1、2017-2018 学年西安市长安高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）命题“若 ，则 tan=1”的否命题是（ ）A若 ，则 tan1 B若 ，则 tan1C若 tan1，则 D若 tan1 ，则 2 （5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A抽签法 B系统抽样法 C分层抽样法 D随机数法3 （5 分）双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B C
2、 D4 （5 分）设 f（x ）=xlnx，若 f（x 0）=2 ，则 x0 等于（ ）Ae 2 Be C Dln25 （5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg ）分别是 x1，x 2，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）Ax 1，x 2， ，x n 的平均数 Bx 1，x 2， ，x n 的标准差C x1，x 2，x n 的最大值 Dx 1，x 2，x n 的中位数6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y
3、 的值分别为（ ）A3 ，5 B5，5 C3，7 D5，77 （5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳8 （5 分）根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0得到了回归方程 = x+ ，则（ ）A
4、0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 09 （5 分） “a=1”是“函数 y=cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件10 （5 分）如图是函数 y=f（x）的导函数 y=f（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）A在区间（2，1）内 f（ x）是增函数 B在（1 ，3）内 f（x）是减函数C在（4，5）内 f（x）是增函数 D在 x=2 时 f（x）取到极小值11 （5 分）已知命题 p：xR ，e xx+1 ；命题 q：若 a2b 2，则 ab下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp
5、 q12 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）A B C D13 （5 分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0、1 表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7 、8、9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 26
6、16 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为（ ）A0.852 B0.8192 C0.75 D0.814 （5 分）若函数 f（x ）满足 f（x）f（x ）=2xe x（e 为自然对数的底数） ，f（0）=1，其中 f（x）为 f（x ）的导函数，则当 x0 时， 的取值范围是（ ）A （ ，2 B （0，2 C （1，2 D （2，3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填写在答题纸相应的位置）.15 （5 分）记函数 f（x ） = 定义域为 D在区间4，5上随机
7、取一个数 x，则 xD 的概率是 16 （5 分）若函数 f（x ） = x3+ x2+2ax 在 ，+）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 17 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则|AB |= 18 （5 分）已知点 P 在曲线 y= 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19 （12 分）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A 2，A 3 和 3 个欧洲国家B1，B
8、2，B 3 中选择 2 个国家去旅游（1）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括B1 的概率20 （12 分）已知函数 f（ x）=alnx bx2，若函数 f（x）的图象在 x=1 处与直线y= 相切（）求实数 a，b 的值；（）求函数 f（x）在 ，e 上的最大值21 （12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并
9、整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例22 （12 分）设椭圆 + =1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知+ = ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，
10、且MOA=MAO ，求直线 l 的斜率23 （12 分）已知 f（x）=xlnx，g（x）= x2+ax3（）对一切 x（0 ，+） ，2f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）证明：对一切 x（ 0，+） ，都有 成立2017-2018 学年陕西省西安市长安高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）命题“若 ，则 tan=1”的否命题是（ ）A若 ，则 tan1 B若 ，则 tan1C若 tan1，则 D若 tan1 ，则 【解答】解：同时否定
11、条件和结论即可得命题的否命题，即若 ，则 tan1，故选：A2 （5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A抽签法 B系统抽样法 C分层抽样法 D随机数法【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C3 （5 分）双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B C D【解答】解：由对称性可取双曲线 的顶点（2，0） ，渐近线 ，则顶点到渐近线
12、的距离 d= 故选 C4 （5 分）设 f（x ）=xlnx，若 f（x 0）=2 ，则 x0 等于（ ）Ae 2 Be C Dln2【解答】解：f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1，由 f（x 0）=2，得 lnx0+1=2，即lnx0=1，则 x0=e，故选：B5 （5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg ）分别是 x1，x 2，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）Ax 1，x 2， ，x n 的平均数 Bx 1，x 2， ，x n 的标准差C x1，x 2，x n 的最大值 Dx 1，x 2，x n
13、 的中位数【解答】解：在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 C 中，最大值是一组数据最大的量，故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x
14、和 y 的值分别为（ ）A3 ，5 B5，5 C3，7 D5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为 65，故乙组数据的中位数也为 65，即 y=5，则乙组数据的平均数为：66，故 x=3，故选：A7 （5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【解答
15、】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确；故选：A8 （5 分）根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0得到了回归方程 = x+ ，则（ ）A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0【解答】解：样本平均数 =5.5， =0.25， =
16、24.5， =17.5，b= =1.4，a=0.25（1.4）5.5=7.95，故选：A9 （5 分） “a=1”是“函数 y=cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：函数 y=cos2axsin2ax=cos2ax，它的周期是 ，a=1显然“a=1”可得“函数 y=cos2axsin2ax 的最小正周期为 ”后者推不出前者，故选 A10 （5 分）如图是函数 y=f（x）的导函数 y=f（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）A在区间（2，1）内 f（ x）是增函数 B在（1 ，3）内 f（x）是减函数
17、C在（4，5）内 f（x）是增函数 D在 x=2 时 f（x）取到极小值【解答】解：由图象知当 x2 或 x4 时，f （x）0，函数为增函数，当3 x 或 2x4 时，f（x ）0，函数为减函数，则当 x= 或 x=4 函数取得极小值，在 x=2 时函数取得极大值，故 ABD 错误，正确的是 C，故选：C11 （5 分）已知命题 p：xR ，e xx+1 ；命题 q：若 a2b 2，则 ab下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q【解答】解：当 x=0 时，e xx+1 成立，即命题 p 是真命题，当 a=0，b= 1 时，满足 a2b 2，但 ab 不成立，即命题 q
18、 是假命题则 pq 为真命题，其余为假命题故选：B12 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，可得 c=2， ，即 ， ，解得 a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为： 故选：D13 （5 分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机
19、数，指定 0、1 表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7 、8、9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为（ ）A0.852 B0.8192 C0.75 D0.8【解答】解：由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示射击 4 次至
20、少击中 3 次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共 15 组随机数，所求概率为 0.75故选：C14 （5 分）若函数 f（x ）满足 f（x）f（x ）=2xe x（e 为自然对数的底数） ，f（0）=1，其中 f（x）为 f（x ）的导函数，则当 x0 时， 的取值范围是（ ）A （ ，2 B （0，2 C （1，2 D （2，3【解答】解：由题意， （ ）=2x ， =x2+b，f（ x）= （x 2+b）e x，f（ 0）=1，b=1，f（ x）= （x 2+1）e
21、x，f（x ）=（x+1） 2ex，当 x0 时， =1+ 2，当且仅当 x=1 时取等号，当 x0 时， 的最大值为 2，x+时， =1+ 1，故 1 2，故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填写在答题纸相应的位置）.15 （5 分）记函数 f（x ） = 定义域为 D在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是 【解答】解：由 6+xx20 得 x2x60，得2x3，则 D=2，3，则在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率 P= = ，故答案为：16 （5 分）若函数 f（x ） = x3+ x2+2ax 在 ，+）上存在单调递增区
22、间，则a 的取值范围是 【解答】解：函数 f（x） = x3+ x2+2ax，f（x ）=x 2+x+2a=（x ） 2+ +2a当 x ，+ ）时，f（x）的最大值为 f（ ）=2a+ ，令 2a+ 0，解得 a，所以 a 的取值范围是 故答案为： 17 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则|AB |= 12 【解答】解：由 y2=3x，得 2p=3，p= ，则 F（ ，0） ，过 A，B 的直线方程为 y= （x ） ，联立 ，得 16x2168x+9=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则
23、 ，|AB|= 故答案为：1218 （5 分）已知点 P 在曲线 y= 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值范围是 【解答】解：根据题意得 f（x ）= ， ，且 k0则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k1，又k=tan，结合正切函数的图象由图可得 ，故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19 （12 分）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A 2，A 3 和 3 个欧洲国家B1，B 2，B 3 中选择 2 个国家去旅游（1）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚
24、洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括B1 的概率【解答】解：（1）由题意知，从 6 个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 2，A 3） ， （A 1，B 1） ， （A 1， B2） ， （A 1，B 3） ， （A 2，B 1） ，（A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （A 3，B 3） ， （B 1，B 2） ， （B 1，B 3） ，（B 2，B 3） ，共 15 个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所
25、包含的基本事件有：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ，（A 2，A 3） ，共 3 个，这 2 个国家都是亚洲国家的概率 P= = ；（2）所 2 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B 3） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ，（A 2，B 3） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （A 3，B 3） ，共 9 个，包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：（ A1，B 2） ， （A 1，B 3） ，共 2个所以所求事件的概率为 20 （12 分）已
26、知函数 f（ x）=alnx bx2，若函数 f（x）的图象在 x=1 处与直线y= 相切（）求实数 a，b 的值；（）求函数 f（x）在 ，e 上的最大值【解答】解：（）由 f（x ）=alnx bx2，得 f（x）= 2bx，f（1）=a 2b，则 ，解得 a=1，b= ；（）由（）知，f（x ）=lnx x2f（x ）= x= （x 0） 当 x（ ， 1）时，f （x）0 ，当 x（1，e）时，f（x）0f（ x）在（ ，1）上为增函数，在（ 1，e ）上为减函数，则 f（x） max=f（1）= 21 （12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用
27、分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【解答】解：（）由频率分布直方图知：分数小于 70 的频率为：1（ 0.04+0.02）10=0.4故从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于
28、70 的概率为 0.4；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，故样本中分数小于 40 的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04 +0.02+0.02+0.01）100.05=0.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为 4000.05=20 人，（）样本中分数不小于 70 的频率为：0.6，由于样本中分数不小于 70 的男女生人数相等故分数不小于 70 的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于 70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：222 （12 分）设椭圆 + =1（a ）的右焦
29、点为 F，右顶点为 A，已知+ = ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，且MOA=MAO ，求直线 l 的斜率【解答】解：（1）由 + = ，得 + = ，即 = ，a a2（a 23）=3a（a 23） ，解得 a=2椭圆方程为 ；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x 2） ， （k0） ，设 B（x 1，y 1） ，M（x 0，k（x 02） ） ，MOA=MAO，x 0=1，再设 H（0 ，y H） ，联立 ，得（
30、3+4k 2）x 216k2x+16k212=0= （ 16k2） 24（3+4k 2） （ 16k212）=1440由根与系数的关系得 ， ， ，MH 所在直线方程为 yk（x 02）= （xx 0） ，令 x=0，得 yH=（k + ）x 02k，BFHF， ，即 1x1+y1yH=1 （k + ）x 02k=0，整理得： =1，即 8k2=3k= 或 k= 23 （12 分）已知 f（x）=xlnx，g（x）= x2+ax3（）对一切 x（0 ，+） ，2f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）证明：对一切 x（ 0，+） ，都有 成立【解答】 （）解 对一切 x（0，+）
31、，有 2xln xx 2+ax3，则 a2ln x+x+ ，设 h（x）=2ln x+x+ （x0） ，则 h（x）= ，当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）是减少的，当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）是增加的，所以 h（x） min=h（1）=4因为对一切 x（0 ，+） ，2f（x）g（x）恒成立，所以 ah（x） min=4（5 分） （）证明：问题等价于 xln x （x（0，+） ） ，f（x）=xln x（x （0，+） ）的最小值是 ，当且仅当 x= 时取到，设 m（x）= （x （0， +） ） ，则 m（x ）= ，易知 m（x ） max=m（1）= ，当且仅当 x=1 时取到从而对一切 x（0 ，+） ，都有 ln x 成立 （12 分）
