1、2017-2018 学年河北省邢台市临西县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分.1-10 小题各 3 分：11-16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列方程中，为一元二次方程的是（ ）A2x+1=0 B3x 2x=10 C Dx 2+y2=52下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3下列说法正确的是（ ）A等弧所对的圆心角相等B三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C经过三点可以作一个圆D相等的圆心角所对的弧相等4用长分别为 3cm，4cm，5cm 的三条线段可以围成直角三角形的事件是（ ）
2、A必然事件 B不可能事件 C随机事件 D以上都不是5用配方法解一元二次方程 x2+4x3=0 时，原方程可变形为（ ）A （x +2） 2=1 B （x +2） 2=19 C （x +2） 2=13 D （x +2） 2=76对于反比例函数 y= ，下列说法不正确的是（ ）A点（2 ， 1）在它的图象上B它的图象在第一、三象限C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小7如图，某数学兴趣小组将长为 6，宽为 3 的矩形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 BAD 的面积为（ ）A3 B18 C9 D68一
3、个直角三角形的两直角边长分别为 x，y ，其面积为 2，则 y 与 x 之间的关系用图象表示大致为（ ）A BC D9如图，若抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k，则反比例函数 y= （ x 0）的图象是（ ）A BC D10两个相似多边形的面积之比是 1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）A1 ：2 B1：4 C1：8 D1：1611若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10%C增加了（1+10%） D没有改变12如图，甲、乙两盏路灯相距 30
4、 米，一天晚上，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行 25 米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为 1.5米，那么路灯甲的高为（ ）A9 米 B8 米 C7 米 D6 米13已知O 的半径为 13，弦 ABCD ，AB=24 ，CD=10 ，则 AB、CD 之间的距离为（ ）A17 B7 C12 D7 或 1714二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 给出下列说法：抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ；抛物线的对称轴在 y 轴的左侧；抛物线一定经过（3，0）点
5、；在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大从表中可知，其中正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D115如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 A 旋转了 108，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）Acm B2cm C3cm D5cm16已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6 次旋转
6、的过程中，点 B，M 间的距离可能是（ ）A1.4 B1.1 C0.8 D0.5二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分1718 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分17已知二次函数 y=a（x +3） 2b（a0）有最大值 1，则该函数图象的顶点坐标为 18股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x满足的方程是 19我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边
7、相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”，那么等边三角形“内似线” 的条数为 ；如图，ABC 中，AB=AC ，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则 BD 是ABC 的“ 内似线”吗？答： （填是” 或“不是”）三、解答题（本大题共有 7 个小题共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤20 （8 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，图、图、图均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点） ，（1）在图 1 中，图经过一次 变换（填“ 平移” 或“旋转”或“轴对称”
8、）可以得到图；（2）在图 1 中，图是可以由图经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或“B”或“C”） ；（3）在图 2 中画出图绕点 A 顺时针旋转 90后的图21 （9 分）如图 1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物，在右边活动托盘 B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡改变活动托盘 B 与点 O 的距离 x（cm） ，观察活动托盘 B 中砝码的质量 y（g）的变化情况实验数据记录如表 x（cm） 10 15 20 25 30y（g） 30 20 15 12 10（1）把表中（x，y）的各组对应值
9、作为点的坐标，在图 2 的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；（2）观察所画的图象，猜测 y 与 x 之间的函数关系，求出函数关系式；（3）当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？22 （9 分）编号为 15 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中记 0 分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图之后来了第 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40%（1）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；（2）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学生
10、的概率；（3）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分23 （9 分）如图，已知APB=30，OP=3cm，O 的半径为 1cm，若圆心 O 沿着 BP 的方向在直线 BP 上移动（1）当圆心 O 移动的距离为 1cm 时，则O 与直线 PA 的位置关系是什么？（2）若圆心 O 的移动距离是 d，当O 与直线 PA 相交时，则 d 的取值范围是什么？24 （10 分）已知关于 x 的方程 mx2+（2m1）x+m1=0（m0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个
11、实数根都是整数，求整数 m 的值25 （11 分）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴的另一个交点为A（2，0） （1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点 P，使AOP 的面积为 3？若存在请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由26 （12 分）如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合） ，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP（1）求证：AP=BQ；（2）当 BQ=4 时，求 的长（结果保留 ） ；（3）
12、若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围2017-2018 学年河北省邢台市临西县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分.1-10 小题各 3 分：11-16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列方程中，为一元二次方程的是（ ）A2x+1=0 B3x 2x=10 C Dx 2+y2=5【分析】根据一元二次方程的定义解答【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误；B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C、该方程不是分式方程，故本选项错误；D、该方程属于二元二次方程，故
13、本选项错误故选：B【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0）2下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴
14、对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3下列说法正确的是（ ）A等弧所对的圆心角相等B三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C经过三点可以作一个圆D相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识进行判断即可【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A 正确；三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，B 错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C 错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选：A【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识
15、，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键4用长分别为 3cm，4cm，5cm 的三条线段可以围成直角三角形的事件是（ ）A必然事件 B不可能事件 C随机事件 D以上都不是【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：由勾股定理的逆定理，得32+42=52，长分别为 3cm，4cm ， 5cm 的三条线段可以围成直角三角形，故选：A【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件5用配方法解一元二次
16、方程 x2+4x3=0 时，原方程可变形为（ ）A （x +2） 2=1 B （x +2） 2=19 C （x +2） 2=13 D （x +2） 2=7【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得【解答】解：x 2+4x=3，x 2+4x+4=3+4，即（x+2 ） 2=7，故选：D【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键6对于反比例函数 y= ，下列说法不正确的是（ ）A点（2 ， 1）在它的图象上B它的图象在第一、三象限C当 x0 时，y 随 x 的增大而增
17、大D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答【解答】解：A、把点（2，1）代入反比例函数 y= 得 1=1，故 A 选项正确；B、k=20，图象在第一、三象限，故 B 选项正确；C、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故 C 选项错误；D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故 D 选项正确故选：C【点评】本题考查了反比例函数 y= （k0）的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y随 x 的增大而增大7如图，某数学兴趣
18、小组将长为 6，宽为 3 的矩形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 BAD 的面积为（ ）A3 B18 C9 D6【分析】根据已知条件可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB= lr，计算即可【解答】解：矩形的长为 6，宽为 3，AB=CD=6，AD=BC=3 ，弧 BD 的弧长=6，S 扇形 DAB= lr= 66=18故选：B【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式 S 扇形 DAB=lr8一个直角三角形的两直角边长分别为 x，y ，其面积为 2，则 y 与 x 之间的关系用图象表示
19、大致为（ ）A BC D【分析】根据题意有：xy=4；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x y 实际意义 x、y 应大于 0，其图象在第一象限【解答】解：xy=4y= （x0，y0）故选：C【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限9如图，若抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k，则反比例函数 y= （ x 0）的图象是（ ）A BC D【分析】找到函数图象与 x 轴、y 轴的交点，得出 k=4，即可得出答案【解答】解：抛物线
20、y=x2+3，当 y=0 时，x= ；当 x=0 时，y=3，则抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（1，1） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，1） ；共有 4 个，k=4；故选：D【点评】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出 k 的值10两个相似多边形的面积之比是 1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）A1 ：2 B1：4 C1：8 D1：16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比【解答】解：两个相似多边形的面积之比是 1：4，这两个相似多边形的相似比是 1：
21、2，则这两个相似多边形的周长之比是 1：2，故选：A【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方11若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10%C增加了（1+10%） D没有改变【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答【解答】解：ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，ABC 与ABC的三边对应成比例，ABCABC，B=B故选：D【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是
22、解题的关键12如图，甲、乙两盏路灯相距 30 米，一天晚上，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行 25 米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为 1.5米，那么路灯甲的高为（ ）A9 米 B8 米 C7 米 D6 米【分析】由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形根据对应边成比例，列方程解答即可【解答】解：根据题意知，DEABCDECAB = ，即 = ，解得 AB=9m故选：A【点评】此题考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了方程的思想13已知O 的半径为 13，弦
23、ABCD ，AB=24 ，CD=10 ，则 AB、CD 之间的距离为（ ）A17 B7 C12 D7 或 17【分析】分两种情况进行讨论：弦 AB 和 CD 在圆心同侧；弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【解答】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图 1，AB=24cm， CD=10cm，AE=12cm， CF=5cm，OA=OC=13cm，EO=5cm， OF=12cm，EF=125=7cm ；当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图 2，AB=24cm， CD=10cm，AE=12cm， CF=5cm，OA=OC=13cm，EO=5cm，
24、 OF=12cm，EF=OF+OE=17cmAB 与 CD 之间的距离为 7cm 或 17cm故选：D【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解14二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 给出下列说法：抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ；抛物线的对称轴在 y 轴的左侧；抛物线一定经过（3，0）点；在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大从表中可知，其中正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】由所给数据
25、求得抛物线解析式，再逐个判断即可【解答】解：当 x=0 时 y=6，x=1 时 y=6，x=2 时 y=0，可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x2+x+6=（x ） 2+ ，当 x=0 时 y=6，抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ，故正确；抛物线的对称轴为 x= ，故不正确；当 x=3 时，y=9+3+6=0，抛物线过点（3，0） ，故正确；抛物线开口向下，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，故正确；综上可知正确的个数为 3 个，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键15如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点
26、 A 旋转了 108，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）Acm B2cm C3cm D5cm【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可【解答】解：根据题意得：l= =3cm，则重物上升了 3cm，故选：C【点评】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键16已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN
27、 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离可能是（ ）A1.4 B1.1 C0.8 D0.5【分析】如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，由此即可判断【解答】解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，故选 C【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点 M 的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分
28、1718 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分17已知二次函数 y=a（x +3） 2b（a0）有最大值 1，则该函数图象的顶点坐标为 （3，1） 【分析】二次函数 y=a（x h） 2+k（a 0）的顶点坐标是（h，k ） ，依此即可求解【解答】解：二次函数 y=a（x +3） 2b（a0 ）有最大值 1，b=1，根据二次函数的顶点式方程 y=a（x +3） 2b（a0 ）知，该函数的顶点坐标是：（3，b） ，该函数图象的顶点坐标为（3，1） 故答案为：（3，1） 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程 y=a（x h） 2
29、+k 中的 h、k 所表示的意义18股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x满足的方程是 （110%） （1+x） 2=1 【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能10%，设这两天此股票股价的平均增长率为 x，每天相对于前一天就上涨到 1+x，由此列出方程解答即可【解答】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 x，由题意得（1 10%） （1+x） 2=1故答
30、案为：（110%） （1+x） 2=1【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b19我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”，那么等边三角形“内似线” 的条数为 3 ；如图，ABC 中， AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则 BD 是ABC的“内似线”吗？答： 是 （填是”或“不是”）【
31、分析】过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；由等腰三角形的性质得出ABC= C=BDC，A=ABD ，证出BCD ABC，再由三角形的外角性质证出 BD 平分ABC 即可；【解答】解：等边三角形“內似线” 的条数为 3 条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图 1 所示：则AMN ABC，CEFCBA ，BGHBAC，MN、EF、GH 是等边三角形 ABC 的內似线”；故答案为：3；如图 2 所示，BD 是ABC 的“ 内似线”，理由如下：AB=AC，BD=BC=AD ，ABC=C=BDC，A=ABD，BCDABC ，又BDC=A +ABD，ABD=CBD，BD
32、平分ABC ，即 BD 过ABC 的内心，BD 是ABC 的“內似线”；故答案为：是【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心，熟练掌握性质定理是解题的关键三、解答题（本大题共有 7 个小题共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤20 （8 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，图、图、图均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点） ，（1）在图 1 中，图经过一次 平移 变换（填“平移”或“旋转”或“ 轴对称”）可以得到图；（2）在图 1 中，图是可以由图经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 A （填“A”或“B”或“C”） ；（
33、3）在图 2 中画出图绕点 A 顺时针旋转 90后的图【分析】 （1）根据平移的定义可知图向右上平移可以得到图；（2）将图形绕着点 A 旋转后能与图形重合，可知旋转中心；（3）以 A 为旋转中心，顺时针旋转 90得到关键顶点的对应点连接即可【解答】解：（1）图经过一次平移变换可以得到图；（2）图是可以由图经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 A；（3）如图【点评】本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新
34、图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断21 （9 分）如图 1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物，在右边活动托盘 B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡改变活动托盘 B 与点 O 的距离 x（cm） ，观察活动托盘 B 中砝码的质量 y（g）的变化情况实验数据记录如表 x（cm） 10 15 20 25 30y（g） 30 20 15 12 10（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图 2 的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；（2）观察所画的图象，猜测 y 与 x 之间的函数关系，求出函数
35、关系式；（3）当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？【分析】 （1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；（2）观察可得：x，y 的乘积为定值 300，故 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；（3）把 y=24 代入解析式求解，可得答案【解答】解：（1）如图所示：（2）由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，设 y= （k0 ） ，把 x=10，y=30 代入得：k=300，y= ，将其余各点代入验证均适合，y 与 x 的函数关系式为：y= ；（3）把 y=24 代入 y= 得：x=12.5，当砝码
36、的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是 12.5cm【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式22 （9 分）编号为 15 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中记 0 分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图之后来了第 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40%（1）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；（2）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学
37、生的概率；（3）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分【分析】 （1）由第 6 名学生命中的个数为 540%=2 可得答案，并补全条形图；（2）由这 6 名学生中，命中次数多于 550%=2.5 次的有 2、3、4、5 号这 4 名学生，根据概率公式可得；（3）根据众数的定义得出前 6 名学生积分的众数即可得【解答】解：（1）第 6 名学生命中的个数为 540%=2，则第 6 号学生的积分为 2 分，补全条形统计图如下：（2）这 6 名学生中，命中次数多于 550%=2.5 次的有
38、2、3、4、5 号这 4 名学生，选上命中率高于 50%的学生的概率为 = ；（3）由于前 6 名学生积分的众数为 3 分，第 7 号学生的积分为 3 分或 0 分【点评】本题主要考查众数的定义和条形统计图及概率公式，熟练掌握概率公式的计算和众数的定义是解题的关键23 （9 分）如图，已知APB=30，OP=3cm，O 的半径为 1cm，若圆心 O 沿着 BP 的方向在直线 BP 上移动（1）当圆心 O 移动的距离为 1cm 时，则O 与直线 PA 的位置关系是什么？（2）若圆心 O 的移动距离是 d，当O 与直线 PA 相交时，则 d 的取值范围是什么？【分析】 （1）根据点 O 的位置和移
39、动的距离求得 OP 的长，然后根据P 的度数求得点O 到 PA 的距离，从而利用半径与距离的大小关系作出位置关系的判断；（2）当点 O 继续向左移动时直线与圆相交，在 BP 的延长线上有相同的点 C，从而确定 d 的取值范围【解答】解：（1）如图，当点 O 向左移动 1cm 时， PO=POOO=31=2cm，作 OCPA 于 C，P=30 度，OC= PO=1cm，圆的半径为 1cm，O 与直线 PA 的位置关系是相切；（2）如图：当点 O 由 O向右继续移动时，PA 与圆相交，当移动到 C时，相切，此时 CP=PO=2，OP=3，OO=1，OC=OP+CP=3+2=5点 O 移动的距离 d
40、 的范围满足 1cmd5cm 时相交，故答案为：1cm d5cm【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是能够分情况讨论，难度不大24 （10 分）已知关于 x 的方程 mx2+（2m1）x+m1=0（m0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 m 的值【分析】 （1）由于 m0，则计算判别式的值得到=1，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式得到 x1=1，x 2= 1，然后利用有理数的整除性确定整数 m 的值【解答】 （1）证明：m0，方程为一元二次方程，= （ 2m1） 24m（m1 ）=1 0，此方程总有两个不相
41、等的实数根；（2）x= ，x 1=1，x 2= 1，方程的两个实数根都是整数，且 m 是整数，m=1 或 m=1【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根25 （11 分）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴的另一个交点为A（2，0） （1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点 P，使AOP 的面积为 3？若存在请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）把点（0，0）和点 A（ 2，
42、0）分别代入函数关系式来求 b、c 的值，可得二次函数的解析式；（2）设点 P 的坐标为（x， x22x） 利用三角形的面积公式得到x 22x=3通过解方程来求 x 的值，则易求点 P 的坐标【解答】解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点（0，0）c=0 又二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 A（ 2，0）（2） 22b+0=0，b=2，所求 b、c 值分别为2，0y= x22x，（2）存在一点 P，满足 SAOP =3设点 P 的坐标为（ x， x22x）S AOP =3 |x22x|=3x 22x=3当x 22x=3 时，此方程无解；当x 22x=3 时，解得 x
43、1=3，x 2=1，点 P 的坐标为：（ 3， 3）或（1 ， 3） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点和利用待定系数法来求抛物线的解析式，设点 P 的坐标为（x ， x22x）是解答此题的关键26 （12 分）如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合） ，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP（1）求证：AP=BQ；（2）当 BQ=4 时，求 的长（结果保留 ） ；（3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围【分析】 （1）
44、连接 OQ只要证明 RtAPO Rt BQO 即可解决问题；（2）求出优弧 DQ 的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由APO 的外心是 OA 的中点，OA=8 ，推出 APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4OC 8；【解答】 （1）证明：连接 OQAP、 BQ 是 O 的切线，OPAP ，OQBQ ，APO=BQO=90，在 RtAPO 和 RtBQO 中，RtAPORt BQO，AP=BQ（2）Rt APORt BQO，AOP=BOQ，P、O、Q 三点共线，在 RtBOQ 中，cosB= = = ，B=30，BOQ=60 ，OQ= OB=4，COD=90，QOD=90+60=150，优弧 的长= = （3）APO 的外心是 OA 的中点，OA=8 ，APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4OC8【点评】本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
