1、浙江省杭州市余杭区 2018-2019 学年九年级（上）期末数学模拟试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）12cos60=（ ）A1 B C D2下列事件中，属于必然事件的是（ ）A三角形的外心到三边的距离相等B某射击运动员射击一次，命中靶心C任意画一个三角形，其内角和是 180D抛一枚硬币，落地后正面朝上3抛物线 y=3（x2 ） 2+5 的顶点坐标是（ ）A （ 2，5） B （2， 5） C （2，5） D （2，5）4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若ABD=55，则BCD 的度数为（ ）A25 B30 C35 D405点 C 为线段 AB 的黄金
2、分割点，且 ACBC，下列说法正确的有（ ）AC= AB，AC= AB，AB ：AC=AC ：BC，AC0.618ABA1 个 B2 个 C3 个 D4 个6已知 A（1，y 1） 、B（ 2 ，y 2） 、C（ 3，y 3）在函数 y=5（x+1） 2+3 的图象上，则 y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 2y 3y 1 Dy 3y 2y 17如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A和 B和 C和 D和8如图，在半径为 4 的O 中，弦 ABOC，BOC=30 ，则 AB 的长为（ ）A2 B C4 D9下列说法，正
3、确的是（ ）A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点C三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形D直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是 13510函数 y=ax2+2ax+m（a0）的图象过点（2，0） ，则使函数值 y0 成立的 x的取值范围是（ ）Ax 4 或 x2 B4 x2 Cx 0 或 x2 D0x 2二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11已知 a、b、c 满足 ，a、b 、c 都不为 0，则 = 12在 RtABC 中，C=90，sinA= ，那么 cosA= 13一个不透明的盒子中装有 10 个黑球
4、和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个14如图，AB 是O 的弦，OCAB ，交O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若ABC=20，则 AOB 的度数是 15二次函数 y=x23x+2 的图象与 x 轴的交点坐标是 16如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，E 为 BC 边上一点，且 BE=2，F 为 AB上一点，FGAE 分别交 AE、CD 于点 P、G，以 PC 为直径的圆交线段 FG 于点 Q，若 PF=QG，则 BF= 三解答
5、题（共 7 小题，满分 66 分）17 （6 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指 扇形中的数字是奇数的概率为 ；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）18 （8 分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 AC 的高为 11 米，灯杆AB 与灯柱 AC 的夹角 A=120，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE
6、长为 18 米，从 D，E 两处测得路灯 B 的仰角分别为 和 ，且tan=6，tan= ，求灯杆 AB 的长度19 （8 分）如图，在O 中，弦 AB 所对的劣弧是圆周长的 ，其中圆的半径为 4cm，求：（1）求 AB 的长（2）求阴影部分的面积20 （10 分）如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点C 的坐标为（6，0 ） 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ=CP，连接 PQ，设 CP=m，CP
7、Q 的面积为 S求 S 关于 m 的函数表达式；当 S 最大时，在抛物线 y= x2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由21 （10 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AE=4，AB=6，AD ：AC=2：3，ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F（1）请你直接写出图中所有的相似三 角形；（2）求 AG 与 GF 的比22 （12 分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x0 时，它们对应的函数值互为相反数；当 x0 时，它们对应的
8、函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数 y=x1，它的相关函数为y= 已知二次函数 y= ，（1）直接写出已知二次函数的相关函数为 y= 已知点 A（5，8）在一次函数 y=ax3 的相关函数的图象上，求 a 的值；（2）当点 B（m， ）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求 m 的值；（3）当3x7 时，求函数 y=x2+6x+ 的相关函数的最大值和最小值23 （12 分）已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）如图 1，求证：KE=GE；（2）如图
9、 2，连接 CABG，若FGB= ACH ，求证： CAFE ；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若sinE= ，A K= ，求 CN 的长参考答案一选择题1解：2cos60=2 =1故选：A2解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是 180，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：C3解：抛物线 y=3（x2） 2+5 的顶点
10、坐标为（2，5） ，故选：C4解：连接 AD，AB 是O 的直径，ADB=90 ABD=55，DAB=90 55=35，BCD=DAB=35故选：C5解：点 C 数线段 AB 的黄金分割点，AC= AB，正确；AC= AB，错误；BC： AC=AC：AB，正确；AC0.618AB，正确故选：C6解：抛物线 y=5（x+1） 2+3 的开口向下，对称轴为直线 x=1，而 B（2，y 2）离直线 x=1 的距离最远，A （1，y 1）点离直线 x=1 最近，y 2y 3y 1故选：C7解：和相似，由勾股定理求出的三角形的各边长分别为 2、 、 ；由勾股定理求出的各边长分别为 2 、2、2 ， =
11、，= ，即 = = ，两三角形的三边对应边成比例，相似故选：C8解：延长 BO 交O 于点 D，连接 ADBD 是直径，BAD=90 ，BD=42=8ABOC ，BOC=30 ，ABD=30在 RtADB 中，ABD=30 ，AD= BD=4，AB=4故选：D9解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误；D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是 135或 45，错误；故选：B10解：抛物线 y=ax2+2ax+m 的对称轴为直线 x= =1，而抛物
12、线与 x 轴的一个交点坐标为（ 2，0 ） ，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 4，0） ，a 0 ，抛物线开口向下，当 x4 或 x2 时，y0故选：A二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11解：设 =k，可得：a=3k，b=4k，c=6k，把 a=3k，b=4k，c=6k 代入 = ，故答案为： ；12解：在 RtABC 中，C=90 ，sinA= ，A=30，cosA= 故答案是： 13解：共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，白球所占的比例为 =0.6，设盒子中共有白球 x 个，则 =0.6，解得：x=15 ，故答案为：1514解：OCAB ， = ，
13、AOC=BOC，AOC=2ABC=40，AOB=2AOC=80 ，故答案为 8015解：当 y=0 时，x 23x+2=0，解得 x1=1，x 2=2，故二次函数 y=x23x+2 的图象与 x 轴的交点坐标是（1，0） ， （2，0） 故答案为：（1，0） ， （2，0） 16解：连接 AC 交 FG 于 O，连接 PC、CQ ，延长 AE 交 PC 为直径的圆于 H，连接 CH四边形 ABCD 是矩形，ABCD，AFP=CGQ ，PC 是直径，CQP= H=90，CQFG，AE FG，APF=CQG=90 ，在APF 和CQG 中，AOFCQG，AP=CQ，在AOP 和COQ 中，AOP
14、COQ，OA=OC，在 RtABE 中， AB=8，BE=2 ，AE= =2 ，AEBCEH， = = ，CH= ，EH= ，AH= ，OA=OC，OP CH，AP=PH= ，APFABE， = ，AF= ，BF=ABAF=8 = ，故答案为三解答题（共 7 小题，满分 66 分）17解：（1）在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ，故答案为： ；（2）列表如下：1 2 31 （1，1） （2，1） （3，1）2 （1，2） （2，2） （3，2）3 （1，3） （2，3） （3，3）由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，
15、其中这两个数字之和是 3 的倍数的有3 种，所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 = 18解：过点 B 作 BFCE，交 CE 于点 F，过点 A 作 AGAF，交 BF 于点 G，则FG=AC=11由题意得BDE=，tan= 设 BF=3x，则 EF=4x在 RtBDF 中，tanBDF= ，DF= = = x，DE=18， x+4x=18x=4BF=12，BG=BF GF=1211=1，BAC=120 ，BAG= BACCAG=12090=30AB=2BG=2，答：灯杆 AB 的长度为 2 米19解：（1）作 OCAB 于 C，弦 AB 所对的劣弧是圆周长的 ，AOB=120，AOC=
16、60，AC=OAsinAOC=2 ，OC=2 ，OCAB ，AB=2AC=4 ；（2）阴影部分的面积= 4 2= 4 20解 ：（1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得，解得： ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+8；（2）OA=8，OC=6，AC= =10，过点 Q 作 QEBC 与 E 点，则 sinACB= = = ， = ，QE= （10m） ， S= CPQE= m （10m ）= m2+3m；S= CPQE= m （10 m）= m2+3m= （m 5） 2+ ，当 m=5 时， S 取最大值；在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形，抛物线的解析式为 y= x2
17、+ x+8 的对称轴为 x= ，D 的坐标为（3 ，8） ， Q（ 3，4） ，当FDQ=90时，F 1（ ，8） ，当FQD=9 0时，则 F2 （ ，4） ，当DFQ=90时，设 F（ ，n ） ，则 FD2+FQ2=DQ2，即 +（8 n） 2+ +（n 4） 2=16，解得：n=6 ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） ，满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为F1（ ， 8） ，F 2（ ，4） ，F 3（ ，6+ ） ，F 4（ ，6 ） 21解：（1）ADGACF，AGEAFB ，ADEACB；（2） = = ， = ， = ，又DAE= CAB ，ADE ACB，ADG=
18、C，AF 为角平分线，DAG=FAEADG ACF， = = ， =222解：（1）二次函数 y= 的相关函数为 y= 点 A（5 ，8）在一次函数 y=ax3 的相关函数的图象上，（5）a +3=8，a=1故答案为：（2）当 m0 时，有 m26m = ，解得：m 1=3 ，m 2=3+ （舍去） ；当 m0 时，有m 2+6m+ = ，解得：m 3=32 ，m 4=3+2 综上所述：m 的值为 3 、32 或 3+2 （3）当3x0 时，y=x 26x =（x3） 2 ，抛物线的对称轴为直线 x=3，在 3x 0 上，y 随 x 的增大而减小，当 x=3 时， y 取最大值，最大值为 ；当
19、 0x7 时，y=x 2+6x+ =（x 3） 2+ ，抛物线的对称轴为直线 x=3，当 x=3 时，y 取最大值，最大值为 ，当 x=7 时， y 取最小值，最小值为 综上所述：当3x7 时，所求函数的相关函数的最大值为 ，最小值为 23 （1）证明：连接 OGEF 切 O 于 G，OG EF，AGO+AGE=90，CDA B 于 H，AHD=90 ，OAG= AKH=90，OA=OG，AGO= OAG，AGE=AKH，EKG=AKH，EKG=AGE，KE=GE（2）设FGB=，AB 是直径，AGB=90，AGE=EKG=90 ，E=180AGE EKG=2 ，FGB= ACH，ACH=2，
20、ACH=E，CAFE（3）作 NPAC 于 PACH=E，sin E=sin ACH= = ，设 AH=3a，AC=5a，则 CH= =4a，tanCAH= = ，CAFE，CAK=AGE，AGE=AKH，CAK=AKH，AC=CK=5a， HK=CKCH=4a，tan AKH= =3，AK= = a，AK= ， a= ，a=1AC=5，BHD=AGB=90，BHD+AGB=180，在四边形 BGKH 中，BHD+HKG+AGB+ABG=360 ，ABG+HKG=180，AKH +HKG=180 ，AKH=ABG，ACN=ABG ，AKH=ACN，tanAKH=tan ACN=3 ，NPAC 于 P，APN= CPN=90，在 RtAPN 中， tanCAH= = ，设 PN=12b，则 AP=9b，在 RtCPN 中，tanACN= =3，CP=4b，AC=AP+CP=13b，AC=5，13b=5，b= ，CN= =4 b=
