1、2017-2018 学年辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，每题只有一个正确答案）1 （5 分）在ABC 中， B=30，b=10，c=16，则 sinC 等于（ ）A B C D2 （5 分）已知数列a n满足 an+1= an，若 a4=8，则 a1 等于（ ）A1 B2 C64 D1283 （5 分）已知椭圆 x2+ =1（b0）的离心率为 ，则 b 等于（ ）A3 B C D4 （5 分）命题 p：若 a b，则 ac2bc 2；命题 q：x R，x 2x+10，则下列命题为真命题的 是（ ）Ap q Bpq C （p
2、 ）q Dp （q ）5 （5 分）设 =（2，2， 1）是平面 的法向量， =（ 3，4，2）是直线 l 的方向向量，则直线 l 与平面 的位置关系是（ ）A平行或直线在平面内 B垂直C相交但不垂直 D不能确定6 （5 分）已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，则| PF1|等于（ ）A B C D7 （5 分）下列说法中正确的个数是（ ）x2 是 x22x0 的必要不充分条件；命题“若 x=2，则向量 =（0，x，1）与向量 =（ 1，1，2）垂直”的逆否命题是真命题；命题“若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2
3、=0”A0 B1 C2 D38 （5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，2，a，b，c，8 成等比数列，则=（ ）A B C D9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c，若=2，b 2a2= ac，则 cosB 等于（ ）A B C D10 （5 分）已知数列a n是等差数列，a 2=3，a 7=13，则数列 的前 n项和为（ ）A B C D11 （5 分）函数 y=loga（ x3）+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny1=0 上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）A16 B24 C25 D5012 （5 分）已知数列
4、a n中，a 1=2，n（a n+1an）=a n+1，n N*若对于任意的t0， 1，n N*，不等式 2t 2（a+1）t +a2a+3 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ，1 ） （3，+ ） B （ ，21，+） C （ ，13，+） D1 ，3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 Z=2x6y1 的最大值是 14 （5 分）设 F1，F 2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点，P 在椭圆上，且满足F 1PF2=60，则PF 1F2 的面积是 15 （5 分）关于 x 的不等式（a 21）x 2（a1）x10
5、的解集是 R，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知抛物线 y2=8x 上有一条长为 9 的动弦 AB，则 AB 中点到 y 轴的最短距离为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）在ABC 中， A（ 4，0） ，B （4，0） ，点 C 运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点 C 的轨迹方程18 （12 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足ccos（ B）=（b2a）sin（ C）（1）求角 C 的大小；（2）若 c= ，b=3，求ABC 的面积19 （12 分）20
6、17 年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400 多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“ 一张网” ，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为+99.5（n N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓 “报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？20 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面ABC，AB=3， BC=4，AC=5，
7、AA 1=6（1）设 =m ，异面直线 AB1 与 BD 所成角的余弦值为 ，求 m 的值；（2）若 D 是 AC 的中点，求平面 BDC1 和平面 CDC1 所成锐二面角的余弦值21 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=an2+n1，且 an1（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn=a12 +a22 +an2 的值22 （12 分）点 M（ ，1）在椭圆 C： =1（ab0）上，且点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知动直线 y=k（x+1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 P（ ，0） ，求证：为定值2017-2018
8、学年辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，每题只有一个正确答案）1 （5 分）在ABC 中， B=30，b=10，c=16，则 sinC 等于（ ）A B C D【解答】解：ABC 中，B=30，b=10，c=16，由正弦定理得， = ，sinC= = = 故选：D2 （5 分）已知数列a n满足 an+1= an，若 a4=8，则 a1 等于（ ）A1 B2 C64 D128【解答】解：数列a n满足 an+1= an，公比为 a 4=8，则 a1 =8，解得 a1=64故选：C3 （5 分）已知椭圆 x2+
9、 =1（b0）的离心率为 ，则 b 等于（ ）A3 B C D【解答】解：椭圆 x2+ =1（b0）的离心率为 ，可得 ，解得 b= 故选：B4 （5 分）命题 p：若 a b，则 ac2bc 2；命题 q：x R，x 2x+10，则下列命题为真命题的 是（ ）Ap q Bpq C （p ）q Dp （q ）【解答】解：当 c=0 时，若 ab ，则 ac2bc 2；不成立，故 p 是假命题，判别式=14=30，则x R，x 2x+10 不成立，即 q 是假命题，则 p（q）为真命题，其余为假命题，故选：D5 （5 分）设 =（2，2， 1）是平面 的法向量， =（ 3，4，2）是直线 l 的
10、方向向量，则直线 l 与平面 的位置关系是（ ）A平行或直线在平面内 B垂直C相交但不垂直 D不能确定【解答】解：设 =（2 ，2，1）是平面 的法向量，=（ 3，4，2）是直线 l 的方向向量，=6+82=0，直线 l 与平面 的位置关系是平行或直线在平面内故选：A6 （5 分）已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，则| PF1|等于（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，a=2，点 P 是双曲线上一点，且 =0，可知：PF 2F 1F2，所以|PF 2|= = ，由双曲线的定义可知：
11、|PF 1|PF2|=4，所以|PF 1|=4+ = 故选：A7 （5 分）下列说法中正确的个数是（ ）x2 是 x22x0 的必要不充分条件；命题“若 x=2，则向量 =（0，x，1）与向量 =（ 1，1，2）垂直”的逆否命题是真命题；命题“若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2=0”A0 B1 C2 D3【解答】解：对于，由 x22x0，解得 x0 或 x2，x2 是 x22x0 的充分不必要条件，故错误；对于，当 x=2 时，0（ 1）+21 +1（ 2）=0， ，命题“若 x=2，则向量 =（0，x，1）与向量 =（ 1，1，2）垂直”是真命题，其逆否命
12、题是真命题，故正确；对于，命题“ 若 x1，则 x23x+20”的否命题是“若 x=1，则 x23x+2=0”，故正确说法正确的个数是 2故选：C8 （5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，2，a，b，c，8 成等比数列，则=（ ）A B C D【解答】解：1，x，y，4 成等差数列，3（x1）=41=3x1=1，yx=1，2 ，a ，b，c，8 五个实数成等比数列，b 2=（ 2）（8） ，b=4，b=4（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同） = 故选：A9 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c，若=2，b 2a2= ac，则 cos
13、B 等于（ ）A B C D【解答】解：ABC 中， =2，由正弦定理得 =2，c=2a；又 b2a2= ac，由余弦定理，得cosB= += +1= 故选：C10 （5 分）已知数列a n是等差数列，a 2=3，a 7=13，则数列 的前 n项和为（ ）A B C D【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 2=3，a 7=13，d=解得 d=2a n=a2+（n 2）d=3 +2（n 2）=2n1 = = （ ） 数列 的前 n 项和 Tn= （1 ）+（ ）+（ ）= （ 1 ）= 故选：B11 （5 分）函数 y=loga（ x3）+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A
14、 在直线 mx+ny1=0 上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）A16 B24 C25 D50【解答】解：令 x3=1，解得 x=4，y=1 ，则函数 y=loga（x3）+1（ a0 且 a1）的图象恒过定点 A（4，1） ，4m+n=1， =（ ） （4m+n）=16+1+ +17+2 =17+8=25，当且仅当 m=n= 时取等号，故则 的最小值为 25，故选：C12 （5 分）已知数列a n中，a 1=2，n（a n+1an）=a n+1，n N*若对于任意的t0， 1，n N*，不等式 2t 2（a+1）t +a2a+3 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ，1 ） （3
15、，+ ） B （ ，21，+） C （ ，13，+） D1 ，3【解答】解：根据题意，数列a n中，n（a n+1an）=a n+1，na n+1（n+1）a n=1， = = ， =（ ）+（ ）+ +（a 2a1）+a 1，=（ ）+（ ）+ +（1 ）+2=3 3， 2t 2（a+1）t+a 2a+3 恒成立，32t 2（a+1）t+a 2a+32t 2+（a +1）t a2+a0，在 t0，1上恒成立，设 f（a）=2t 2+（a+1）ta 2+a，t0，1， ，即 ，解得 a1 或 a3 ，故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若实数
16、x，y 满足 ，则 Z=2x6y1 的最大值是 2 【解答】解：由 Z=2x6y1 得 y= x ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 y= x ，由图象可知当直线，过点 A 时，直线 y= x ，的截距最小，此时 z 最大，由 ，解得 A（1， ）代入目标函数 Z=2x6y1，得 z=232=2目标函数 Z=2x6y1 的最大值是 2故答案为：214 （5 分）设 F1，F 2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点，P 在椭圆上，且满足F 1PF2=60，则PF 1F2 的面积是 【解答】解：由题意，F 1，F 2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F
17、 1F2|=2 ；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|22|F1P|PF2|cos60；故 12=（|F 1P|+|PF2|） 22|F1P|PF2|cos602|F1P|PF2|；故 12=163|F1P|PF2|；故|F 1P|PF2|= ；故PF 1F2 的面积 S= |F1P|PF2|sin60= ；故答案为： 15 （5 分）关于 x 的不等式（a 21）x 2（a1）x10 的解集是 R，则实数 a 的取值范围是 （ ，1 【解答】解：设函数 f（x ）=（a 21）x 2（a 1）x 1由题设条件关于 x 的不等式（a 21） x2（a1 ）x 10 的解集为
18、 R可得对任意的 x 属于 R都有 f（x）0又当 a1 时，函数 f（x ）是关于 x 的抛物线故抛物线必开口向下，且于 x 轴无交点故满足故解得 a1当 a=1 时f （x）=1成立综上，a 的取值范围为（ ，1；故答案为：（ ，116 （5 分）已知抛物线 y2=8x 上有一条长为 9 的动弦 AB，则 AB 中点到 y 轴的最短距离为 【解答】解：由题意知，设 y2=8x 的准线方程为 x=2，过 A 做 AA1l 于 A1过 B 做 BB1l 与 B1，设弦 AB 的中点为 M，过 M 做 MM1l 于 M1，则|MM 1|= ，|AB|AF|+|BF|， （F 为抛物线的焦点） ，
19、即|AF|+|BF|9，|AF|+|BF|=|AA 1|+|BB1|AA 1|+|BB1|9，2|MM 1|9，|MM 1| ，M 到 y 轴的最短距离为： 2= 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）在ABC 中， A（ 4，0） ，B （4，0） ，点 C 运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点 C 的轨迹方程【解答】解：2sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得 2a2b=c，即|CA|CB|=48= |AB|，由双曲线的定义可知点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支，且a=2，c
20、=4，b 2=c2a2=12顶点 C 的轨迹方程为： =1（x2 ） 18 （12 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足ccos（ B）=（b2a）sin（ C）（1）求角 C 的大小；（2）若 c= ，b=3，求ABC 的面积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABC 中，ccos（ B）=（b 2a）sin（ C） ，即ccosB=（b2a）cosC ， （1 分）由正弦定理得sinCcosB=（ sinB2sinA）cosC， （2 分）可得：sinBcosC +sinCcosB=2sinAcosC，可得：sin（ B+C）=sinA=2si
21、nAcosC， （3 分）又因为在ABC 中，sinA0，所以 2cosC=1，即 cosC= ，所以 C= （6 分）（2）在ABC 中，c 2=b2+a22abcosC，所以 13=9+a23a，解得 a=4 或 a=1（舍去） ， （9 分）所以 SABC = absinC=3 （12 分）19 （12 分）2017 年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400 多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“ 一张网” ，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备
22、，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为+99.5（n N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓 “报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？【解答】解：设一共使用了 n 天，平均每天耗资为 y 元，则 y= （3 分）= 2 +99.75=399.75（5 分）当且仅当 时， （8 分）即 n=600 时 y 取得最小值 399.75（元） （11 分） ，所以一共使用了 600 天，平均每天耗资 399.75 元（12 分）20 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面ABC，AB=3， BC=4，
23、AC=5，AA 1=6（1）设 =m ，异面直线 AB1 与 BD 所成角的余弦值为 ，求 m 的值；（2）若 D 是 AC 的中点，求平面 BDC1 和平面 CDC1 所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）在ABC 中，由 AB=3，BC=4 ，AC=5 ，得AB2+BC2=AC2， ABBC，又BB 1平面 ABC， ，以 BA，BC，BB 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A（3，0 ， 0） ，B（0 ，0，0） ，C（0，4，0） ，B 1（0，0， ） ，C1（0，4， ） =（ 3，4，0） ，又 ，点 D（3m+3，4m，0） ，=（ 3m+3，
24、4m，0） ， ，异面直线 AB1 与 BD 所成角的余弦值为 ，|cos ， |= ，解得 m= ；（2）D 是 AC 中点，D（ ） 设平面 BC1D 的法向量 ， ，则 ，取 x1=4，得 设平面 CC1D 的法向量 ， ，则 ，取 x2=4，得 cos = ，锐二面角 BDC1C 的余弦值为 21 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=an2+n1，且 an1（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn=a12 +a22 +an2 的值【解答】解：（1）当 n=1 时，2S 1=2a1= +11，a 11，解得 a1=2当 n2 时，2a n=2（S nSn1）
25、= +n1 ，化为：（a n+an11） （a nan11）=0 ，又 an1，a nan1=1，数列a n是公差为 1 的等差数列，公差为 1a n=2+（n1 ）=n+1（2）a n2 =（n+1）2 n+1T n=222+323+424+（n+1）2 n+1，2Tn=223+324+n2n+1+（n +1）2 n+2，两式相减得：T n=23+（2 3+24+2n+1）（n +1）2 n+2=8+ （n +1）2n+2=n2n+2，T n=n2n+222 （12 分）点 M（ ，1）在椭圆 C： =1（ab0）上，且点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知
26、动直线 y=k（x+1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 P（ ，0） ，求证：为定值【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a2=5，b 2= ，即椭圆的方程为 + =1；（2）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为（1+3k 2） x2+6k2x+3k25=0，=36k 44（1 +3k2） （3k 25）=48k 2+200，x 1+x2= ，x 1x2= y 1y2=k2（x 1+1） （x 2+1）=k 2（x 1x2+x1+x2+1）=k 2（ + +1）= =（x 1+ ，y 1）（x 2+ ，y 2）=（x 1+ ） （x 2+ ）+y 1y2，=x1x2+ （x 1+x2）+ +y1y2，= += + ，=5+ ，=
