值范围是：1 x2故答案为：1 x214解：一元二次方程的一个根为 0，另一个根在 1 到 2，设两个根分别为 0 和 ，此一元二次方程可以是： x（ x ）0，二次函数关系式为： y x（ x ） x2 x故答案为： y x2 x15解：建立平面直角坐标
16、系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A， B 两点， OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2，0） ，到抛物线解析式得出： a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5 x2+2，当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y2 代入抛物线解析式得出：20.5 x2+
17、2，解得： x2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 4）米，故答案为：4 416解：连接 OA，五边形 ABCDE 是正五边形， AOB 72， AMN 是正三角形， AOM 120， BOM AOM AOB48，故答案为：48三解答题（共 11 小题，满分 88 分，每小题 8 分）17解：（1）方程配方得： x2+2x+12，即（ x +1） 22，开方得： x+1 ，解得： x11+ ， x21 ；（2）分解因式得：（ x3） （ x3+2）0，解得： x13， x2118解：（1）每分钟输入汉字个数 136 及以上的甲组人数有 3 人，乙组有 4人，乙组成绩更
18、好一些；（2）从中位数看，甲班每分钟输入 135 字以上的人数比乙班多；从方差看， S2 甲 S2 乙 ；甲班成绩波动小，比较稳定；19解：（1）共有 4 个球，标有 4 的有一个球，所以概率为 ；（2）共有 12 种情况，在直线 y x+1 上的情况数由 3 种，所以概率为 20解：（1）如图， A1B2C2为所作；（2）点 P 的坐标为（3，1） ，PA1 ，即 P 的半径为 故答案为（3，1） ， 21解：（1）由题意得 m23，解得 m1，故二次函数的解析式为 y x2+2x3；如图，（2）令 y0，即 x2+2x30，解得 x13， x21，则二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别
19、为（3，0） 、 （1，0） ，故二次函数图象向左平移 1 个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与 x 轴的另一个交点坐标为（4，0） 22 （1）证明： ABC 是等边三角形 ， B C60， BAD+ ADB120 ADE60， ADB+ EDC120， DAB EDC，又 B C60， ABD DCE；（2） ABD DCE， ， BD3， CE2， ；解得 AB923解：（1）函数 y 的自变量 x 的取值范围是：全体实数，故答案为：全体实数；（2）把 x4 代入 y 得， y ， m ，故答案为： ；（3）如图所示 ，（4）图象位于一二象限，当 x1 时，函数由值最大 4，当 x1
20、时， y随 x 的增大而增大，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小，图象与 x 轴没有交点故答案为：图象位于一二象限，当 x1 时，函数由值最大 4，当 x1时， y 随 x 的增大而增大，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小，图象与 x轴没有交点（5）由图象，得0 a4故答案为：0 a424解： CD EF AB，可以得到 CDF ABF， ABG EFG， ， ，又 CD EF， ， DF3 m， FG4 m， BF BD+DF BD+3， BG BD+DF+FG BD+7， ， BD9， BF9+312， ，解得 AB6答：路灯杆 AB 的高度是 6m25解：（1）依题意得：（1
21、0080 x） （100+10 x）2160，即 x210 x+160，解得： x12， x28，经检验： x12， x28，答：商店经营 该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元；（2）依题意得： y（10080 x） （100+10 x）10 x2+100x+200010（ x5） 2+2250，100，当 x5 时， y 取得最大值为 2250 元答： y10 x2+100x+2000，当 x5 时，商场获取最大利润为 2250 元26 （1）证明：连接 OE OE OB， OBE OEB， BE 平分 ABC， OBE EBC， EBC OEB， OE BC
22、， OEA C， ACB90， OEA90 AC 是 O 的切线；（2）解：连接 OE、 OF，过点 O 作 OH BF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形， OH CE， BF6， BH3，在 Rt BHO 中， OB5， OH 4， CE427解：（1） y ax22 amx+am2+2m5 a（ x m） 2+2m5，抛物线的顶点坐标为（ m，2 m5） 故答案为：（ m，2 m5） （2）过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示 AB x 轴，且 AB4，点 B 的坐标为（ m+2，4 a+2m5） ABC135，设 BD t，则 CD
23、 t，点 C 的坐标为（ m+2+t，4 a+2m5 t） 点 C 在抛物线 y a（ x m） 2+2m5 上，4 a+2m5 t a（2+ t） 2+2m5，整理，得： at2+（4 a+1） t0，解得： t10（舍去） ， t2 ， S ABC ABCD （3） ABC 的面积为 2， 2，解得： a ，抛物线的解析式为 y （ x m） 2+2m5分三种情况考虑：当 m2 m2，即 m2 时，有 （2 m2 m） 2+2m52，整理，得： m214 m+390，解得： m17 （舍去） ， m27+ （舍去） ；当 2m5 m2 m2，即 2 m5 时，有 2m52，解得： m ；当 m2 m5，即 m5 时，有 （2 m5 m） 2+2m52，整理，得： m220 m+600，解得： m3102 （舍去） ， m4 10+2 综上所述： m 的值为 或 10+2
