1、页1第2019 届高三上学期期中考试数学（理）试题一 、 选 择 题 （ 每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 每 小 题 5 分 共 6 0 分 ）1. 已 知 集 合 ， ， 则 = （ ）A B C D2. 函 数 的 定 义 域 为 （ ）A BC D3.“ 2 5 6 0x x ” 是 “ 2x ” 的 （ ）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 向 量 a b x(1, 1), ( ,3), r r 若 a b/r r， 则 x=(
2、 )A -2 B -4 C -3 D -15 、 若 m n， 是 两 条 不 同 的 直 线 ， ， ， 是 三 个 不 同 的 平 面 ， 则 下 列 命 题 中 的 真 命 题 是 （ ）A 若 m ， ， 则 m B 若 m ， m ， 则 C 若 ， ， 则 D 若 I m ， I n ， m n ， 则 6. 已 知 , ， 则 与 的 夹 角 为 （ ）A B C D7. 已 知 命 题 存 在 实 数 ,满 足 ； （ ）命 题 ： ( ).则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是A. B. C. D. 8 、 在 ABC 中 ，060 ,A A 的 平 分 线 交 BC于
3、D， 14, 4AB AD AC AB R uuur uuur uuur ,则 AC 的 长 为 （ ）A.3 B.6 C.9 D.129 、 正 项 等 比 数 列 na 中 ， 存 在 两 项 ,m na a 使 得 14m na a a ， 且 6 5 42a a a ， 则 1 4m n 的最 小 值 是 ( )A 32 B 2 C 73 D 25610.已 知 ， 且 ， 则 目 标 函 数 的 最 小 值 为 （ ）页2第A B C D1 1 、 在 矩 形 ABCD 中 ， AB 4 ， BC 3 ， 沿 AC 将 矩 形 ABCD 折 叠 ， 其 正 视 图 和 俯 视 图 如
4、 图 所 示 .此 时 连 结 顶 点 B、 D 形 成 三 棱 锥 B ACD， 则 其 侧 视 图 的 面 积 为A. 1 2 B.6C. 14425 D. 72251 2 、 已 知 函 数 x xf x f x xln , 0 2( ) (4 ),2 4 若 当 方 程 f x m( ) 有 四 个 不 等 实 根x x x x1 2 3 4, , , x x x x1 2 3 4 时 ， 不 等 式 kx x x x k2 23 4 1 2 11 恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 最 小 值 为 （ ）A. 98 B. 32 2 C. 2516 D. 13 2二 、 填 空 题 （
5、 每 小 题 5 分 共 2 0 分 ）1 3 、 若 0(2 1) 2( 0)t x dx t 则 t=14、 如 图 所 示 ， 在 正 三 角 形 ABC中 ， D、 E、 F 分 别 为 各 边 的 中 点 ， G、 H、 I、 J 分 别 为 AF、 AD、BE、 DE 的 中 点 ， 将 ABC沿 DE、 EF、 DF 折 成 三 棱 锥 以 后 ， GH与 IJ 所 成 角 的 大 小 为 15.观 察 下 列 各 式 ：2333 233 23 6321 321 11 照 此 规 律 ， 则 第 个 等 式 应 为 .16.已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ，
6、其 导 函 数 为 ， 且 当 时 ， 则 不 等 式 的 解 集 为 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17.（ 本 题 满 分 12分 ） 已 知 函 数 2 3( ) cos sin 3cos ,2f x x x x x R （ 1） 求 函 数 ( )f x 的 最 小 正 周 期 ；（ 2） 求 函 数 ( )f x 在 ,4 4x 上 的 最 值 及 相 应 x的 值 DA BC 正 视 图俯 视 图页3第18.(本 小 题 满 分 12分 ) 已 知 na 是
7、 各 项 都 为 正 数 的 数 列 ， 其 前 n项 和 为 nS ， 且 nS 为 na 与 1na 的 等 差 中 项 .（ 1） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 设 1 ,nn nb a 求 nb 的 前 n 项 和 nT .19 （ 本 题 满 分 12分 ） 已 知 函 数 ( ) 3 3x xf x R （ 1） 是 否 存 在 实 数 使 得 ( )f x 为 奇 函 数 ？ 若 存 在 ， 求 出 实 数 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；（ 2） 在 （ 1） 的 结 论 下 ， 若 不 等 式 (4 1) (2 ) 0t tf f m 在 1
8、,1t 上 恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 20. （ 本 大 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ， 已 知 OPQ是 半 径 为 1， 圆 心 角 为 的 扇 形 ， A是 扇 形 弧 PQ上 的 动点 ， /AB OQ， OP与 AB 交 于 点 B， /AC OP， OQ与 AC 交 于 点 C.记 =AOP .(1).若 2 ， 如 图 1， 当 角 取 何 值 时 ， 能 使 矩 形 ABOC 的 面 积 最 大 ；(2).若 3 ， 如 图 2， 当 角 取 何 值 时 ， 能 使 平 行 四 边 形 ABOC 的 面 积 最 大 .并 求 出 最 大 面
9、 积 .图 1 图 2页4第21 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数 .（ 1） 若 曲 线 在 处 的 切 线 与 直 线 垂 直 ， 求 实 数 的 值 ；（ 2） 设 ， 若 对 任 意 两 个 不 等 的 正 数 ， 恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ 3） 若 在 上 存 在 一 点 ， 使 得 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .22 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 不 等 式 选 讲已 知 函 数 ( ) | | 2 1( ).f x x a x a R （ ） 当 1a = 时 ， 求 不 等 式 2xf 的 解 集 ；
10、（ ） 若 xxf 2 的 解 集 包 含 1,21 ， 求 a的 取 值 范 围 .页5第理 科 数 学 参 考 答 案序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2答 案 B C B C B C A D A B D B序 号 1 3 1 4答 案 1 31 5 . 1 6 .17 解 ： （ 1） 1 1 cos2 3( ) sin2 3 sin(2 )2 2 2 3xf x x x 2 分 =T 4分（ 2） , 4 4x ， 52 , 3 6 6x 6分当 2 3 6x 即 4x 时 ， max 1( ) sin 6 2f x 9 分当 2 3 2x 即 12x 时
11、 ， min( ) sin( ) 12f x 12分18.解 ： （ 1） 由 题 意 知 ， 12 n n nS a a ， 即 22 1,n n nS a a 当 n=1时 ， 由 式 可 得 1 1;S 当 2n 时 ,有 1,n n na S S 带 入 式 ， 得 21 12 ( ) ( ) 1,n n n n nS S S S S 整 理 得 2 21 1.n nS S 所 以 2nS 是 首 项 为 1， 公 差 为 1的 等 差 数 列 ， 2 1 1 .nS n n 因 为 na 各 项 都 为 正 数 ， 所 以 ,nS n 4 分所 以 1 1( 2),n n na S
12、S n n n 又 1 1 1,a S 所 以 1.na n n 6 分（ 2） ( 1) ( 1) 1 1 ,1n n nn nb n na n n 当 n为 奇 数 时 ，页6第 1 ( 2 1) 3 2 1 2 1 ;nT n n n n n 当 n为 偶 数 时 ， 1 ( 2 1) 3 2 1 2 1 .nT n n n n n 所 以 nb 的 前 n 项 和 1 .nnT n 12分19 解 ： （ 1） 若 ( )f x 为 奇 函 数 ， 则 (0) 0f ， 1 分即 1+ =0 ， 解 得 1 ， 2 分( ) 3 3 (3 3 ) ( )x x x xf x f x ，
13、 则 存 在 1 ， 使 得 ( )f x 为 奇 函 数 4 分（ 2） ( ) 3 3x xf x （ x R ） ， ( ) (3 3 )ln3 0x xf x ， 5分则 ( )f x 在 R上 为 增 函 数 ， 6 分 ( )f x 为 奇 函 数 ， (4 1) (2 ) 0t tf f m ，即 (4 1) ( 2 )t tf f m ， 7 分又 ( )f x 在 R上 为 增 函 数 ， 4 1 2t tm ， 8 分则 24 2 1 (2 ) 2 1,( 1,1)t t t tm t 恒 成 立 ，令 12 ,22t n ， 则 2 21 51 ( )2 4m n n n
14、 ， 10分令 21 5( ) ( )2 4g n n ，min 1( ) 4g n ， 11分 14m 12分20. 解（ 1） 如 图 ， 连 结 OA， 设 AOP= ， 矩 形 ABOC的 面 积 为 S， 则 OB=cos ,AB=sin .所 以 S=OB AB=sin cos =1sin2 ,2 2 分当 2 2 ,即 4 时 ， max 1S ,2所 以 矩 形 ABOC的 面 积 最 大 时 ， 4 ； 5 分（ 2） 如 图 ， 连 结 OA， 设 AOP= ， 过 A作 AH OP， 垂 足 为 H，在 Rt AOH 中 ， AH=sin ,OH=cos .页7第在 Rt
15、 ABH 中 ， AH tan 3,BH 3 所 以 3BH sin ,3 所 以 3OB OH BH cos sin .3 设 平 行 四 边 形 ABOC 的 面 积 为 S ， 则 3S OB AH (cos sin )sin3 =23sin cos sin3 = 1 3sin2 (1 cos2 )2 6 = 1 3 3sin2 cos22 6 6 = 3 3sin(2 )3 6 6 9分因 为 0 ,3 所 以 52 ,6 6 6 所 以 当 2 6 2 ,即 6 时 ， max 3S 6 ,所 以 当 6 时 ， 平 行 四 边 形 ABOC 的 面 积 最 大 ， max 3S 6
16、 . 12分21.解 ： （ 1） 由 ， 得 .由 题 意 ， ， 所 以 .（ 2） .因 为 对 任 意 两 个 不 等 的 正 数 ， 都 有 恒 成 立 ， 设 ， 则 即恒 成 立 .问 题 等 价 于 函 数 ，即 在 上 为 增 函 数 ，所 以 在 上 恒 成 立 .即 在 上 恒 成 立 .所 以 ， 即 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .（ 3） 不 等 式 等 价 于 ， 整 理 得 .构 造 函 数，由 题 意 知 ， 在 上 存 在 一 点 ， 使 得 .页8第.因 为 ， 所 以 ， 令 ， 得 . 当 ， 即 时 ， 在 上 单 调 递 增 .只 需 ， 解
17、 得 . 当 即 时 ， 在 处 取 最 小 值 .令 即 ， 可 得 .令 ， 即 ， 不 等 式 可 化 为 .因 为 ， 所 以 不 等 式 左 端 大 于 1， 右 端 小 于 等 于 1， 所 以 不 等 式 不 能 成 立 . 当 ， 即 时 ， 在 上 单 调 递 减 ， 只 需 ， 解 得 .综 上 所 述 ， 实 数 a的 取 值 范 围 是 .22、 解 ： （ 1） 当 1a = 时 ， 不 等 式 2xf 可 化 为 2|12|1| xx 当 12x 时 ， 不 等 式 为 23 x ， 解 得 23x ， 故 23x ； 当 11 2x 时 ， 不 等 式 为 22 x ， 解 得 0x ， 故 1 0x ； 当 1x 时 ， 解 得 23x ， 故 1x ； 4分综 上 原 不 等 式 的 解 集 为 20, 3x x x 或 5分（ 2） 因 为 xxf 2 的 解 集 包 含 1,21 不 等 式 可 化 为 1ax 7 分解 得 1 1a x a ， 由 已 知 得 11 21 1aa ， 9 分解 得 3 02 a ， 所 以 a的 取 值 范 围 是 3,02 . 10分
