江西省南昌市重点中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷(含答案)

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1、2019 届高三第四次考试数学(理)试卷一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若复数 Z , 是虚数单位)是纯虚数,则复数 ( )Rai(213i 的 虚 部 为ZA. B. C. D.3i32设集合 Ax 7x ,B x52x 17 ,则 AB 中整数元素的个数为( )2A3 B 4 C5 D63已知 , 3b, ec,则它们的大小关系是( ) eaA B ba C cab D ca 4设 表示三条不同的直线, 表示三个不同的平面,下列四个命题正确的是( )nml, ,A.若 ,则 l,/B.若 , 是 在 内的射影

2、, ,则nnmlC.若 是平面 的一条斜线, , 为过 的一条动直线,则可能有mAl lml且D.若 ,则 ,/5已知数列 是公差为 的等差数列, 为数列 的前 项和.若 成等比数列,则na21nSna1462,a( )SA B C D23523556函数 ye |lnx|x 2| 的图象大致是( )7.若对于任意 xR 都有 f(x)2f(x )3cos xsin x,则函数 f(2x)图象的对称中心为( )A (k ,0) (kZ) B ( ,0) (kZ)42k4C (k , 0) (kZ) D ( ,0) (kZ)888某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中 3的

3、的值是( )xA. B 23C D3299已知函数 ()cos(incos)(0fxxx,如果存在实数 0x,使得对任意的实数 x,都有 成立,则 的最小值为( ) )0190fA B C D4381240381201910在 中, , ,点 是 所在平面内一点,则当BC39AC2ABPABC取得最小值时, ( )22PPA. 24 B. C. D.6922411.2018 年 9 月 24 日 , 英 国 数 学 家 M.F 阿 蒂 亚 爵 在 “海 德 堡 论 坛 ”展 示 了 他 “证 明 ”黎 曼 猜 想 的 过 程 ,引 起 数学 界 震 动 . 黎 曼 猜 想 来 源 于 一 些

4、特 殊 数 列 求 和, 记 )则 (.,1.3122nS341.SA234.SB.C.SD12函数 满足 , ,若存在 ,使得fx1,xeff 1fe2,1a成立,则 的取值( )3122fammA. B. C. D. ,31,12,3二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. _)(,)(,1sin3)(.13 affxxf 则若已 知 函 数14设实数 满足 ,则 的取值范围是_,y205yyxz15. 若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值,则实数 的取21()lnfxx(1,)aa值范围是 16已知三棱锥 中,平面 平面 ,ABCDABCD,B,4CD则三棱

5、锥 的外接球的大圆面积为_,32三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分 10 分)已知 ()13(0)fxaxa(1)当 时,求不等式 的解集;5f(2)若不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围()fxRa18. (本小题满分 12 分)在 中, 的对边分别是 ,ABC, ,abc.tan3si2AB且(1) 求 的值;2acb(2)若 ,求 面积的最大值.19 (本小题满分 12 分)已知数列 的首项 , na1*4()2nnaN(1)证明:数列 是等比数列; 2n(2)设 ,求数列 的前 n 项和 nbabnS20 (本小

6、题满分 12 分)如图,已知多面体 的底面 是边长为 的菱形, 底面 ,PABCDE2PABCD,且 EDA2(1)证明:平面 平面 ;(2)若直线 与平面 所成的角为 ,求二面角 PABo45的余弦值CP21. (本小题满分 12 分)已知圆 ,点 为圆 上的一个动点, 轴于点 ,且动点 满足219Cxy: A1CANxM,设动点 的轨迹为曲线 .OMAONM(1)求动点 的轨迹曲线 的方程;(2)若直线 与曲线 相交于不同的两点 、 且满足以 为直径的圆过坐标原点 ,lCPQPO求线段 长度的取值范围.PQEDB CAP22. (本小题满分 12 分)设函数 ).(ln)(Raxexf (

7、1)当 时,求函数 的极值;1af(2)若关于 的方程 有唯一解 ,且 , ,求 的值.x0)(0x)1,(n*Nn南昌 2019 届高三第四次考试数学(理)试卷参考答案一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分13. 7 14. 15. 16. 83,231,)29小题详解:1.B 是纯虚数, ,5)3()6()21(321 iaiaiz 0632a解得 ;则6aZ5.的 虚 部 为题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D B A C D B C A C A2. B .6,54

8、37,25整 数 元 素 包 含 :A3. D 指数函数与幂函数的应用,易选 D.4. B ,则 或 ;若 ,则由 可得 。若 ,则存在,lmlmAmmA有 mn。因为 ,所以 ,从而可得 ,A 不正确;n过 l 上一点 作 ,则 B 点在直线 n 上,且 ABm。因为 n 是 l 在 上射影,所以A l,n 平行或相交,从而可得 l,n,AB 共面。因为 mn,所以 ml,n,AB 所在平面,从而可得 ml,B正确;若 ,设 ,则直线 AB 是直线 m 在平面 内的射影。因为 m 是平面 的斜线,所以lBll,m,AB 共面且直线 m 与直线 AB 相交。若 ,由 可得 mAB,矛盾,C 不

9、正确; lAB垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交,D 不正确。 综上可得,选 B5A 因为 是公差为 的等差数列, 为 的前 项和, 成等比数列,所以na21nSa1462,a,解得 ,所以 ,故选 C.211()()3)a13a5356.C .00 CyxBx , 所 以 选时 ,; 当排 除出 取 7.D .)2(),(的 对 称 中 心再 去 求出, 然 后 用 解 方 程 组 法 求代用 xfxf8.B 由三视图可得此几何体的直观图如图,由三视图可知:该几何体是一个四棱锥, 底面 , ,底面是一个上下边长分别为 和 ,高为PABCDxPA1的直角梯形,体积 ,所以 ,故选 B2 3

10、2)1(3Vx9C 因为 ()cos(incos)(0fxx,3sin2x设 的最小正周期为 ,则 ,所以 的最小值为 ,fT4081920192w40381选 C.10.A 以 C 为坐标原点,直线 CB,CA 分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则2ACB,设 0,362,0AB,Pxy22ABPC2 22=33154xy xy当 时, 取得最小值, ,12,选 A.PABC2,6,0411.C .得放 缩 后 裂 项 相 消 法 便 可12A 由题意设 ,则 ,所以 ( 为常数)xfge1xffge lngxc , , ,1fe1fclxfge 令 ,则 ,故当 时, lnxf1lnhx2

11、1hx12x单调递减;当 时, 单调递增0,h0, ,从而当 时, , 在区间 上单调递增 1x1,2xfxfx1,2设 ,则 ,故 在 上3,aea23aaa,1单调递增,在 上单调递减,所以 1, max1e不等式 等价于 ,322faem 2ff ,解得 ,故 的取值范围为 选 A1 213m,1313.7 14. 83,2 .,1的 范 围的 范 围 , 然 后 再 求 出先 求 出换 元 : 令 zttzxyt15. 函 数 的 导 函 数 为 , 令 ( 其 中 舍 去 ) ,31,)2xf21)( 2102)( xxf 21x当 时 , , 当 时 , , 所 以 原 函 数 在

12、 时 取 得 极 小 值 , 则 有x0)(xf0, 所 以 取 值 范 围 为 .:23102aa 31,)216. 如图所示,设 的中点为 , ,连结 ,因为 ,9BDE,AECABD所以 ,又平面 平面 ,所以 平面 ,又因为 是等腰直角三角形,AEAC所 为 的外心, ,所以球心 一定在直线 上,C42,COE,所以球心 在线段 的延长线上,设 ,则三棱锥外接球半径2BEOAEx,即 ,解得 ,所以 ,所以三棱锥 的外2RxAE22x1x3RABCD接球的大圆面积 .9SR17.解:(1)当 时, ,1a4,()()13213,fxxx易得 解集为 ()5fx9|2或(2) 131(3

13、)1faxaxa 解集为 , 恒成立, , ()5xR50218.解.(1) 23cossincosin2tasin aAbABABc .443222 abbb(2) ;6cos1622 cAa;438os,82 Abbc取 等 号当 且 仅 当AB DCEO;tan3si2120,cos66cos AbcSAbAABC),(且得 :由 37196ota,cosinin1ta 2222 .77t3的 最 大 值 为的 面 积 SABCS19.(1)证明: , ,1142124nnn naaa , 112nna又 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列112a, na2(2)解:由(1)知

14、 ,即 ,12nnaA12nnnbaa, 设 , 则 ,23nT2312nnT由 得, ,211112nnn nT, 又 ,12nnT ()(13)4数列 的前 n 项和 b2(1nnS20 (1)证明:连接 ,交 于点 ,设 中点为 ,连接 , BD ACOPFOEF因为 , 分别为 , 的中点,所以 ,且 ,OFPA12P因为 ,且 ,所以 ,且 EA12DE所以四边形 为平行四边形,所以 ,即 DOFB因为 平面 , 平面 ,所以 PBCACP因为 是菱形,所以 因为 ,所以 平面 ADPAC因为 ,所以 平面 因为 平面 ,所以平面 平面 EFAPECE(2)因为直线 与平面 所成角为

15、 , 所以 ,所以 所以 Do45452,故 为等边三角形设 的中点为 ,连接 ,则 CBCBMB以 为原点, , , 分别为 轴,建立空间直角坐标系 (如图) AMADPxyz, , xyzA则 , , , , , ,20,,P01,3,C2,,E0,, 21,3,PC1,3,E设平面 的法向量为 ,则,,DE1,zn=0,An即 则 所以 1132,.xyz1,y令13,2.xz3,12n设平面 的法向量为 ,则 即CDE2,xzm0,DECm令 则 所以 220,3.zxyz21,23,0.y1,30设二面角 的大小为 ,由于 为钝角,所以P36cos, 42nm21. 解:(1)设动点

16、 ,由于 轴于点 由题意,),(),0yxAMANx.0(,).Nx,得ONAOM)2( 00,)(2)(,000(3,().xyx即002(2),y03,2.y将 代入 ,得曲线 的方程为 )23,(xA92yxC21.84xy(2)当直线 的斜率不存在时,因以 为直径的圆过坐标原点 ,故可设直线 为 ,联l PQOPxy立 解得 同理求得 所以 ;2,184yx26(,)3P26(,),3364QMz yxPACBDE当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,设l mkxy12(,)(,)PxyQ联立 ,可得 2,184ykxm22()480.由求根公式得 (*)21212,.kmxxk以 为直

17、径的圆过坐标原点 , 即PQO.PQ0.O120.xy即 化简可得,1212()0.xkmx212()()kxkm将(*)代入可得 ,即 即 ,832k2380.m382又 将 代入,可得22164.1kPQx )1(2k22222 4643()311kkk233.4k当且仅当 ,即 时等号成立又由 , ,21k0412k3642PQ;3364PQ综上,得 223. 解.(1) ;1)(ln)(10)( exexfeaxf 时 ,) ; 当,的 定 义 域 为 ( 01)(;1 2! xhfxhe令则 !) 上 递 减 ,) 上 递 增 , (在 () 上 单 调 递 减 , 又在 (即 !

18、11,0)(,0)1(,0)(! xffxf .,)1(无 极 小 值有 极 大 值 ef24. (2) ,0)()()( 2! xxx egaefgaf令! ) 上 单 调 递 减,在 () 上 单 调 递 减,在 ( ! 00xg ) 上 单 调 递 增 ,在 (使 得),( ! 000 )(1)(, xfaexf ;0ln), 000 axeffx有 唯 一 解 , 则 必 有) 上 单 调 递 减 ; 又在 ( 与由 10ae ;)1(ln0ln 0000 xeaaxe得 :消 去 )12ln)1(l 2! xxxx eheh )(令 上 单 调 递 增 ;) 上 单 调 递 减,在 (! ,10)( x ;0)(,)(),1(0l2)(, 0 xfxxe 即使 得, .1,2, *nNnxf 则且有 唯 一 解的 方 程又 关 于

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