1、2017-2018 学年西安市长安高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1 （5 分）设复数 z 满足（ 1+i）z=2i，则|z|= （ ）A B C D22 （5 分）已知命题“x R，2x 2+（a1）x+ 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （1，3） C （ 3，+） D （3，1）3 （5 分）在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常
2、行驶速度为 90km/h120km/h ，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A30 辆 B300 辆 C170 辆 D1700 辆4 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+3+n2= ，则当 n=k+1 时左端应在 n=k的基础上加上（ ）Ak 2+1 B （k+1） 2C D （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+（k+1） 25 （5 分）已知正四面体 ABCD 的棱长为 a点 E，F 分别是棱 AC，BD 的中点，则 的值是（ ）Aa 2 B a2 C a2 D a26 （5 分）直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的
3、面积为（ ）A4 B4 C2 D27 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8 （5 分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 5，乙组数据的平均数为 16.8，则x，y 的值分别为（ ）A2 ，5 B5，5 C5，8 D8，89 （5 分）已知命题 p：x
4、 2+2x30；命题 q：x a ，且q 的一个充分不必要条件是p，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 B1，+ ） C 1，+） D （，310 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2，CC 1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为（ ）A2 B C D111 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）与直线 交于 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，其中 x10，y 10，x 20，y 20，若 ，且MNQ=30，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A By=x Cy=2x D12 （5 分）设函数 f（x ） =
5、ex（2x1） ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得 f（ x0）0，则 a 的取值范围是（ ）A ） B ） C ） D ）二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13 （5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5 ：5 ：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生14 （5 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为 15
6、（5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x R）的导函数， f（1）=0，当x0 时，xf（x）f （x ）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是 16 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知 p：“ 直线 x+ym=0 与圆（x 1） 2+y2=1 相交”；q：“ 方程mx2x+m4=0 有一正根和一负根 ”若
7、 p 或 q 为真，非 p 为真，求实数 m 的取值范围18 （12 分）已知函数 f（ x）=alnx bx2，若函数 f（x）的图象在 x=1 处与直线y= 相切（）求实数 a，b 的值；（）求函数 f（x）在 ，e 上的最大值19 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=9（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB
8、平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值21 （12 分）一张坐标纸上涂着圆 E：（x+1） 2+y2=8 及点 P（1，0） ，折叠此纸片，使 P 与圆周上某点 P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与 EP的交点为M（1）求 M 的轨迹 C 的方程；（2）直线 l：y=kx+m 与 C 的两个不同交点为 A，B，且 l 与以 EP 为直径的圆相切，若 ，求ABO 的面积的取值范围22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a=1 时，证明： 对于任意的 x1，2成立2017-2018 学年陕西省西安市长安高二（上）期末
9、数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1 （5 分）设复数 z 满足（ 1+i）z=2i，则|z|= （ ）A B C D2【解答】解：（1+i）z=2i ，（1 i） （1+i）z=2i （1i） ，z=i+1则|z|= 故选：C2 （5 分）已知命题“x R，2x 2+（a1）x+ 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （1，3） C （ 3，+） D （3，1）【解答】解：“ xR，2x 2+（a 1）x + 0”的否定为“ xR，“xR ，2x
10、 2+（a1）x+ ”为假命题 “为真命题即 恒成立解得1a 3故选 B3 （5 分）在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h120km/h ，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A30 辆 B300 辆 C170 辆 D1700 辆【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02 ）10=0.85，估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2
11、0000.85=1700（辆） 故选：D4 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+3+n2= ，则当 n=k+1 时左端应在 n=k的基础上加上（ ）Ak 2+1 B （k+1） 2C D （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+（k+1） 2【解答】解：当 n=k 时，等式左端=1+2+k 2，当 n=k+1 时，等式左端=1+2+k 2+k2+1+k2+2+（ k+1） 2，增加了项（k 2+1）+（k 2+2）+（ k2+3）+ +（k+1） 2故选 D5 （5 分）已知正四面体 ABCD 的棱长为 a点 E，F 分别是棱 AC，BD 的中点，则 的值是（ ）Aa 2 B a2 C
12、 a2 D a2【解答】解：如图所示，正四面体 ABCD 的棱长为 a点 E，F 分别是棱 AC，BD 的中点， ， =a2cos60= = 故选：C6 （5 分）直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A4 B4 C2 D2【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8） ，所以曲线 y=x3 与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是 02（4x x3）dx，而 02（4xx 3）dx= （2x 2 x4）| 02=84=4曲封闭图形的面积是 4，故选 B7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你
13、们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良， （若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已
14、的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D8 （5 分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 5，乙组数据的平均数为 16.8，则x，y 的值分别为（ ）A2 ，5 B5，5 C5，8 D8，8【解答】解：甲组数据分别为：9，12，10+x ，24，27；乙组数据分别为：9，15，10+y ，18，24因为甲组的中位数为 15，所以 10+x=15，所以 x
15、=5；因为乙组的平均数为 16.8，所以 =16.8，所以 y=8，故选：C9 （5 分）已知命题 p：x 2+2x30；命题 q：x a ，且q 的一个充分不必要条件是p，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 B1，+ ） C 1，+） D （，3【解答】解：由 p：x 2+2x30 ，知 x3 或 x1，则p 为 3x 1，q 为xa，又p 是q 的充分不必要条件，所以 a1故选：B10 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2，CC 1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为（ ）A2 B C D1【解答】解：如图：连接 AC，交
16、BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OEC 1A，从而 C1A平面 BDE，直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离，设为 h，在三棱锥 EABD 中，V EABD= SABD EC= 22 =在三棱锥 ABDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ， SEBD = 2 =2V ABDE= SEBD h= 2 h=h=1故选 D11 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）与直线 交于 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，其中 x10，y 10，x 20，y 20，若 ，且MNQ=30，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A By=x Cy=
17、2x D【解答】解：设 MN 的中点为 H，MN 与 x 轴交于 P，由直线 ，可得 P（ ，0） ，由 y= xm 代入双曲线的方程，可得：（b 23a2）x 22 ma2xa2b2a2m2=0，设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，可得 x1+x2= ，可得 MN 的中点 H（ ， ） ，若 ，则 O 为 MQ 的中点，由 OH 为MNQ 的中位线，可得MNQ=MHO=30，又MPO=180120=60 ，HPO 为等腰三角形，且 PO=PH，OH= PO，即有（ ） 2+（ ） 2=3 ，化为 a=b，则双曲线的渐近线方程为 y= x，即为 y=x故选：B12 （5 分）设
18、函数 f（x ） =ex（2x1） ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得 f（ x0）0，则 a 的取值范围是（ ）A ） B ） C ） D ）【解答】解：设 g（x）=e x（2x 1） ，y=ax a，由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g（x 0）在直线 y=axa 的下方，g（x）=e x（2x1）+2e x=ex（2x+1） ，当 x 时，g （x）0，当 x 时，g（x）0，当 x= 时， g（x）取最小值 2 ，当 x=0 时，g（0）=1，当 x=1 时，g（1）=e0，直线 y=axa 恒过定点（1，0）且斜率为 a，故a g（0） =1 且 g（1） =3e1
19、 aa，解得 a1故选：D二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13 （5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5 ：5 ：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为= ，故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300 =60，故答案为：6014 （5 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是 27，且用料
20、最省，则圆柱的底面半径为 3 【解答】解：设圆柱的高为 h，半径为 r则由圆柱的体积公式可得，r 2h=27S 全面积 =r2+2rh= =（法一）令 S=f（r） ， （r 0）=令 f（r ）0 可得 r3，令 f（r ）0 可得 0r3f（ r）在（0，3）单调递减，在 3，+）单调递增，则 f（r）在 r=3 时取得最小值（法二）：S 全面积 =r2+2rh= = =27当且仅当 即 r=3 时取等号当半径为 3 时，S 最小即用料最省故答案为：315 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x R）的导函数， f（1）=0，当x0 时，xf（x）f （x ）0，则使得 f（x
21、）0 成立的 x 的取值范围是 （，1）（0，1） 【解答】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x ）= ，当 x0 时总有 xf（x） f（x）成立，即当 x0 时，g（x ）恒小于 0，当 x0 时，函数 g（x）= 为减函数，又g （ x）= = = =g（x） ，函数 g（x ）为定义域上的偶函数又g （ 1）= =0，函数 g（x ）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式 f（x ）0 xg（x）0 或 ，0x1 或 x1 f（ x）0 成立的 x 的取值范围是（， 1）（0，1） 故答案为：（，1）（0，1） 16 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：
22、 =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 【解答】解：双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，与抛物线 C2：x 2=2py 联立，可得 x=0 或 x= ，取 A（ ， ） ，设垂心 H（0， ） ，则 kAH= = ，OAB 的垂心为 C2 的焦点， （ ）=1，5a 2=4b2，5a 2=4（c 2a2）e= = 故答案为： 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知 p：“ 直线 x+ym=0 与圆
23、（x 1） 2+y2=1 相交”；q：“ 方程mx2x+m4=0 有一正根和一负根 ”若 p 或 q 为真，非 p 为真，求实数 m 的取值范围【解答】解：对 p：直线与圆相交，d= 1 +1m +1对 q：方程 mx2x+m4=0 有一正根和一负根，令 f（ x）=mx 2x+m4， 或 ，解得 0m4又p 为真，p 假又p 或 q 为真，q 为真由数轴可得 +1m4故 m 的取值范围是 +1m418 （12 分）已知函数 f（ x）=alnx bx2，若函数 f（x）的图象在 x=1 处与直线y= 相切（）求实数 a，b 的值；（）求函数 f（x）在 ，e 上的最大值【解答】解：（）由 f
24、（x ）=alnx bx2，得 f（x）= 2bx，f（1）=a 2b，则 ，解得 a=1，b= ；（）由（）知，f（x ）=lnx x2f（x ）= x= （x 0） 当 x（ ， 1）时，f （x）0 ，当 x（1，e）时，f（x）0f（ x）在（ ，1）上为增函数，在（ 1，e ）上为减函数，则 f（x） max=f（1）= 19 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=9（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值【解答
25、】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（ ，0） ，故直线 AB 的方程为 y=2 x p，联立 ，可得 4x25px+p2=0x 1x 2，p 0，=25p 216p2=9p20，解得 ，x 2=p经过抛物线焦点的弦|AB|=x 1+x2+p= p=9，解得 p=4抛物线方程为 y2=8x；（2）由（1）知，x 1=1，x 2=4，代入直线 y=2 x4 ，可求得 ， ，即 A（1， 2 ） ，B（4，4 ） ， = + =（1， 2 ）+ （4，4 ）= （4 +1，4 2 ） ，C （4+1， 4 2 ） ，C 点在抛物线上，故 ，解得：=0 或 =220 （12 分）如图，在四棱锥
26、PABCD 中，ABCD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值【解答】 （1）证明：BAP=CDP=90，PA AB，PDCD，ABCD，ABPD，又PA PD=P，且 PA平面 PAD，PD平面 PAD，AB平面 PAD，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，由（1）知 AB平面 PAD，ABAD，则四边形 ABCD 为矩形，在APD 中，由 PA=PD，APD=90，可得PAD 为等腰直角三角形，设 PA=AB=2a
27、，则 AD= 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE ，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则：D（ ） ，B（ ） ，P （0， 0， ） ，C（ ） ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 y=1，得 AB平面 PAD，AD 平面 PAD，AB PD，又 PDPA，PAAB=A ，PD平面 PAB，则 为平面 PAB 的一个法向量， cos = = 由图可知，二面角 APBC 为钝角，二面角 APBC 的余弦值为 21 （12 分）一张坐标纸上涂着圆 E：（x+1） 2+y2=8 及点 P（1，0） ，
28、折叠此纸片，使 P 与圆周上某点 P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与 EP的交点为M（1）求 M 的轨迹 C 的方程；（2）直线 l：y=kx+m 与 C 的两个不同交点为 A，B，且 l 与以 EP 为直径的圆相切，若 ，求ABO 的面积的取值范围【解答】解：（1）折痕为 PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，由题意知圆 E 的半径为 2 ，|ME|+|MP|=|ME |+|MP|=2 |EP|，E 的轨迹是以 E、P 为焦点的椭圆，且 a= ，c=1，b 2=a2c2=1，M 的轨迹 C 的方程为 =1（2）l 与以 EP 为直径的圆 x2+y2=1 相切，则 O 到 l 即直线 A
29、B 的距离：=1，即 m2=k2+1，由 ，消去 y，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m22=0，直线 l 与椭圆交于两个不同点，=16k 2m28（1+2k 2） （m 21）=8k 20，k 20，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= ，又 =x1x2+y1y2= ， ， ，= ，设 =k4+k2，则 ， = ， ，S AOB 关于 在 ，2 单调递增， ，AOB 的面积的取值范围是 ， 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a=1 时，
30、证明： 对于任意的 x1，2成立【解答】 （1）解：由 f（x ）=a（xlnx）+ ，得 f（x）=a（1 ）+ = （x0） 若 a0，则 ax220 恒成立，当 x（0，1）时，f （x ）0，f（x）为增函数，当 x（1，+）时，f （x）0 ，f（x）为减函数；当 a0，若 0a2 ，当 x（0，1）和（ ，+ ）时，f（x ）0，f（x）为增函数，当 x（1， ）时，f （x）0 ，f（x）为减函数；若 a=2，f（x）0 恒成立，f（x ）在（0，+）上为增函数；若 a2，当 x（0， ）和（1，+）时，f（x）0，f （x）为增函数，当 x（ ， 1）时，f （x）0 ，f（x
31、）为减函数；（2）证明：a=1，令 F（x）=f（x）f （x）=x lnx+ 1+ + =xlnx+ + 1令 g（ x）=xlnx，h（x）= + 1则 F（x）=f（x）f （x）=g（x）+h（x） ，由 g（x）= 0，可得 g（x ）g （1）=1 ，当且仅当 x=1 时取等号；又 h（x ）= ，设 （x）= 3x22x+6，则 （x）在1，2上单调递减，且 （1 ）=1，（2）=10，在1，2上存在 x0，使得 x（1，x 0） 时 （x 0）0，x （x 0，2）时，（x 0）0，函数 h（x）在（1，x 0）上单调递增；在（x 0，2 ）上单调递减，由于 h（1）=1，h（2）= ，因此 h（x ）h （2）= ，当且仅当 x=2 取等号，f（ x）f （x）=g（x ）+h（x）g（1）+h （2）= ，F（x） 恒成立即 f（x）f（x）+ 对于任意的 x1，2成立
