1、2017-2018 学年山东省菏泽市单县九年级（上）期末数学模拟试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）A6 B16 C18 D242函数 y=kx+1 与 y= 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A BC D3将抛物线 y= x26x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）Ay= （x 8） 2+5 By= （x4） 2+5C y= （x8） 2+3 Dy=
2、（x 4） 2+34用配方法解方程 x2 x1=0 时，应将其变形为（ ）A（x ） 2= B（x + ） 2=C（ x ） 2=0 D（x ） 2=5如图，点 A，B 在双曲线 y= （x 0）上，点 C 在双曲线 y= （x0）上，若ACy 轴，BC x 轴，且 AC=BC，则 AB 等于（ ）A B2 C4 D36如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，tanABD= ，则线段AB 的长为（ ）A B2 C5 D107如图，已知O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB ，COD，若AOB 与COD 互补，弦 CD=6，则弦 AB 的长为（
3、 ）A6 B8 C5 D58如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，设PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A BC D二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 10如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（1，0），（1，2），当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 11如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若 DEBC ，AD=4 ，BD=2，则
4、= 12如图，四边形 OABC 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B、 E 在反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象上，正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF=2AF，则 k 值为 13某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是 14如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3，0），对称轴为 x=1给出四个结论：b 24ac；b= 2a；a b+c=0；8a +c0其中正确结论是 三解答题（共
5、10 小题，满分 78 分）15（6 分）x 22x=016（6 分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率17（6 分）如图，已知一次函数 y1=k1x+b（k 10）与反比例函数 y2= （k 20）的图象交于 A（4，1），B （n， 2）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出 y1y 2 时 x 的取值范围18（6 分）设 x1、x 2 是方程 2x2+4x3=0 的两根，求（x 1x2） 2 的值19（7 分）如图，ABC 中，点 D 在边
6、AB 上，满足ACD= ABC，若AC= ，AD=1 ，求 DB 的长20（7 分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“ 献爱心”捐款活动第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？21（10 分）如图所示，某幼儿园为加强安全管理，决定将园内滑滑板的倾斜角由45降为 30，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D，B，C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方有 3 米长的空地就能
7、保证安全，已知原滑滑板的前方有 5 米长的空地，则这样改造是否可行？请说明理由（参考数据： 1.414， 1.732， 2.449，以上结果均保留到小数点后两位）22（10 分）某商品的进价为每件 50 元当售价为每件 70 元时，每星期可卖出 300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？23（10 分）如图，点 D 是AOB 的平分线 OC 上任意
8、一点，过 D 作 DEOB 于 E，以DE 为半径作 D，求证：OA 是D 的切线24（10 分）如图，抛物线 y=a（x1）（x 3）（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC（1）求线段 OC 的长度；（2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018 学年山东省菏泽市单县九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题
9、（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）A6 B16 C18 D24【分析】先由频率之和为 1 计算出白球的频率，再由数据总数频率=频数计算白球的个数，即可求出答案【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，摸到白球的频率为 115%45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是 4040%=16 个故选：B【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到
10、的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比2函数 y=kx+1 与 y= 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A BC D【分析】先利用一次函数的性质对 B、C 进行判断；然后利用反比例函数的性质对A、D 进行判断【解答】解：直线 y=kx+1 与 y 轴的交点坐标为（0 ，1），所以 B、C 选项错误；当 k0 时，k 0，反比例函数图象分布在第二、四象限，所以 A 选项错误，D 选项正确故选：D【点评】本题考查了反比例函数的图象：利用反比例函数解析式，运用反比例函数的性质对反比例函数图象的位置进行判断3将抛物线 y= x26x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）Ay=
11、（x 8） 2+5 By= （x4） 2+5C y= （x8） 2+3 Dy= （x 4） 2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案【解答】解：y= x26x+21= （x 212x）+21= （ x6） 236+21= （x6） 2+3，故 y= （x6） 2+3，向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为：y= （x 4） 2+3故选：D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键4用配方法解方程 x2 x1=0 时，应将其变形为（ ）A（x ） 2= B（x + ） 2=C（ x ） 2=0 D（x ） 2=【分析】本题要求用配方
12、法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式【解答】解：x 2 x1=0，x 2 x=1，x 2 x+ =1+ ，（x ） 2= 故选：D【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数5如图，点 A，B 在双曲线 y= （x 0）上，点 C 在双曲线 y= （x0）上，若ACy 轴，BC x 轴，且 AC=BC，则 AB 等于（ ）A B2 C4
13、 D3【分析】依据点 C 在双曲线 y= 上，AC y 轴，BCx 轴，可设 C（a ， ），则B（3a， ），A（a， ），依据 AC=BC，即可得到 =3aa，进而得出 a=1，依据C（1，1）， B（3，1）， A（1，3），即可得到 AC=BC=2，进而得到 RtABC 中，AB=2 【解答】解：点 C 在双曲线 y= 上，AC y 轴，BCx 轴，设 C（ a， ），则 B（3a， ），A（a， ），AC=BC， =3aa，解得 a=1，（负值已舍去）C （1，1），B（3，1）， A（1，3），AC=BC=2，RtABC 中，AB=2 ，故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数图象
14、上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x ， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k6如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，tanABD= ，则线段AB 的长为（ ）A B2 C5 D10【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，AO=CO，OB=OD，求出 OB，解直角三角形求出 AO，根据勾股定理求出 AB 即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB=90，BD=8，OB=4，tanABD= = ，AO=3，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB= = =5，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角
15、三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键7如图，已知O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB ，COD，若AOB 与COD 互补，弦 CD=6，则弦 AB 的长为（ ）A6 B8 C5 D5【分析】延长 AO 交O 于点 E，连接 BE，由AOB+BOE=AOB+COD 知BOE= COD ，据此可得 BE=CD=6，在 RtABE 中利用勾股定理求解可得【解答】解：如图，延长 AO 交O 于点 E，连接 BE，则AOB+BOE=180，又AOB+COD=180，BOE=COD ，BE=CD=6，AE 为O 的直径，ABE=90，AB= = =8，故选：B【点评】本题主要考查圆
16、心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理8如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，设PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A BC D【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当 P 在 AB 边上时，如图 1，设菱形的高为 h，y= APh，AP 随 x 的增大而增大，h 不变，y 随 x 的增大而增大，故选项 C 不正确；当 P 在
17、边 BC 上时，如图 2，y= ADh，AD 和 h 都不变，在这个过程中，y 不变，故选项 A 不正确；当 P 在边 CD 上时，如图 3，y= PDh，PD 随 x 的增大而减小， h 不变，y 随 x 的增大而减小，P 点从点 A 出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，P 在三条线段上运动的时间相同，故选项 D 不正确；故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出PAD 的面积的表达式是解题的关键二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为
18、1 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于 m 的不等式，解答即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，=b 24ac=0，即：2 24（m）=0，解得：m=1，故选答案为1【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况10如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（1，0），（1，2），当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 x 【分析】先把（1，0），（ 1， 2）代入二次函数 y=x2+bx+c 中，得到关于 b、c 的方程，
19、解出 b、c ，即可求解析式【解答】解：把（1，0），（ 1， 2）代入二次函数 y=x2+bx+c 中，得，解得，那么二次函数的解析式是 y=x2x2函数的对称轴是：x=因而当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是：x 故答案为：x 【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大11如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若 DEBC ，AD=4 ，BD=2，则= 【分析】由 DEBC 判定ADEABC，得出比例式，进一步求得答案即可【解答】解：DEBC，ADE ABC， = ，AD=4 ，DB=2， = ， = 故答案为
20、： 【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键12如图，四边形 OABC 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B、 E 在反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象上，正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF=2AF，则 k 值为 6 【分析】先由正方形 ADEF 的面积为 4，得出边长为2，BF=2AF=4，AB=AF+ BF=2+4=6再设 B 点坐标为（t ，6），则 E 点坐标（t 2，2 ），根据点 B、E 在反比例函数 y= 的图象上，利用根据反比例函数图象
21、上点的坐标特征得 k=6t=2（t2），即可求出 k=6【解答】解：正方形 ADEF 的面积为 4，正方形 ADEF 的边长为 2，BF=2AF=4， AB=AF+BF=2+4=6设 B 点坐标为（t，6），则 E 点坐标（t 2，2），点 B、E 在反比例函数 y= 的图象上，k=6t=2（t2），解得 t=1，k=6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k13某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题
22、意列出的方程是 100 （1+x） 2=160 【分析】设二，三月份每月平均增长率为 x，根据一月份生产机器 100 台，三月份生产机器 160 台，可列出方程【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为 x，100（1+x ） 2=160故答案为：100（1+x） 2=160【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程14如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3，0），对称轴为 x=1给出四个结论：b 24ac；b= 2a；a b+c=0；8a +c0其中正确结论是 【分析】由抛物线的开口方向判
23、断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：抛物线的开口方向向下，a 0 ；抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，即 b24ac，正确；由图象可知：对称轴 x= 1，b2a ，错误；对称轴为 x=1，由图象可知：当 x=1 时， y0，即 ab+c0，错误；由图象可知：对称轴 x= =1，b=2a，图象过点 A（3，0），9a3b+c=0，9a6a+c=0，3a+c=0 ，a 0 ，5a+3a+c0，8a+c0；正确故答案为【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是
24、掌握二次函数y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定三解答题（共 10 小题，满分 78 分）15（6 分）x 22x=0【分析】用提公因式法因式分解可以求出方程的根【解答】解：x（x2）=0x=0 或 x2=0，x 1=0，x 2=2【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用提公因式法因式分解可以求出方程的根16（6 分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率【分析】画树状图展示所有 9 种等可
25、能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为 5，所以两人之中至少有一人直行的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率17（6 分）如图，已知一次函数 y1=k1x+b（k 10）与反比例函数 y2= （k 20）的图象交于 A（4，1），B （n， 2）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出 y1y 2 时 x 的
26、取值范围【分析】（1）由点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 k2 的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点 B 的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，再由点 A、B 的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出 y1y 2 时 x 的取值范围【解答】解：（1）反比例函数 y2= （k 20）的图象过点 A（4，1），k 2=41=4，反比例函数的解析式为 y2= 点 B（n，2）在反比例函数 y2= 的图象上，n=4（2）=2，点 B 的坐标为（2，2）将 A（4，1 ）、 B（2 ，2 ）代入 y1=k1x
27、+b，解得： ，一次函数的解析式为 y= x1（2）观察函数图象，可知：当 x2 和 0x4 时，一次函数图象在反比例函数图象下方，y 1y 2 时 x 的取值范围为 x 2 或 0x 4【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点 B 的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式 y1y 2 的解集18（6 分）设 x1、x 2 是方程 2x2+4x3=0 的两根，求（x 1x2） 2 的值【分析】由韦达定理得 x1+x2=2、x 1x2= ，代入到（x 1x2） 2=（x 1+x2） 24
28、x1x2 计算可得【解答】解：根据韦达定理得 x1+x2=2、x 1x2= ，则（x 1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2=（ 2） 24（ ）=4+6=10【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 19（7 分）如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACD= ABC，若AC= ，AD=1 ，求 DB 的长【分析】由ACD= ABC 、A=A，即可得出 ABCACD，根据相似三角形的性质可得出 = ，代入 AC、AD 的值可求出 AB 的长，再根据 BD=
29、ABAD 即可求出结论【解答】解：ACD= ABC，A=A，ABCACD， = AC= ，AD=1， = ，AB=3，BD=ABAD=31=2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键20（7 分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“ 献爱心”捐款活动第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？【分析】（1）设捐款的增长率为 x，则第三天的捐款数量为 10000（1+x） 2 元
30、，根据第三天的捐款数量为 12100 元建立方程求出其解即可（2）根据（1）求出的增长率列式计算即可【解答】解：（1）捐款增长率为 x，根据题意得：10000（1+x） 2=12100，解得：x 1=0.1，x 2=2.1（舍去）则 x=0.1=10%答：捐款的增长率为 10%（2）根据题意得：12100（1+10% ）=13310（元），答：第四天该校能收到的捐款是 13310 元【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去21（10 分）如图所示，某幼儿园为加强安全管理，决定将园内滑滑板的倾斜角由45降为 30，已知原滑滑板
31、AB 的长为 4 米，点 D，B，C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方有 5 米长的空地，则这样改造是否可行？请说明理由（参考数据： 1.414， 1.732， 2.449，以上结果均保留到小数点后两位）【分析】（1）先在 RtABC 中利用 45的正切计算出 AC=2 ，再在 RtADC 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AD5.656 （m ），然后计算 ADAB 即可；（2）利用等腰直角三角形的性质得到 BC=AC=2 ，再在 RtADC 中利用 30 度的正切计算出 CD=2 ，则 BD
32、2.070 ，所以 52.070=2.9303，由于滑滑板的正前方有 3米长的空地就能保证安全，则可判定这样改造不可行【解答】解：（1）在 RtABC 中，tanABC= ，AC=4tan45=2 ，在 RtADC 中， D=30，AD=2AC=4 5.656（ m），ADAB=5.656 41.66（ m），改善后滑滑板会加长 1.66 米；（2）不可行，理由如下：ABC 为等腰直角三角形，BC=AC=2 ，在 RtADC 中， tanD= ，CD= = =2 ，BD=CDBC=2 2 2.07，而 52.07=2.9303，这样改造不可行【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们能利
33、用三角函数求出表示出线段的长度22（10 分）某商品的进价为每件 50 元当售价为每件 70 元时，每星期可卖出 300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得 x的取值范围（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值【解答】解：（1）根据题意得 y=（70x50）（300+
34、20x）= 20x2+100x+6000，70x50 0 ，且 x0，0x20；（2）y= 20x2+100x+6000=20（x ） 2+6125，当 x= 时，y 取得最大值，最大值为 6125，答：当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式23（10 分）如图，点 D 是AOB 的平分线 OC 上任意一点，过 D 作 DEOB 于 E，以DE 为半径作 D，求证：OA 是D 的切线【分析】首先过点 D 作 DFOA 于 F，由点 D 是AOB 的平分线 OC 上任意一点，DEO
35、B，根据角平分线的性质，即可得 DF=DE，则可得 D 到直线 OA 的距离等于D 的半径 DE，则可证得D 与 OA 相切【解答】证明：过点 D 作 DFOA 于 F，点 D 是AOB 的平分线 OC 上任意一点，DE OB，DF=DE，即 D 到直线 OA 的距离等于D 的半径 DE，D 与 OA 相切【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握圆的切线的判定方法24（10 分）如图，抛物线 y=a（x1）（x 3）（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC（1）求线段 OC 的长度；（2）
36、设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令 y=0，求出 x 的值，确定出 A 与 B 坐标，根据已知相似三角形得比例，求出 OC 的长即可；（2）根据 C 为 BM 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出 C 的坐标，利用待定系数法确定出直线 BC 解析式，把 C 坐标代入抛物线求出 a 的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过 P 作 x 轴的
37、垂线，交 BM 于点 Q，设出 P 与 Q 的横坐标为 x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出 PQ，四边形 ACPB 面积最大即为三角形BCP 面积最大，三角形 BCP 面积等于 PQ 与 B 和 C 横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时 P 的坐标即可【解答】解：（1）由题可知当 y=0 时，a（x 1）（x3）=0，解得：x 1=1， x2=3，即 A（1，0），B（3，0），OA=1，OB=3OCA OBC ，OC：OB=OA ：OC，OC 2=OAOB=3，则 OC= ；（2）C 是 BM 的中点，即 OC 为斜边 BM 的中线，OC=BC
38、，点 C 的横坐标为 ，又 OC= ，点 C 在 x 轴下方，C （ ， ），设直线 BM 的解析式为 y=kx+b，把点 B（3，0），C （ ， ）代入得： ，解得：b= ，k= ，y= x ，又点 C（ ， ）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a= ，抛物线解析式为 y= x2 x+2 ；（3）点 P 存在，设点 P 坐标为（ x， x2 x+2 ），过点 P 作 PQx 轴交直线 BM 于点 Q，则 Q（ x， x ），PQ= x （ x2 x+2 ）= x2+3 x3 ，当BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大，SBCP = PQ（ 3x）+ PQ（x ）= PQ= x2+ x ，当 x= = 时，S BCP 有最大值，四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为（ ，）【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键
