1、2018-2019 学年天津市南开区九年级（上）期中数学模拟试卷一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1方程 x24x12=0 的解为（ ）Ax 1=2，x 2=6 Bx 1=2，x 2=6C x1=2，x 2 =6 Dx 1=2，x 2=62在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图，在平面上取定一点 O 称为极点；从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段 OP 的长度称为极径点 P 的极坐标就可以用线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 P（3，60 ）或P（3， 300）或 P（3，420）等，则
2、点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表示不正确的是（ ）AQ （3，240 ） BQ（3 ， 120） CQ （3， 600） DQ（3，500）3用配方法解方程 x2 x1=0 时，应将其变形为（ ）A （x ） 2= B （x + ） 2=C （ x ） 2=0 D （x ） 2=4对于抛物线 y=2（x+1 ） 2+3，下 列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=1：顶点坐标为（1，3） ；x1 时，y 随 x 的增大而减小其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D45如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为（090 ） 若1=11
3、2，则 的大小是（ ）A68 B20 C28 D226下列有关圆的一些结论任意三点可以确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；圆内接四边形对角互补其中正确的结论是（ ）A B C D7如图，函数 y=ax22x+1 和 y=axa（a 是常数，且 a0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A BC D8如图，四边形 ABCD 内接于O，已知BCE=70，则A 的度数是（ ）A110 B70 C55 D359如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y轴交于点 C，对称轴为直线 x=1，点 B 的坐标为（ 1，
4、0） ，则下列结论：AB=4；b 24ac0； ab0；a 2ab+ac0，其中正确的结论有（ ）个A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10如图，AB 是O 的弦，AB=5 ，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是（ ）A B5 C D311如图，O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45圆心角的速度逆时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示位置，第 2 秒 B 点 P 位于点 C 的位置，则第 2017 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）A （ ， ） B （ ） C （0，1） D （ ）12二次函
5、数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：对称轴为直线 x=2；当 y0 时，x0 或 x 4；函数解析式为 y=x2+4x；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大其中正确的结论有（ ）A B C D二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有 种，它们分别是 14在直角坐标系中，点 A（1， 2）关于原点对称的点的坐标是 15如图，ABO 中，ABOB ，OB= ，AB=1，把ABO 绕点 O 逆时针旋转120后得到 A1B1O，则点 B1 的坐标为 来源 :学, 科,网 Z,X,X,K16如图是抛物线型拱桥，当拱顶离
6、水面 2m 时，水面宽 4m，水 面下降 2m，水面宽 m17如图，在平面直角坐标系中，A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交A 于 M、N 两点，若点 M 的坐标是（4，2） ，则弦 MN 的长为 18如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径 AE、CF交于点 G，半径 BE、CD 交于点 H，且点 C 是 的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 三解答题（共 7 小题，满分 66 分）19 （8 分）关于 x 的方程（k 1）x 24x1=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围20 （8 分）已知一次函数 y1=6x，二次函数 y2=3x2
7、+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（ 4，1） ，且对于任意实数 x 的同一个值，这三个函数对应的函数值 y1，y 2，y 3 都有 y1y 2y 3 成立？若存在，求出函数 y3 的解析式；若不存在，请说明理由21 （10 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 如图，已知 和线段 a，求作ABC ，使A=，C=90，AB=a 22 （10 分）如图，点 A、B 、C 均在O 上，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D，ACB=45，AOC=150（1）求证：CD=CB；（2）O 的半径为 ，求 AC 的长23 （10 分）某农场要建一个饲养场（长方形
8、 ABCD） ，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为 27 米） ，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留 1 米宽的门（不用木栏 ） ，建成后木栏总长57 米，设饲养场（长方形 ABCD）的宽为 a 米（1）饲养场的长为 米（用含 a 的代数式表示） （2）若饲养场的面积为 288m2，求 a 的值（3）当 a 为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？24 （10 分）如图 1，以ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF，使点 F 落在边AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G（1）猜想 BG 与 EG 的数量关系，并说明理由
9、；（2）延长 DE、BA 交于点 H，其他条件不变：如图 2，若ADC=60，求 的值；如图 3，若ADC= （0 90 ） ，直接写出 的值（用含 的三角函数表示）25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0，1） ，抛物线 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式；来源:学科网（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4） DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） 若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p
10、 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到A1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1若A 1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1 的横坐标参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1 【解答】解：x 24x12=0，分解因式得：（x+2） （x6 ）=0 ，可得 x+2=0 或 x6=0，解得：x 1=2，x 2=6，故选：C2 【解答】解：P（3，60）或 P（3 ， 300）或 P（3，420） ，由点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q
11、 可得：点 Q 的极坐标为（3，240） ，（3，120 ） ， （3，600 ） ，故选：D3 【解答】解：x 2 x1=0，x 2 x=1，x 2 x+ =1+ ，（x ） 2= 故选：D4 【解答】解：a=20，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线 x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3） ，正确；x1 时，y 随 x 的增大而减小，x1 时，y 随 x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共 3 个故选：C5 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，BAD=ABC=ADC=90，矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为 ，BAB=，BAD=BAD
12、=90，ADC=ADC=90，2=1=112 ，而ABC=D=90，来源:学科网3=180 2=68，BAB=90 68=22，即=22故选：D6 【解答】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故表述不正确；圆内接四边形对角互补，故表述正确故选：D7 【解答】解：A、由一次函数 y=axa 的图象可得：a 0，此时二次函数y=ax22x+1 的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数 y=axa 的图象可得：a0 ，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x= 0，故选项正确
13、；C、由一次函数 y=axa 的图象可得： a0，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x= 0，和 x 轴 的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数 y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向上，故选项错误故选：B8 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，A=BCE=70，故选：B9 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=1，点 B 的坐标为（1，0） ，A（3 ，0） ，AB=1（3）=4，所以正确；抛物线与 x 轴有 2 个交点，=b 24ac0，所以正确；抛物线开口向下，a 0 ，抛物线的对称轴为直线 x= =1，b=2a
14、0，ab 0 ，所以 错误；x=1 时，y 0，a b+c0，而 a0，a （ab+c）0，所以 正确故选：C10 【解答】解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，MN= BC，当 BC 取得最大值时， MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大，连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC，BC 是 O 的直径，BAC=90ACB=45 ，AB=5 ，ACB=45，BC= =5 ，MN 最大 = 故选：A11 【解答】解：2017 8=2521，即第 2017 秒点 P 所在位置如图：过 P 作 PM x 轴于 M，则PMO=90，OP=1，POM=45 ，PM=OM=1
15、sin45= ，即此时 P 点的坐标是（ ， ） ，故选：A12 【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线 x=2，所以正确；当 y0 时，x0 或 y4 ，所以错误；抛物线经过点（0，0） ， （4，0） ， （2，4） ，所以抛物线解析式为 y=ax（x 4） ，把（2，4）代入得 a2（ 24）=4 ，解得 a=1，则抛物线解析式为 y=x（x 4） ，即 y=x2+4x，所以正确；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 正确故选：D二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13 【解答】解：如图所示：当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，如直线 a；当直线与圆有一个
16、公共点 A 时，直线与圆相切，如直线 b；当直线与圆有 2 个公共点 B、C 时，直线与圆相交，如直线 c故答案为：3，相离，相切，相交14 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点（1，2）关于原点过对称的点的坐标是（ 1，2） 故答案为：（ 1，2） 15 【解答】解：过 B1 作 B1Cy 轴于 C，把ABO 绕点 O 逆时针旋转 1 20后得到A 1B1O，BOB 1=120，OB 1=OB= ，BOC=90，COB 1=30，B 1C= OB1= ，OC= ，B 1（ ， ） 故答案为：（ ， ） 16 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过
17、AB 中点O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2 ，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5 ，所以抛物线解析式为 y=0.5x2+2，当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=2 代入抛物线解析式得出：2=0.5x2+2，解得：x=2 ，所以水面宽度增加到
18、4 米，故答案为：4 17 【解答】解：分别过点 M、N 作 x 轴的垂线，过点 A 作 ABMN ，连接 AN设A 的半径为 r则 AN=OA=r，AB=2 ，ABMN，BM=BN，BN=4r；则在 RtABN 中，根据勾股定理，得 AB2+BN2=AN2，即：2 2+（4r） 2=r2，解得 r=2.5，则 N 到 y 轴的距离为 1，又点 N 在第三象限，N 的坐标为（1，2 ） ；MN=3；故答案为：318 【解答】解：两扇形的面积和为： =2，过点 C 作 CMAE，作 CNBE ，垂足分别为 M、N，则四边形 EMCN 是矩形，点 C 是 的中点，EC 平分AEB，CM=CN，矩形
19、 EMCN 是正方形，MCG+ FCN=90，NCH+FCN=90，MCG=NCH ，在CMG 与 CNH 中， ，CMG CNH（ASA） ，中间空白区域面积相当于对角线是 2 的正方形 面积，空白区域的面积为： 22=2，图中阴影部分的面积=两个扇形面积和 2 个空白区域面积的和=2 4故答案为：24三解答题（共 7 小题，满分 66 分）19 【解答】解：关于 x 的方程（k 1）x 24x1=0 有两个不相等的实数根， ，解得：k 3 且 k120 【解答】解：不存在这样的实数设该实数是 a则 y1y 2，即 6a3a 2+3，解得（a1 ） 20，a 是任意实数，且当 a=1 时取“
20、=”；当 a=1 时，y=6，即点（1，6）满足 y1y 2y 3，将点（1，6）代入二次函数 y3=x2+bx+c，得6=1+b+c，又二次函数 y3=x2+bx+c，其图象经过点（4，1） ，1=164b+c ，由解得，b=4，c=1 ，函数 y3 的解析式为：y=x 2+4x+1；3a 2+3a 2+4a+1，解得， （a1 ） 20，显而易见，这是错误的，所以点 a 不适合所以 ，不存在这样的任意实数 a，使 y1y 2y 3 成立21 【解答】解：如图所示，ABC 为所求作22 【解答】证明：延长 AO 交O 于 E 点，连接 CEAE 是直径ACE=90ACB=45BCE=135A
21、O=OC=EO ，AOC=150OAC=OCA=15 ，OEC= OCE=75四边形 ABCE 是圆内接四边形 来源:学#科#网 Z#X#X#KEAB+ECB=180 ， E+ABC=180EAB=45，ABC=105，CAD=30，CBD=75CD 是O 切线，OCD=90OCA=15，ACB=45CBD=30D+CBD+BCD=180D=75D=CBDCD=CB 来源:Z#xx#k.Com（2）连接 OB，过点 B 作 BFAC 于点 F，OA=OBOAB= OBA=45AOB=90AB= =2CAD=30，BFACBF=1，AF= BF=ACB=45 ，BFACACB=CBF=45CF=
22、BF=1AC= +123 【解答】解：（1）由已知饲养场的长为 572a（a1）+2=603a；故答案为：603a；（2）由（1）饲养场面积为 a（603a）=288，解得 a=12 或 a=8；当 a=8 时，603a=6024=3627，故 a=8 舍去，则 a=12；（3）设饲养场面积为 y，则 y=a（603a）=3a 2+60a=3（a 10） 2+300，260 3a27，11a ，当 a=11 时，y 最大 =29724 【解答】解：（1）BG=EG，理由是：如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ABCD ，四边形 CFED 是菱形，EF=CD，EFCD ，AB=
23、EF，ABEF，A=GFE，AGB= FGE，BAGEFG，BG=EG；（2）如图 2，设 AG=a，CD=b ，则 DF=AB=b，由（1）知：BAGEFG ，FG=AG=a，CDBH ，HAD=ADC=60，ADE=60 ，AHD=HAD=ADE=60，ADH 是等边三角形，AD=AH=2a+b， = = ；如图 3，连接 EC 交 DF 于 O，四边形 CFED 是菱形，ECAD，FD=2FO，设 AG=a，AB=b，则 FG=a，EF=ED=CD=b，RtEFO 中，cos= ，OF= bcos，DG=a+2bcos，过 H 作 HMAD 于 M，ADC=HAD= ADH= ，AH=H
24、D，AM= AD= （2a +2bcos）=a+bcos，RtAHM 中，cos= ，AH= ， = =cos25 【解答】解：（1）直线 l：y= x+m 经过点 B（0，1） ，m=1 ，直线 l 的解析式为 y= x1，直线 l：y= x1 经过点 C（4，n ） ，n= 41=2，抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C（4，2）和点 B（0，1） ， ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2 x1；（2）令 y=0，则 x1=0，解得 x= ，点 A 的坐标为（ ，0） ，OA= ，在 RtOAB 中， OB=1，AB= = = ，DEy 轴，ABO= DEF，在矩形 DFEG 中，E
25、F=DEcos DEF=DE = DE，DF=DEsinDEF=DE = DE，p=2（DF+EF ）=2（ + ）DE= DE，点 D 的横坐标为 t（0t4） ，D（t， t2 t1） ，E（t， t1） ，DE=（ t1）（ t2 t1）= t2+2t，p= （ t2+2t）= t2+ t，p= （t2） 2+ ，且 0，当 t=2 时，p 有最大值 ；（3）AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90，A 1O1y 轴时，B 1O1x 轴，设点 A1 的横坐标为 x，如图 1，点 O1、B 1 在抛物线上时，点 O1 的横坐标为 x，点 B1 的横坐标为x+1， x2 x1= （x+1） 2 （x +1） 1，解得 x= ，如图 2，点 A1、B 1 在抛物线上时，点 B1 的横坐标为 x+1，点 A1 的纵坐标比点B1 的纵坐标大 ， x2 x1= （x+1） 2 （x +1） 1+ ，解得 x= ，综上所述，点 A1 的横坐标为 或
