1、2017-2018 学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=0，l，3，B=x|x 23x=0，则 AB=（ ）A0 B0，1 C 0，3 D0，1，32 （5 分） “x 2“是“x 2+2x80“成立的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）函数 的最大值是（ ）A 1 B1 C6 D74 （5 分）已知双曲线的中心为原点，F （3，0）是双曲线的 个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的
2、标准方程为（ ）A BC D5 （5 分）若直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 l 的是（ ）A BC D6 （5 分）A（ ，1）为抛物线 x2=2py（p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ）A B + C2 D +17 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（ ）A20 B21 C22 D238 （5 分）为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向右平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度9 （5 分）若 ， ，则 sin2 等于（ ）A B C D10
3、（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A B1 C2 D311 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A B9 C D1012 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 1，1，图象如图 1 所示；函数 g（x）的定义域为2，2，图象如图 2 所示，方程 f（g（x） ）=0 有 m 个实数根，方程g（ f（ x） ）=0 有 n 个实数根，则 m+n=（ ） A6 B8 C10 D12二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知 a0 ，b0，且 a+b=1，则 的最小值是 14 （5 分）已知向量 ， ，且 （ + ）
4、，则 y 的值为 15 （5 分）已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA，PB 是圆 x2+y22x2y+1=0 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为 16 （5 分）椭圆 上的任意一点 P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点 B1，B 2 的连线交 x 轴于点 M 和 N，则|OM|+|ON|的最小值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知 p：函数 y=x22x+a 在区间（1， 2）上有 1 个零点；q ：函数y=x2+（2a 3）x+1 图象与 x 轴交于不同的
5、两点若“pq”是假命题， “pq”是真命题，求实数 a 的取值范围18 （12 分）在数列a n中， a1= ，a n+1= an，n N*（1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列a n的前 n 项和 Sn19 （12 分）已知顶点在单位圆上的ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为a、 b、c ，且 2acosA=ccosB+bcosC（1）cosA 的值；（2）若 b2+c2=4，求ABC 的面积20 （12 分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市1565 岁的人群抽样了 n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数占本
6、组的概率第 1 组 15，25） 5 0.5第 2 组 25，35） a 0.9第 3 组 35，45） 27 x第 4 组 45，55） b 0.36第 5 组 55，65） 3 y（1）分别求出 a，b，x，y 的值；（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第2，3 ，4 组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率21 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点（1）求椭圆 E 的方程；（2）设不过原点 O 的直线 l：y=kx +m（k0）与
7、椭圆 E 交于 P，Q 两点，直线OP，OQ 的斜率分别为 k1，k 2，满足 4k=k1+k2，试问：当 k 变化时，m 2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由22 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，CDBD，AB=AD，E 为 BC 的中点（1）求证：AEBD；（2）设平面 ABD平面 BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角 BACD 的正弦值2017-2018 学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
8、 （5 分）已知集合 A=0，l，3，B=x|x 23x=0，则 AB=（ ）A0 B0，1 C 0，3 D0，1，3【解答】解：由 B 中方程变形得： x（x3）=0，解得：x=0 或 x=3，即 B=0，3 ，A=0，1，3，AB=0，3，故选：C2 （5 分） “x 2“是“x 2+2x80“成立的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由 x2+2x80 解得 x2，或 x 4“x2“是“x 2+2x80“ 成立的充分不必要条件故选：B3 （5 分）函数 的最大值是（ ）A 1 B1 C6 D7【解答】解：函数 ，其定义域为x| 3x 4，
9、显然存在最大值是大于 0 的，则 ，当 =0 时，y 取得最大值为 1故选：B4 （5 分）已知双曲线的中心为原点，F （3，0）是双曲线的 个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）A BC D【解答】解：双曲线的中心为原点，F（3 ，0）是双曲线的 个焦点，设双曲线方程为 ，a0， 是双曲线的一条渐近线， = ，解得 a2=4，双曲线方程为 故选 D5 （5 分）若直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 l 的是（ ）A BC D【解答】解：在 A 中， =2，不可能使 l ；在 B 中， =1+0+5=6，不可能使 l ；在 C 中， =1，不可能使 l ；
10、在 D 中， =03+3=0，有可能使 l故选：D6 （5 分）A（ ，1）为抛物线 x2=2py（p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ）A B + C2 D +1【解答】解：把 A（ ，1）代入抛物线方程得：2=2p，p=1抛物线的焦点为 F（0， ） 抛物线的准线方程为 y= A 到准线的距离为 1+ = AF= 故选：A7 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（ ）A20 B21 C22 D23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件 Sa，S=20+3=3，k=0 +1=1满足条件 Sa，S=23+3
11、=9，k=1 +1=2满足条件 Sa，S=29+3=21，k=2 +1=3由题意，此时，应该不满足条件 21a，退出循环，输出 k 的值为 3，从而结合选项可得输入的 a 的值为 20故选：A8 （5 分）为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向右平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【解答】解：由函数 y=sin（2x ）=sin2 （x ） ，且函数 y=cos2（ x）=cos（ 2x）=sin2x；为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象向右平移 个单位长度故选：D9 （5 分）若 ， ，则 sin2 等于（ ）A B C D【
12、解答】解：若 ， ，则 cos+ sin=2 （ cos2sin2） ，即 1=4（cossin ） ，平方可得 1=16（1sin2） ，sin2= ，故选：A10 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A B1 C2 D3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 设 k= ，则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知 OA 的斜率最大，由 ，解得 A（1，2） ，则 kOA= =2，即 的最大值为 2故选：C11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A B9 C D10【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与 球的组合体
13、圆柱的底面半径为 1，高为 3，球的半径为 1所以几何体的表面积为12+213+ + + =9故选 B12 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 1，1，图象如图 1 所示；函数 g（x）的定义域为2，2，图象如图 2 所示，方程 f（g（x） ）=0 有 m 个实数根，方程g（ f（ x） ）=0 有 n 个实数根，则 m+n=（ ） A6 B8 C10 D12【解答】解：由图象可知，若 f（g（x） ）=0，则 g（ x）= 1 或 g（x）=0 或 g（x ）=1；由图 2 知，g（x）=1 时，x= 1 或 x=1；g（ x）=0 时，x 的值有 3 个；g（ x）=1 时，x=2 或
14、 x=2；故 m=7；若 g（ f（x） ）=0，则 f（x）= =1.5 或 f（x ）=1.5 或 f（x）=0 ；由图 1 知，f（x）=1.5 与 f（x）=1.5 无解；f（x）=0 时，x= 1，x=1 或 x=0；故 n=3；故 m+n=10；故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知 a0 ，b0，且 a+b=1，则 的最小值是 4 【解答】解：a0，b 0，且 a+b=1，则 =（a +b） =2+ 2+2 =4，当且仅当 a=b= 时取等号 的最小值是 4故答案为：414 （5 分）已知向量 ， ，且 （ + ） ，则 y 的
15、值为 12 【解答】解： + =（2，y1，5） ， （ + ） ， （ + ）= 4（y1）+15=0，则 y=12故答案为：1215 （5 分）已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA，PB 是圆 x2+y22x2y+1=0 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为 【解答】解：圆的方程为：x 2+y22x2y+1=0圆心 C（1， 1） 、半径 r 为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点 P 的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长 PA， PB 最小圆心到直线的距离为 d=3|PA| =|PB|=故答案为：16 （5 分）椭圆
16、上的任意一点 P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点 B1，B 2 的连线交 x 轴于点 M 和 N，则|OM|+|ON|的最小值是 2a 【解答】解：设 P（x 0，y 0） ， 化为 b2x02=a2（b 2y02）直线 B1P 的方程为：y= x+b，可得 M（ ，0） ；直线 B2P 的方程为：y= xb，可得 N（ ，0） 则|OM| |ON|= = （定值）则|OM|+|ON|2 =2a故答案为：2a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知 p：函数 y=x22x+a 在区间（1， 2）上有 1 个零点；q ：函数
17、y=x2+（2a 3）x+1 图象与 x 轴交于不同的两点若“pq”是假命题， “pq”是真命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：对于 p：设 f（x）=x 22x+a该二次函数图象开向上，对称轴为直线 x=1，所以 ，所以 0a1；对于 q：函数 y=x2+（2a3 ）x +1 与 x 轴交于不同的两点，所以（2a 3） 240，即 4a212a+50，解得 或 因为“pq”是假命题， “pq”是真命题，所以 p，q 一真一假当 p 真 q 假时，有 ，所以 ；当 p 假 q 真时，有 ，所以 或 a0所以实数 a 的取值范围是 18 （12 分）在数列a n中， a1= ，a n+1=
18、an，n N*（1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列a n的前 n 项和 Sn【解答】解 （1）证明：由 an+1= an 知 = ， 是以 为首项， 为公比的等比数列（2）由（1）知 是首项为 ，公比为 的等比数列， =（ ） n，a n= ，S n= + + ，则 Sn= + + ，得 Sn= + + + =1 ，S n=2 19 （12 分）已知顶点在单位圆上的ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为a、 b、c ，且 2acosA=ccosB+bcosC（1）cosA 的值；（2）若 b2+c2=4，求ABC 的面积【解答】解：（1）2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定
19、理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC2sinAcosA=sin（B +C） =sinA，又0A sinA0， （6 分）（2）由 ，由于顶点在单位圆上的ABC 中，2R=2 ，利用正弦定理可得：由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosAbc=b2+c2a2=43=1（10 分） （12 分）20 （12 分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市1565 岁的人群抽样了 n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示组号 分组 回答正确 回答正确的人数的人数 占本组的概率第 1 组 15，25） 5 0.5第 2 组 25，35） a 0.9第
20、 3 组 35，45） 27 x第 4 组 45，55） b 0.36第 5 组 55，65） 3 y（1）分别求出 a，b，x，y 的值；（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第2，3 ，4 组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率【解答】解：（1）第 1 组人数 50.5=10，所以 n=100.1=100；第 2 组人数 1000.2=20，所以 a=200.9=18；第 3 组人数 1000.3=30，所以 x=2730=0.9；第 4
21、 组人数 1000.25=25，所以 b=250.36=9；第 5 组人数 1000.15=15，所以 y=315=0.2（2）第 2，3，4 组回答正确的人的比为 18：27：9=2：3：1，所以第 2，3，4 组每组应依次抽取 2 人，3 人，1 人（3）记抽取的 6 人中，第 2 组的记为 a1，a 2，第 3 组的记为 b1，b 2，b 3，第 4组的记为 c，则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种，它们是：（a 1，a 2） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 1，c ） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2）
22、 ，（a 2，b 3） ，（a 2，c ） ， （b 1，b 2） ， （b 1，b 3） ， （b 1，c） ， （b 2，b 3） ， （b 2，c） ， （b 3，c ） ，其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种，它们是：（a 1，a 2） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 1，c ） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ，（a 2，b 3） ， （ a2，c） ，故所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 p= 21 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点（1）求椭圆 E 的方程；（2）设不过原点 O
23、的直线 l：y=kx +m（k0）与椭圆 E 交于 P，Q 两点，直线OP，OQ 的斜率分别为 k1，k 2，满足 4k=k1+k2，试问：当 k 变化时，m 2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由【解答】解：（1）依题意，得 ，解得 a2=4，b 2=1所以椭圆 E 的方程是 （2）当 k 变化时，m 2 为定值证明如下：由 得（1+4k 2） x2+8kmx+4（m 21）=0 设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ， ， ， （*）因为直线 OP，直线 OQ 的斜率分别为 k1，k 2，且 4k=k1+k2，所以 ，得 2kx1x2=m（x 1+
24、x2） ，将（* ）代入解得 ，经检验知 成立故当 k 变化时，m 2 为定值 22 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，CDBD，AB=AD，E 为 BC 的中点（1）求证：AEBD；（2）设平面 ABD平面 BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角 BACD 的正弦值【解答】证明：（1）设 BD 的中点为 O，分别连接 AO，EO 又因为 AB=AD，所以 AOBD因为 E 为 BC 的中点，O 为 BD 的中点，所以 EOCD又因为 CDBD ，所以 EOBD又因为 OAOE=O，OA，OE平面 AOE，所以 BD 平面 AOE又因为 AE平面 AOE，所以 BDAE ，即 AE
25、BD解：（2）由（1）求解知 AOBD，EOBD 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，AO平面 ABD，所以 AO平面 BCD又因为 EO平面 BCD，所以 AOEO 所以 OE，OD，OA 两两相互垂直因为 CDBD ，BC=4，CD=2，所以 因为 O 为 BD 的中点，AOBD，AD=2，所以 ， 以 O 为坐标原点，OE，OD，OA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 O（ 0，0，0） ，A （0，0，1） ， ， ，所以 ， ，设平面 ABC 的一个法向量为 ，则 ， 所以 ，取 ，解得 所以 是平面 ABC 的一个法向量同理可求平面 ADC 的一个法向量 设二面角 BACD 的大小为 ，则 因为 0，所以 ，所以二面角 BACD 的正弦值为
