1、2017-2018 学年辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，每题只有一个正确答案）1 （5 分）在ABC 中， B=30，b=10，c=16，则 sinC 等于（ ）A B C D2 （5 分）已知数列a n满足 an+1= an，若 a4=8，则 a1 等于（ ）A1 B2 C64 D1283 （5 分）已知椭圆 x2+ =1（b0）的离心率为 ，则 b 等于（ ）A3 B C D4 （5 分）命题 p：若 a b，则 ac2bc 2；命题 q：x R，x 2x+10，则下列命题为真命题的 是（ ）Ap q Bpq C （p
2、 ）q Dp （q ）5 （5 分）函数 y= x2lnx 的单调递减区间为（ ）A （ 1，1） B （，1） C （ ，1）（0，1） D （0，1）6 （5 分）已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，则| PF1|等于（ ）A B C D7 （5 分）下列说法中正确的个数是（ ）x2 是 x22x0 的必要不充分条件；命题“如果 x=2，则 x2+5x+6=0”的逆命题是假命题；命题“若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2=0”A0 B1 C2 D38 （5 分）过抛物线 y2=4x 焦点 F 的一条直线与抛物
3、线交 A 点（A 在 x 轴上方） ，且|AF|=2，l 为抛物线的准线，点 B 在 l 上且 ABl，则 A 到 BF 的距离为（ ）A B2 C D9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c，若=2，b 2a2= ac，则 cosB 等于（ ）A B C D10 （5 分）函数 y=（x2） ex 的最值情况是（ ）A有最大值 e，无最小值 B有最小值 e，无最大值C有最大值 e，有最小值e D无最大值，也无最小值11 （5 分）函数 y=loga（ x3）+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny1=0 上，其中 mn0，则 的
4、最小值为（ ）A16 B24 C25 D5012 （5 分）已知数列a n中，a 1=2，na n+1（n+1）a n=1，nN *若对于任意的 nN*，不等式 a 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3 ，+） B （，3） C3，+） D （，3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 Z=2x6y1 的最大值是 14 （5 分）某船在 A 处测得灯塔 D 在其南偏东 60方向上，该船继续向正南方向行驶 5 海里到 B 处，测得灯塔在其北偏东 60方向上，然后该船向东偏南 30方向行驶 2 海里到 C 处，此时船到灯塔
5、 D 的距离为 海里 （用根式表示）15 （5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，2，a，b，c，8 成等比数列，则= 16 （5 分）斜率为 1 的直线与椭圆 +y2=1 相交与 A，B 两点，则|AB|的最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知函数 f（ x）= x3ax2+bx+9，且 f（x）=0 的两根分别为 1 和3（1）求 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的极值18 （12 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足ccos（ B）=（b2a）sin（ C）（1）
6、求角 C 的大小；（2）若 c= ，b=3，求ABC 的面积19 （12 分）2017 年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400 多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“ 一张网” ，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为+99.5（n N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓 “报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？20 （12 分）已知
7、函数 f（ x）=3xlnx +2（1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（2）对任意的 x1，都有 f（x）x 2cx，求实数 c 的取值范围21 （12 分）已知数列a n满足 n2 时，a 2n1+2an=an2+1，且 a1=2，a n1（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn=a12 +a22 +an2 的值22 （12 分）点 M（ ，1）在椭圆 C： =1（ab0）上，且点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知动直线 y=k（x+1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 P（ ，0） ，求证：为定值2017-2018 学年辽宁省
8、抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，每题只有一个正确答案）1 （5 分）在ABC 中， B=30，b=10，c=16，则 sinC 等于（ ）A B C D【解答】解：ABC 中，B=30，b=10，c=16，由正弦定理得， = ，sinC= = = 故选：D2 （5 分）已知数列a n满足 an+1= an，若 a4=8，则 a1 等于（ ）A1 B2 C64 D128【解答】解：数列a n满足 an+1= an，公比为 a 4=8，则 a1 =8，解得 a1=64故选：C3 （5 分）已知椭圆 x2+ =1（b
9、0）的离心率为 ，则 b 等于（ ）A3 B C D【解答】解：椭圆 x2+ =1（b0）的离心率为 ，可得 ，解得 b= 故选：B4 （5 分）命题 p：若 a b，则 ac2bc 2；命题 q：x R，x 2x+10，则下列命题为真命题的 是（ ）Ap q Bpq C （p ）q Dp （q ）【解答】解：当 c=0 时，若 ab ，则 ac2bc 2；不成立，故 p 是假命题，判别式=14=30，则x R，x 2x+10 不成立，即 q 是假命题，则 p（q）为真命题，其余为假命题，故选：D5 （5 分）函数 y= x2lnx 的单调递减区间为（ ）A （ 1，1） B （，1） C （
10、 ，1）（0，1） D （0，1）【解答】解：函数的定义域为 x0y=x ，令 x 0，由于 x0，从而得 0x 1，函数 y= x2x 的单调递减区间是（ 0，1） 故选 D6 （5 分）已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，则| PF1|等于（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，a=2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，可知：PF 2F 1F2，所以|PF 2|= = ，由双曲线的定义可知：|PF 1|PF2|=4，所以|PF 1|=4+ = 故选：A7 （5 分）下列说法中正确的
11、个数是（ ）x2 是 x22x0 的必要不充分条件；命题“如果 x=2，则 x2+5x+6=0”的逆命题是假命题；命题“若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2=0”A0 B1 C2 D3【解答】解：对于，解不等式 x22x0，得 x2 或 x0，x2 是 x22x0 的充分不必要条件，错误；对于，命题“ 如果 x=2，则 x2+5x+6=0”的逆命题是“如果 x2+5x+6=0，则 x=2”，解方程 x2+5x+6=0 得 x=2 或 x=3，逆命题是假命题，正确；对于，命题“ 若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2=0”， 正确
12、；综上，正确的命题是，共 2 个故选：C8 （5 分）过抛物线 y2=4x 焦点 F 的一条直线与抛物线交 A 点（A 在 x 轴上方） ，且|AF|=2，l 为抛物线的准线，点 B 在 l 上且 ABl，则 A 到 BF 的距离为（ ）A B2 C D【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点 F（1，0） ，准线为 l：x=1，设 A（x，y） ，由抛物线的焦点弦公式 |AF|=x+ ，则 x=1，A（1，2 ） ，则 BAF=90，ABF 为等腰三角形，则 A 到 BF 的距离为 ，故选 A9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c，若=2，b 2a2= ac，
13、则 cosB 等于（ ）A B C D【解答】解：ABC 中， =2，由正弦定理得 =2，c=2a；又 b2a2= ac，由余弦定理，得cosB= += +1= 故选：C10 （5 分）函数 y=（x2） ex 的最值情况是（ ）A有最大值 e，无最小值 B有最小值 e，无最大值C有最大值 e，有最小值e D无最大值，也无最小值【解答】解：y=f（x）=（x 2）e x，f（x）=（x1）e x，令 f（x）=xe x=0，解得 x=1，当 x1 时，f（x ）0，函数 f（x ）在（ ，1）上单调递减，当 x1 时，f（x ）0，函数 f（x ）在（1，+）上单调递增，f（ x） min=f
14、（1）=e，无最大值，故选：B11 （5 分）函数 y=loga（ x3）+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny1=0 上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）A16 B24 C25 D50【解答】解：令 x3=1，解得 x=4，y=1 ，则函数 y=loga（x3）+1（ a0 且 a1）的图象恒过定点 A（4，1） ，4m+n=1， =（ ） （4m+n）=16+1+ +17+2 =17+8=25，当且仅当 m=n= 时取等号，故则 的最小值为 25，故选：C12 （5 分）已知数列a n中，a 1=2，na n+1（n+1）a n=1，nN *若对于任意的
15、nN*，不等式 a 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3 ，+） B （，3） C3，+） D （，3【解答】解：数列a n中， a1=2，na n+1（n +1）a n=1，nN *可得 = = ，由 =1 ， = ， = ， ， = = ，上面各式相加可得，得 =1 ，则 =3 3，由对于任意的 nN*，不等式 a 恒成立，可得 a3，即有 a 的取值范围是3，+） 故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 Z=2x6y1 的最大值是 2 【解答】解：由 Z=2x6y1 得 y= x ，作出不等式组对应的平面
16、区域如图（阴影部分）：平移直线 y= x ，由图象可知当直线，过点 A 时，直线 y= x ，的截距最小，此时 z 最大，由 ，解得 A（1， ）代入目标函数 Z=2x6y1，得 z=232=2目标函数 Z=2x6y1 的最大值是 2故答案为：214 （5 分）某船在 A 处测得灯塔 D 在其南偏东 60方向上，该船继续向正南方向行驶 5 海里到 B 处，测得灯塔在其北偏东 60方向上，然后该船向东偏南 30方向行驶 2 海里到 C 处，此时船到灯塔 D 的距离为 海里 （用根式表示）【解答】解：由题意可得，结合图象可得，BAD=60，ABD=60，FBC=30，AB=5，BC=2，BD=AB
17、=5，DBE=30 ，DBC=60，由余弦定理可得 CD2=BC2+BD22BCCDcos60=25+4252 =19，CD= ，故答案为： 15 （5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，2，a，b，c，8 成等比数列，则= 【解答】解：1，x，y，4 成等差数列，3（x1）=41=3x1=1，yx=1，2 ，a ，b，c，8 五个实数成等比数列，b 2=（ 2）（8） ，b=4，b=4（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同） = 故答案为： 16 （5 分）斜率为 1 的直线与椭圆 +y2=1 相交与 A，B 两点，则|AB|的最大值为 【解答】解：设直线 l 的方程为
18、 y=x+t，代入椭圆 +y2=1，消去 y 得3x2+4tx+2t22=0，A，B 两点的横坐标为： x1，x 2；x1+x2= ，x 1x2= ，由题意得=（4t ） 212（2t 22）0，即 t23弦长|AB|= |x1x2|= = 当且仅当 t=0 时取得最大值 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知函数 f（ x）= x3ax2+bx+9，且 f（x）=0 的两根分别为 1 和3（1）求 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的极值【解答】解：（1）由题可知：f（x ）=x 22ax+b（2 分） ，且
19、 x22ax+b=0 的两根为 1 和 3，即 ，解得 a=2，b=3 所以 f（ x）= （4 分）（2）由（1）可知 f（x）=x 24x+3，f（x ）=0 的两根为 1 和 3，x1 时，f（x ）0，1 x3 时，f（x）0，x 3 时，f（x）0， （6 分） ，即 x=1 是 f（x）的极大值点，极大值 f（1）= （8 分）x=3 是 f（x ）的极小值点，极大值 f（3）=9（10 分）18 （12 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足ccos（ B）=（b2a）sin（ C）（1）求角 C 的大小；（2）若 c= ，b=3，求ABC 的面
20、积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABC 中，ccos（ B）=（b 2a）sin（ C） ，即ccosB=（b2a）cosC ， （1 分）由正弦定理得sinCcosB=（ sinB2sinA）cosC， （2 分）可得：sinBcosC +sinCcosB=2sinAcosC，可得：sin（ B+C）=sinA=2sinAcosC， （3 分）又因为在ABC 中，sinA0，所以 2cosC=1，即 cosC= ，所以 C= （6 分）（2）在ABC 中，c 2=b2+a22abcosC，所以 13=9+a23a，解得 a=4 或 a=1（舍去） ， （9 分）所以 SABC
21、 = absinC=3 （12 分）19 （12 分）2017 年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400 多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“ 一张网” ，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为+99.5（n N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓 “报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？【解答】解：设一共使用了 n 天，平均每天耗资
22、为 y 元，则 y= （3 分）= 2 +99.75=399.75（5 分）当且仅当 时， （8 分）即 n=600 时 y 取得最小值 399.75（元） （11 分） ，所以一共使用了 600 天，平均每天耗资 399.75 元（12 分）20 （12 分）已知函数 f（ x）=3xlnx +2（1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（2）对任意的 x1，都有 f（x）x 2cx，求实数 c 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x ）=3xlnx +2导数 f（x）=3lnx+3，函数 f（ x）在（1，f （1） ）处的切线的斜率 k 为 f（1）=3 +3ln1=3，
23、又因为 f（1）=2，即切点坐标为（ 1，2） ，所以切线方程为 y2=3（x 1） ，即 3xy1=0；（2）任意的 x1，都有 f（x）x 2cx，即 3xlnx+2x 2cx，可得 c =x3lnx ，设 h（x）=x 3lnx ，则 h（x ）=1 + = ，当 x1 时，h（x）0，1x 2 时，h（x）0，x2 时，h（x）0，即 h（x）的增区间为（ ，1 ）和（2，+） ，减区间为（1，2） ，所以当 x1 时，函数 h（x）有最小值 h（2）=13ln2，ch（ x）恒成立，即 c1 3ln221 （12 分）已知数列a n满足 n2 时，a 2n1+2an=an2+1，且
24、a1=2，a n1（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn=a12 +a22 +an2 的值【解答】解：（1）a 2n1+2an=an2+1，整理化简可得（a n1） 2a2n1=0，可得（a n1+an1） （a n1an1）=0 ，又因为 an1，所以 an1+an10，an1an1=0，即 anan1=1，所以a n是公差为 1，首项为 2 的等差数列，即有 an=a1+n1=n+1；（2）因为 Tn=a12 +a22 +an2=222+323+（n+1）2 n+1，2Tn=223+324+（n+1 ）2 n+2，两式相减得T n=8+23+24+2n+1（n+1）2 n+2=8+
25、（n+1）2 n+2，化简可得 Tn=n2n+222 （12 分）点 M（ ，1）在椭圆 C： =1（ab0）上，且点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知动直线 y=k（x+1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 P（ ，0） ，求证：为定值【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a2=5，b 2= ，即椭圆的方程为 + =1；（2）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为（1+3k 2） x2+6k2x+3k25=0，=36k 44（1 +3k2） （3k 25）=48k 2+200，x 1+x2= ，x 1x2= y 1y2=k2（x 1+1） （x 2+1）=k 2（x 1x2+x1+x2+1）=k 2（ + +1）= =（x 1+ ，y 1）（x 2+ ，y 2）=（x 1+ ） （x 2+ ）+y 1y2，=x1x2+ （x 1+x2）+ +y1y2，= += + ，=5+ ，=
