1、2017-2018 学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 zi=1+i,则 z=( )A1 +i B1i C1+i D 1i2 (5 分)抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1,则 a 的值为( )A B2 C D 43 (5 分)已知命题 p: xR,x 2x+10命题 q:若 a2b 2,则 ab,下列命题为真命题的是( )Ap q Bpq Cp q Dp q4 (5 分)过点(3,0)的直线与双曲线 有唯
2、一公共点,这样的直线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条5 (5 分) 九章算术有这样一道题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第天也进一尺以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺,现用程序框图描述该问题,则输出 n=( )A2 B4 C6 D86 (5 分)以下四个命题,其中正确的是( )A由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有 99%的可能物理优秀B两个随机变量相关系越强,则相关系数的绝对值越
3、接近于 0C在线性回归方程 =0.2x+12 中,当变量 x 每增加 1 个单位时,变量 平均增加 0.2 个单位D线性回归方程对应的直线 = x+ 至少经过其样本数据点中的一个点7 (5 分)甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示, 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s ,s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A ,s B = ,s C = ,s = D = ,s 8 (5 分)过点(2,2)且与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是( )A B C D9 (5 分)椭圆 =1 中,以点 M(1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A B C
4、D10 (5 分)已知 F1,F 2 分别是双曲线的左、右焦点,点 F2 关于渐近线的对称点P 恰好落在以 F1 为圆心、|OF 1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A3 B C2 D11 (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( )A2 B3 C6 D812 (5 分)如图所示,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线 l点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3 ,则此抛物线的方程为( )Ay 2=9x By 2=6x Cy 2=3x D二、填空题(每题 5 分,满分 20
5、分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)双曲线 的焦距为 14 (5 分)有一个游戏,将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人,每人一张,并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片;乙说:甲或丙拿到标有 2 的卡片;丙说:标有1 的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有 3 的卡片结果显示:这 4 人的预测都不正确,那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 、 、 、 15 (5 分)已知点 P 为抛物线 C:y 2=4x 上一点,记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1,点 P 到圆(x+2) 2+(y +4) 4=4
6、上点的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 16 (5 分)下列说法中命题“已知 x,yR,若 x+y3,则 x2 或 y1”是真命题;命题“若 p,则 q”的否命题为 “若 q,则 p”;若 ab,则 ;命题“ ”的否定为“x R,x 21”正确说法的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知命题 A:方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题B:实数 t 使得不等式 t23t40 成立(1)若命题 A 中的椭圆的离心率为 ,求实数 t 的值;(2)命题 A 是命题 B 的什么条件18 (12 分)某高校在今年的自主
7、招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组号 分组 频数 频率1 75,80) 5 0.052 80,85) 35 0.353 85,90) a b4 90,95) C d5 95,100) 10 0.1(1)求 a,b,c,d 的值(2)该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试,则每组应各抽多少名学生?(3)在(2)的前提下,从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试,求这 2 名学生来自同一组的概率19 (12 分)已知关于 x 的一次函数 y=mx+n(1)设集合 P=2,1,1,2,3和 Q=2,3,
8、分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率;(2)实数 m,n 满足条件 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率20 (12 分)已知抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F,准线与 y 轴的交点为 Q,过点Q 的直线 l,抛物线 C 相交于不同的 A,B 两点(1)若 ,求直线 l 的方程;(2)若点 F 在以 AB 为直径的圆外部,求直线 l 的斜率的取值范围21 (12 分)已知 F1,F 2 分别是椭圆 的左、右焦点,离心率为 ,M,N 分别是椭圆的上、下顶点, (1)求椭圆 E 的方程;(2)若直线 y=kx+m 与椭圆
9、E 交于相异两点 A,B,且满足直线 MA,MB 的斜率之积为 ,证明:直线 AB 恒过定点,并采定点的坐标22 (12 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为(1)求圆 C 的直角坐标方程:(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为 ,求|PA |+|PB|2017-2018 学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四
10、个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 zi=1+i,则 z=( )A1 +i B1i C1+i D 1i【解答】解:由 zi=1+i,得 z= ,故选:B2 (5 分)抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1,则 a 的值为( )A B2 C D 4【解答】解:根据题意,抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1,则有 =1,解可得 a=4;故选:D3 (5 分)已知命题 p: xR,x 2x+10命题 q:若 a2b 2,则 ab,下列命题为真命题的是( )Ap q Bpq Cp q Dp q【解答】解:命题 p:x=0 R,使 x2x+10
11、成立故命题 p 为真命题;当 a=1,b= 2 时,a 2b 2 成立,但 ab 不成立,故命题 q 为假命题,故命题 pq,pq,pq 均为假命题;命题 pq 为真命题,故选:B4 (5 分)过点(3,0)的直线与双曲线 有唯一公共点,这样的直线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【解答】解:根据题意,直线过点(3,0) ,设直线的方程为 y=k(x3) ,双曲线的方程为 ,即 x24y24=0,则有 x24k2(x3) 24=0,变形可得:(14k 2)x 224k2x36k2=0,分析可得:当 14k2=0,即 k= 时,方程有 1 解,即直线与双曲线只有一个交点,当 14k2
12、0,即 k 时,有= (24k 2) 24(14k 2) (36k 2)=144k 20,当 k=0 时,直线为 x=0,与双曲线有 2 个交点,不符合题意;当 k0 时,方程有 2 个根,直线与双曲线有 2 个交点,不符合题意;则过点(3,0)与双曲线唯一公共点的直线有 2 条,故选:B5 (5 分) 九章算术有这样一道题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第天也进一尺以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺,现用程序框图描述该问题,则输出 n=( )
13、A2 B4 C6 D8【解答】解:模拟程序的运行,可得S=0,a=1 ,n=1S=2不满足条件 S16,执行循环体, a= ,n=2,S=4+不满足条件 S16,执行循环体, a= ,n=4,S=8+不满足条件 S16,执行循环体, a= ,n=8,S=16+满足条件 S16,退出循环,输出 n 的值为 8故选:D6 (5 分)以下四个命题,其中正确的是( )A由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有 99%的可能物理优秀B两个随机变量相关系越强,则相关系数的绝对值越接近于 0C在线性回归方程 =0.2x+12 中,当变量 x 每增加 1 个单位时
14、,变量 平均增加 0.2 个单位D线性回归方程对应的直线 = x+ 至少经过其样本数据点中的一个点【解答】解:对于 A,有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,是指“不出错的概率”,不是“数学成绩优秀,物理成绩就有 99%的可能优秀”,A 错误;对于 B,根据随机变量的相关系数知,两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1,B 正确;对于 C,根据线性回归方程 =0.2x+12 中,当变量 x 每增加 1 个单位时,预报变量 平均增加 0.2 个单位,C 正确;对于 D,线性回归方程对应的直线 = x+ 可能不经过其样本数据点中的任何一个点,D 错误故选:C7 (5 分)甲、乙
15、两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示, 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s ,s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A ,s B = ,s C = ,s = D = ,s 【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;甲运动员成绩的平均数是 = (9+14+15 +15+16+21)=15,方差是 = (915) 2+(14 15) 2+2(15 15) 2+(1615) 2+(2115 ) 2=;乙运动员成绩的平均数是 = (8+13+15 +15+17+22)=15,方差是 = (815) 2+(13 15) 2+2(15 15) 2+(1715)
16、2+(2215 ) 2=; = , 故选:D,8 (5 分)过点(2,2)且与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是( )A B C D【解答】解:根据题意,要求双曲线与双曲线 有共同渐近线,设其方程为: y2=t, ( t0)又由点(2,2)在双曲线上,则有 (2) 2=t,解可得 t=2,则双曲线的方程为 ;故选:A9 (5 分)椭圆 =1 中,以点 M(1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A B C D【解答】解:设弦的两端点为 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,代入椭圆得 ,两式相减得 ,即 ,即 ,即 ,即 ,弦所在的直线的斜率为 ,故选:B10 (5 分)已知 F1,
17、F 2 分别是双曲线的左、右焦点,点 F2 关于渐近线的对称点P 恰好落在以 F1 为圆心、|OF 1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A3 B C2 D【解答】解:由题意,设双曲线的方程为 ,F1(c,0) ,F 2(c,0) ,设一条渐近线方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离为 =b设 F2 关于渐近线的对称点为 P,F 2P 与渐近线交于 A,可得|PF 2|=2b,A 为 F2P 的中点,又 O 是 F1F2 的中点,OAF 1P,则F 1PF2 为直角,由MF 1F2 为直角三角形,由勾股定理得 4c2=c2+4b2即有 3c2=4( c2a2) ,即为 c2=4a2,即
18、 c=2a,则 e= =2故选:C11 (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( )A2 B3 C6 D8【解答】解:由题意,F(1,0) ,设点 P(x 0,y 0) ,则有 ,解得,因为 , ,所以 = ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=2,因为2x 02,所以当 x0=2 时, 取得最大值 ,故选 C12 (5 分)如图所示,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线 l点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3 ,则此抛物线的方程为( )Ay 2=9x By 2=6x C
19、y 2=3x D【解答】解:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故BCD=30,在直角三角形 ACE 中,| AE|=3,|AC|=3+3a,2|AE |=|AC|3+3a=6,从而得 a=1,BDFG, = 求得 p= ,因此抛物线方程为 y2=3x故选 C二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)双曲线 的焦距为 2 【解答】解:根据题意,双曲线的方程为 ,其中 a=2,b=3,则 c= = ,则双曲线的焦距 2c=2 ;故答案为:2 14 (5 分)有一个游戏,
20、将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人,每人一张,并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片;乙说:甲或丙拿到标有 2 的卡片;丙说:标有1 的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有 3 的卡片结果显示:这 4 人的预测都不正确,那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4 、 2 、 1 、 3 【解答】解:乙丙丁所说为假甲拿 4,甲乙所说为假 丙拿 1,甲所说为假乙拿 2;故甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4,2,1,3,故答案为:4,2,1,315 (5 分)已知点 P 为抛物线 C:y 2=4x
21、上一点,记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1,点 P 到圆(x+2) 2+(y +4) 4=4 上点的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 3 【解答】解:抛物线 C: y2=4x 的焦点 F(1,0) ,准线 l:x= 1,设 PK准线 l,垂足为 K,由抛物线的定义可得|PF|=|PK |,圆(x+2) 2+(y+4 ) 4=4 的圆心为 M( 2,4) ,半径为 r=2,连接 FM,当 F,P,M 三点共线,取得最小值可得 d1+d2 的最小值为|FM| r= 2=3故答案为:316 (5 分)下列说法中命题“已知 x,yR,若 x+y3,则 x2 或 y1”是真命题;命题“若
22、 p,则 q”的否命题为 “若 q,则 p”;若 ab,则 ;命题“ ”的否定为“x R,x 21”正确说法的序号是 【解答】解:命题的逆否命题为若 x=2 且 y=1,则 x+y=3,为真命题,则原命题为真命题,故正确,题“若 p,则 q”的否命题为 “若p,则q”,故 错误;当 a0,b0 时,满足 ab ,则 ,即 不成立;故错误,命题“ ”的否定为“x R,x 21”为真命题故正确的是,故答案为:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知命题 A:方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题B:实数 t 使得不等式 t23t
23、40 成立(1)若命题 A 中的椭圆的离心率为 ,求实数 t 的值;(2)命题 A 是命题 B 的什么条件【解答】解:(1)由已知得: ,解得:1t3,若椭圆离心率为 ,即 e= = ,解得:t=2(2)命题 A 成立的条件为 1t3,由 t23t40 得1t 4,命题 B 成立的条件为1t4,由此可得命题 A 是命题 B 的充分不必要条件18 (12 分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组号 分组 频数 频率1 75,80) 5 0.052 80,85) 35 0.353 85,90) a b4 90,95) C d5
24、 95,100) 10 0.1(1)求 a,b,c,d 的值(2)该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试,则每组应各抽多少名学生?(3)在(2)的前提下,从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试,求这 2 名学生来自同一组的概率【解答】解:(1)由题意得 b=0.065=0.3,a=1000.3=30,d=10.050.35 0.30.1=0.2,c=1000.2=20(2)三个组共有 60 人,第三组应抽 6 人,第四组应抽 6 人,第五组应抽 6 人(3)记第三组抽出的 3 人分别 a,b,c,第四组抽出的 2 人分别 d,e ,第五组抽出的 1
25、人为 f,从这 6 人中随机抽取 2 人,基本事件包含 15 个基本事件,分别为:(a ,b ) , (a,c) , (a,d) , (a,e ) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b ,e ) ,(b,f) , (c,d) , (c,e ) , (c ,f) , (d ,e) , (d,f) , (e,f) 其中 2 人来自同一组的情况有 4 种分别为:(a,b ) , (a,c) , (b,c) , (d,e) ,2 人来自同一组的概率为 p= 19 (12 分)已知关于 x 的一次函数 y=mx+n(1)设集合 P=2,1,1,2,3和 Q=2,3,分别从集合 P 和
26、 Q 中随机取一个数作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率;(2)实数 m,n 满足条件 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率【解答】解:(1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为:=(2,2 ) , (2,3 ) , (1, 2) , (1,3) ,(1,2) , (1,3) , (2 , 2) , (2,3) , (3,2) ,(3,3)共 10 个基本事件(2 分)设使函数为增函数的事件空间为 A:则 A=(1,2) , (1,3) , (2, 2) , (2,3) , (3,2) ,(3,3)有 6 个基本事件(4 分)所以, (6 分)(2)m、n 满
27、足条件 m+n10 , 1m1,1n1 的区域如图所示:使函数图象过一、二、三象限的(m,n )为区域为第一象限的阴影部分所求事件的概率为 (12 分)20 (12 分)已知抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F,准线与 y 轴的交点为 Q,过点Q 的直线 l,抛物线 C 相交于不同的 A,B 两点(1)若 ,求直线 l 的方程;(2)若点 F 在以 AB 为直径的圆外部,求直线 l 的斜率的取值范围【解答】解:(1)由抛物线 C:x 2=4y,可得 Q( 0,1) ,且直线 l 斜率存在,可设直线 l:y=kx1,由 ,得:x 24kx+4=0,令=16k 2160,解得: k 1 或 k1
28、设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则有 x1+x2=4k,x 1x2=4,|AB|= = |AB|= ,k 41=15,解得 k=2,直线 l 的方程为:y= 2x1;(2)由(1)知,k1 或 k1,x 1+x2=4k,x 1x2=4,点 F 在以 AB 为直径的圆外部, =x1x2+y1y2(y 1+y2)+1= ,解得:k 22,即 又 k 1 或 k1,直线 l 的斜率的取值范围是( ,1)(1, ) 21 (12 分)已知 F1,F 2 分别是椭圆 的左、右焦点,离心率为 ,M,N 分别是椭圆的上、下顶点, (1)求椭圆 E 的方程;(2)若直线 y=kx+m 与椭
29、圆 E 交于相异两点 A,B,且满足直线 MA,MB 的斜率之积为 ,证明:直线 AB 恒过定点,并采定点的坐标【解答】 (1)解:由题知 F2(c,0) ,M(0,b) , N(0, b) ,可得, , ,由 e= ,得 a=2c,又 a2b2=c2, 由联立解得:a 2=4,b 2=3,椭圆 E 的方程为 ;(2)证明:由椭圆 E 的方程得,上顶点 M(0, ) ,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由题意知,x 10,x 20由 ,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 23)=0 , ,又 , 由 ,得 ,即: , ,化简得: 解得: 或 m= ,结合 x10,x 20,可得 m= 即直线 AB 恒过定点(0, 2 ) 22 (12 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为(1)求圆 C 的直角坐标方程:(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为 ,求|PA |+|PB|【解答】解:(1)圆的极坐标方程: ,转化为: 即: (2)将直线的参数方程 (t 为参数)代入圆的直角坐标方程得:,所以: , (t 1 和 t2 为 A、B 的参数) 故: