1、计算下列各式，结果为负数的是（ ） A （7）（8） B （7）（8） C （7）（8） D （7）+（8） 2 （3 分）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为11034 米，数据11034 用科学记数法表示为（ ） A1.1034104 B1.10344 C1.1034104 D1.1034105 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A7 B7 C1 D 4 （3 分）如图，测得一商场自动扶梯的长为 l，自动扶梯与地面所成的角为 ，则该自动 扶梯到达的高度 h 为（ ） Alsin B Clcos D 5 （3 分）某汽车队运送一批救灾物资，若每辆车装 4 吨，还剩下 8 吨未装
2、；若每辆车装 4.5 吨，恰好装完设这个车队有 x 辆车，则（ ） A4（x+8）4.5x B4x+84.5x C4.5（x8）4x D4x+4.5x8 6 （3 分）一次中学生田径运动会上，21 名参加男子跳高项目的运动员成绩統计如下： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 8 6 1 其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（ ） 第 2 页（共 26 页） A平均数 B中位数 C众数 D方差 7 （3 分）如图，ABCDMN，点 M，N 分别在线段 AD，BC 上，AC 与 MN 交于点 E， 则（ ） A B C D 8 （3 分
3、）如图，ABCD，点 E 是直线 AB 上的点，过点 E 的直线 l 交直线 CD 于点 F，EG 平分BEF 交 CD 于点 G在直线 l 绕点 E 旋转的过程中，图中1，2 的度数可以分 别是（ ） A30，110 B56，70 C70，40 D100，40 9 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE 的垂直平分线交 CD，AB 与 点 F，G若 BG2BE，则 DF：CF 的值为（ ） A B C D 10 （3 分）已知二次函数 yax2+2ax+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点 M（x1，1） ， N（x2，1） ，若 MN 的长不小于 2，则
4、a 的取值范围是（ ） Aa B0a Ca0 Da 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 16 分分. 第 3 页（共 26 页） 11 （4 分）因式分解：x24 12 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是ABC 的中线，若DCB40， 则A 的度数为 13 （4 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 14 （4 分）如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得AEB120，圆 弧的半径是 2 千米，则该段圆弧形弯道的长为 千米（结果保留 ） 15 （4 分）某函数满足当自变量 x1 时，
5、函数的值 y2，且函数 y 的值始终随自变量 x 的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式 16 （4 分）如图，在等边三角形 ABC 的 AC，BC 边上各取一点 P，Q，使 APCQ，AQ， BP 相交于点 O若 BO6，PO2，则 AP 的 ，AO 的长为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 7 小题，共计小题，共计 56 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （6 分）计算： （1） （a3） （a+1）（a3）2； （2） 18 （8 分）根据N 家学生体质健康标准规定：九年级男生坐位体前屈达到 17.8 厘米及 以上为优
6、秀；达到 13.8 厘米至 17.7 厘米为良好；达到0.2 厘米至 13.7 厘米为及格；达 到0.3 厘米及以下为不及格，某校为了了解九年级男生的身体柔韧性情况，从该校九年 第 4 页（共 26 页） 级男生中随机抽取了 20%的学生进行坐位体前屈测试，并把测试结果绘制成如图所示的 统计表和扇形统计图（部分信息不完整） ，请根据所给信息解答下列问题 某校九年级若干男生坐位体前屈成绩统计 成绩（厘米） 等级 人数 17.8 优秀 a 13.817.7 良好 b 0.213.7 及格 15 0.3 不及格 c （1）求参加本次坐位体前屈测试的人数； （2）求 a，b，c 的值； （3）试估计该
7、年级男生中坐位体前屈成绩不低于 13.8 厘米的人数 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABACBC，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧， 与 BC 边交于点 D，连接 AD 过点 D 作 DEAD，交 AC 于点 E （1）若B50，C28，求AED 度数； （2）若点 F 是 BD 的中点，连接 AF，求证：BAFEDC 20 （10 分）某游泳池毎次换水前后水的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时 300 立方 米的速度放水时，经 3 小时能将池内的水放完设放水的速度为 x 立方米/时，将池内的 水放完需 y 小时已知该游泳池毎小时的最大放水速度为 350 立方米 （1）求
8、y 关于 x 的函数表达式 第 5 页（共 26 页） （2） 若该游泳池将放水速度控制在每小时 200 立方米至 250 立方米 （含 200 立方米和 250 立方米） ，求放水时间 y 的范围 （3）该游泳池能否在 2.5 小时内将池内的水放完？请说明理由 21 （10 分）已知：O 的两条弦 AB，CD 相交于点 M，且 ABCD （1）如图 1，连接 AD求证：AMDM （2）如图 2，若 ABCD，在弧 BD 上取一点 E，使弧 BE弧 BC，AE 交 CD 于点 F， 连 AD、DE 判断E 与DFE 是否相等，并说明理由 若 DE7，AM+MF17，求ADF 的面积 22 （1
9、2 分）设二次函数 y（ax1） （xa） ，其中 a 是常数，且 a0 （1）当 a2 时，试判断点（，5）是否在该函数图象上 （2）若函数的图象经过点（1，4） ，求该函数的表达式 （3）当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 23 （12 分）如图 1，折叠矩形纸片 ABCD，具体操作：点 E 为 AD 边上一点（不与点 A， D 重合） ， 把ABE 沿 BE 所在的直线折叠， A 点的对称点为 F 点； 过点 E 对折DEF， 折痕 EG 所在的直线交 DC 于点 G，D 点的对称点为 H 点 （1）求证：ABEDEG （2）若 AB3，BC5， 点 E 在移动
10、的过程中，求 DG 的最大值； 如图 2，若点 C 恰在直线 EF 上，连接 DH，求线段 DH 的长 第 6 页（共 26 页） 第 7 页（共 26 页） 2020 年浙江省杭州市余杭区中考数学一模试卷年浙江省杭州市余杭区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （3 分）计算下列各式，结果为负数的是（ ） A （7）（8） B （7）（8） C （7）（8） D （7
11、）+（8） 【分析】根据有理数的加减乘除法运算法则进行计算即可求解 【解答】解：A、 （7）（8），不符合题意； B、 （7）（8）56，不符合题意； C、 （7）（8）1，不符合题意； D、 （7）+（8）15，符合题意 故选：D 【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握有理数的加减乘除法运算的计算法 则 2 （3 分）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为11034 米，数据11034 用科学记数法表示为（ ） A1.1034104 B1.10344 C1.1034104 D1.1034105 【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a10n，其中 1a10，n
12、为正整数，进而得出答案 【解答】解：将11034 用科学记数法表示为：1.1034104 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A7 B7 C1 D 【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （A）原式|7|7，故 A 错误 第 8 页（共 26 页） （B）原式|7|7，故 B 错误 （C）原式，故 C 错误 （D）原式，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法
13、则，本题属 于基础题型 4 （3 分）如图，测得一商场自动扶梯的长为 l，自动扶梯与地面所成的角为 ，则该自动 扶梯到达的高度 h 为（ ） Alsin B Clcos D 【分析】利用三角函数的定义即可求解 【解答】解：sin， hlsin， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键 5 （3 分）某汽车队运送一批救灾物资，若每辆车装 4 吨，还剩下 8 吨未装；若每辆车装 4.5 吨，恰好装完设这个车队有 x 辆车，则（ ） A4（x+8）4.5x B4x+84.5x C4.5（x8）4x D4x+4.5x8 【分析】根据题意可得救灾物资总量有（4x+8）吨，或
14、4.5x 吨，进而可得方程 【解答】解：设这个车队有 x 辆车，由题意得： 4x+84.5x， 故选：B 第 9 页（共 26 页） 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出 题目中的等量关系，然后列出方程 6 （3 分）一次中学生田径运动会上，21 名参加男子跳高项目的运动员成绩統计如下： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 8 6 1 其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】先根据数据的总个数，结合表格求出 1.50m 和 1.65m 的人数和，
15、再利用众数的 概念可得答案 【解答】解：一共有 21 个数据， 1.50m 和 1.65m 的人数和为 21（8+6+1）68， 这组数据的众数为 1.55m， 故选：C 【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数的概念 7 （3 分）如图，ABCDMN，点 M，N 分别在线段 AD，BC 上，AC 与 MN 交于点 E， 则（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用 MECD 得到，则利用比例的性 质可判断 D 选项正确 【解答】解：MECD， ， 故选：D 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 第 10 页（共 26
16、 页） 比例 8 （3 分）如图，ABCD，点 E 是直线 AB 上的点，过点 E 的直线 l 交直线 CD 于点 F，EG 平分BEF 交 CD 于点 G在直线 l 绕点 E 旋转的过程中，图中1，2 的度数可以分 别是（ ） A30，110 B56，70 C70，40 D100，40 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得BEG，根据角平分线的定义得到BEF， 根据邻补角互补求出2 即可求解 【解答】解：A、ABCD， BEG130， EG 平分BEF， BEF2BEG60 2180BEF120，不符合题意； B、ABCD， BEG156， EG 平分BEF， BEF2BEG112 218
17、0BEF68，不符合题意； C、ABCD， BEG170， EG 平分BEF， BEF2BEG140 2180BEF40，符合题意； D、ABCD， BEG1100， 第 11 页（共 26 页） EG 平分BEF， BEF2BEG200 2360BEF160，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的性质，熟练掌 握性质并准确识图是解题的关键 9 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE 的垂直平分线交 CD，AB 与 点 F，G若 BG2BE，则 DF：CF 的值为（ ） A B C D 【分析】连接 GE，延长 GF
18、 交 AD 的延长线于 H 点，由于 BG2BE，设 BEx，BG 2x，根据锐角三角函数的定义以及正方形的性质即可求出答案 【解答】解：连接 GE，延长 GF 交 AD 的延长线于 H 点， BG2BE，设 BEx，BG2x， 则：； 又FG 垂直平分 AE， 则 AGGE， 故正方形的边长； 在 RtABE 中， ； HBAE， ，则， ， ， 第 12 页（共 26 页） ， ， 故； 故选：A 【点评】考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用中垂线的性质，勾股定理以及解直 角三角形，本题属于中等题型 10 （3 分）已知二次函数 yax2+2ax+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点
19、 M（x1，1） ， N（x2，1） ，若 MN 的长不小于 2，则 a 的取值范围是（ ） Aa B0a Ca0 Da 【分析】由于抛物线所经过的 M、N 两点的纵坐标为1，说明抛物线与直线 y1 有 两个交点，则 x1，x2是方程 ax2+2ax+3a21 有两个不相等的根，由根与系数的关系 求得|x1x2|便为 MN 的长度，再根据 MN 的长不小于 2，列出 a 的不等式求得 a 的取值 范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得 a 的取值范围，便可得出最后结果 【解答】解：令 y1，得 yax2+2ax+3a21， 化简得，ax2+2ax+3a10， 二次函数 yax2+2ax
20、+3a2（a 是常数，且 a0）的图象过点 M（x1，1） ，N（x2， 1） ， 4a212a2+4a8a2+4a0， 0a， ax2+2ax+3a10， x1+x22， ， 即 MN， 第 13 页（共 26 页） MN 的长不小于 2， 2， a， 0a， 0a， 故选：B 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关 键是用根与系数的关系求出|x1x2|的值 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 16 分分. 11 （4 分）因式分解：x24 （x+2） （x2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式
21、得出答案 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键 12 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是ABC 的中线，若DCB40， 则A 的度数为 50 【分析】根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：在ABC 中，ACB90，CD 是ABC 的中线， BDCDAB， BDCB40， A90B50， 故答案为：50 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直 第 14 页（共 26 页） 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键
22、 13 （4 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果 数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果 求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 14 （4 分）如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得AEB120，圆 弧的半径
23、是 2 千米，则该段圆弧形弯道的长为 千米（结果保留 ） 【分析】如图，设圆心为 O，连接 OA，OB，根据切线的性质和弧长的计算公式即可得 到结论 【解答】解：如图，设圆心为 O，连接 OA，OB， EA，EB 是切线， EAOEBO90， AOB18012060， 由题意：， 答：弯道圆弧的半径为 千米 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查了切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 15 （4 分）某函数满足当自变量 x1 时，函数的值 y2，且函数 y 的值始终随自变量 x 的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式 y2x 【分析】根据题意
24、，可以写出一个满足条件的函数解析式，本题得以解决 【解答】解：y2x，当 x1 时，y2 且函数 y 的值始终随自变量 x 的增大而减小， 故答案为：y2x 【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意， 写出一个符合题意的函数解析式，注意本题答案不唯一 16 （4 分）如图，在等边三角形 ABC 的 AC，BC 边上各取一点 P，Q，使 APCQ，AQ， BP 相交于点 O若 BO6，PO2，则 AP 的 4 ，AO 的长为 1+ 【分析】证明ABPACQ （SAS） ，得出ABPCAQ，BAQ+CAQ60， 证明APOBPA，得出，则 AP2OPBP，可求出
25、AP，设 OAx，则 AB2x，在 RtABE 中，由 AE2+BE2AB2，得出 x 的值即可得解 【解答】解：ABC 是等边三角形 BAPACQABQ，ABACBC 在ABP 和ACQ 中 ， ABPACQ （SAS） ， 第 16 页（共 26 页） ABPCAQ，BAQ+CAQ60， APOBPA， APOBPA， ， AP2OPBP， BO6，PO2， AP22816， AP4， BAC60， BAQ+CAQ60， BAQ+ABP60， BOQBAQ+ABP， BOQ60， 过点 B 作 BEOQ 于点 E， OBE30， OB6， OE3，BE3， 设 OAx， ， AB2x， 在
26、 RtABE 中，AE2+BE2AB2， ， 解得：x1+（x1舍去） ， 第 17 页（共 26 页） AO1+ 故答案为：4，1+ 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解 题的关键 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 7 小题，共计小题，共计 56 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （6 分）计算： （1） （a3） （a+1）（a3）2； （2） 【分析】 （1）根据整式的运算法则即可求出答案 （2）根据分式的
27、运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式a22a3a2+6a94a12 （2）原式 【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用整式与分式的运算法则，本题属 于基础题型 18 （8 分）根据N 家学生体质健康标准规定：九年级男生坐位体前屈达到 17.8 厘米及 以上为优秀；达到 13.8 厘米至 17.7 厘米为良好；达到0.2 厘米至 13.7 厘米为及格；达 到0.3 厘米及以下为不及格，某校为了了解九年级男生的身体柔韧性情况，从该校九年 级男生中随机抽取了 20%的学生进行坐位体前屈测试，并把测试结果绘制成如图所示的 统计表和扇形统计图（部分信息不完整） ，请根据所给信息解答下
28、列问题 某校九年级若干男生坐位体前屈成绩统计 成绩（厘米） 等级 人数 17.8 优秀 a 13.817.7 良好 b 0.213.7 及格 15 0.3 不及格 c （1）求参加本次坐位体前屈测试的人数； （2）求 a，b，c 的值； 第 18 页（共 26 页） （3）试估计该年级男生中坐位体前屈成绩不低于 13.8 厘米的人数 【分析】 （1）由及格人数及其所占百分比可得总人数； （2）先根据各等级人数总人数对应等级百分比求出 b、c 的值，再利用各等级人数 之和等于总人数求出 a 的值； （3）用优秀和良好的人数除以 20%即可得 【解答】解： （1）参加本次坐位体前屈测试的人数：15
29、25%60（人） 即参加本次坐位体前屈测试的人数是 60 人 （2）b6045%27，c6010%6，a602715612； （3） （12+27）20%195， 估计该年级男生中坐位体前屈成绩不低于 13.8 厘米的人数约为 195 人 【点评】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数 用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数通过扇形统计图可以很清楚地 表示出各部分数量同总数之间的关系用整个圆的面积表示总数（单位 1） ，用圆的扇形 面积表示各部分占总数的百分数 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABACBC，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧
30、， 与 BC 边交于点 D，连接 AD 过点 D 作 DEAD，交 AC 于点 E （1）若B50，C28，求AED 度数； （2）若点 F 是 BD 的中点，连接 AF，求证：BAFEDC 第 19 页（共 26 页） 【分析】 （1） 由题意可得 ABAD， 求得ADBB50， 根据平角的定义得到EDC 180ADBADE180509040，根据三角形外角的性质即可得 到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到 AFBD，BAFDAF，由三角形的内角和得到 DAF+ADB90，由平角的定义得到ADF+EDC90，于是得到结论 【解答】解： （1）由题意可得 ABAD， ADBB50， DEA
31、D， ADE90， EDC180ADBADE180509040， C28， AEDEDC+C40+2868； （2）ABAD，点 F 是 BD 的中点， AFBD，BAFDAF， DAF+ADB90 DEAD， ADE90， ADF+EDC90， DAFEDC， BAFEDC 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正 确的识别图形是解题的关键 20 （10 分）某游泳池毎次换水前后水的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时 300 立方 米的速度放水时，经 3 小时能将池内的水放完设放水的速度为 x 立方米/时，将池内的 水放完需 y 小时已知该游泳池毎小时的
32、最大放水速度为 350 立方米 （1）求 y 关于 x 的函数表达式 第 20 页（共 26 页） （2） 若该游泳池将放水速度控制在每小时 200 立方米至 250 立方米 （含 200 立方米和 250 立方米） ，求放水时间 y 的范围 （3）该游泳池能否在 2.5 小时内将池内的水放完？请说明理由 【分析】 （1）根据放水速度放水时间水的体积（定值）即可列出函数关系式，由函 数解析式可得反比例函数； （2）根据 200x250 得到y即可； （3）根据 y2.5 确定 x 的取值，与 350 比较即可 【解答】解： （1）由题意得 xy3003900， y（x350） ； （2）由题意
33、可知 200x250， y， 3.6y4.5； （3）该游泳池不能在 2.5 小时内将池内的水放完， y2.5， 2.5， x350， 该游泳池不能在 2.5 小时内将池内的水放完 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是结合实际问题确定两个变量 之间的关系 21 （10 分）已知：O 的两条弦 AB，CD 相交于点 M，且 ABCD （1）如图 1，连接 AD求证：AMDM （2）如图 2，若 ABCD，在弧 BD 上取一点 E，使弧 BE弧 BC，AE 交 CD 于点 F， 连 AD、DE 判断E 与DFE 是否相等，并说明理由 若 DE7，AM+MF17，求ADF 的面积 第
34、 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）如图 1，利用 ABCD 得到，则，根据圆周角定理得到A D，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）连接 AC，如图，由弧 BE弧 BC 得到CABEAB，再根据等腰三角形的判 定方法得到 ACAF， 则ACFAFC， 然后圆周角定理、 对顶角和等量代换得到DFE E； 由DFEE 得 DFDE7，再利用 AMDM 得到 AMMF+7，加上 AM+MF 17，于是可求出 AM，然后根据三角形面积公式求解 【解答】 （1）证明：如图 1， ABCD， ， 即+， ， AD， AMDM； （2）E 与DFE 相等 理由如下： 连接 AC，如图， 弧
35、BE弧 BC， CABEAB， ABCD， ACAF， ACFAFC， ACFE，AFCDFE， 第 22 页（共 26 页） DFEE； DFEE， DFDE7， AMDM， AMMF+7， AM+MF17， MF+7+MF17，解得 MF5， AM12， SADF71242 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系 22 （12 分）设二次函数 y（ax1） （xa） ，其中 a 是常数，且 a0 （1）当 a2 时，试判断点（，5）是否在该函数图象上 （2）若函数的图象经过点（1，4）
36、 ，求该函数的表达式 （3）当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a 的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可； （2）代入已知点坐标求得 a 便可得解析式； （3）分 a0 和 a0 两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出 a 的不等式便可 求得结果 【解答】解： （1）a2， y（ax1） （xa）（2x1） （x2） ， 当 x0.5 时，y55， 点（，5）不在该函数图象上； 第 23 页（共 26 页） （2）函数的图象经过点（1，4） ， （a1） （1a）4， 解得，a1 或 3， 该函数的表达式为：y（3x1） （x3）或 y
37、（x1） （x+1） ； （3）二次函数 y（ax1） （xa）的图象与 x 轴交于点（，0） ， （a，0） ， 函数图象的对称轴为直线 x， 当 a0 时，函数图象开口向上， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， +1， a， 0a； 当 a0 时，函数图象开口向下， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， 1， a， a0； 综上，a0 或 0a 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点 的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出 a 的不等式 23 （12 分）如图 1，折叠矩形纸片 ABCD
38、，具体操作：点 E 为 AD 边上一点（不与点 A， D 重合） ， 把ABE 沿 BE 所在的直线折叠， A 点的对称点为 F 点； 过点 E 对折DEF， 折痕 EG 所在的直线交 DC 于点 G，D 点的对称点为 H 点 （1）求证：ABEDEG 第 24 页（共 26 页） （2）若 AB3，BC5， 点 E 在移动的过程中，求 DG 的最大值； 如图 2，若点 C 恰在直线 EF 上，连接 DH，求线段 DH 的长 【分析】 （1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可 （2）设 AEx，证明ABEDEG，推出，可得 DG（x ）2+，利用二次函数的性质求解即可 如图 2 中，连接 D
39、H解直角三角形求出 AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知 EG 垂直平分线段 DH，利用面积法可得 DH2 【解答】解： （1）如图 1 中， 由折叠可知AEBFEB，DEGHEG， AEB+FEB+DEG+HEG180， AEB+DEG90， 四边形 ABCD 是矩形， ADAEB+ABE90， ABEDEG， ABEDEG （2）设 AEx， ABEDEG， 第 25 页（共 26 页） ， ， DG（x）2+， 0， （0x5） ， x时，CG 有最大值，最大值为 如图 2 中，连接 DH 由折叠可知AEBFEB，AEEF，ABBF3，BFEA90， ADBC， AEBEBC， FEBEBC， CECB5， 点 C 在直线 EF 上， BFC90，CF3EF3AE， CF4， AEEF541， DG， EG， 由折叠可知 EG 垂直平分线段 DH， DH22 【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直 第 26 页（共 26 页） 角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次 函数解决问题，属于中考压轴题
