2017-2018学年辽宁省大连市普兰店高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

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资源描述

1、2017-2018 年辽宁大连市普兰店高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若复数 z 满足 z(1+i)=1i (i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 =( )A i B Ci D2 (5 分)演绎推理是( )A部分到整体,个别到一般的推理B特殊到特殊的推理C一般到一般的推理D一般到特殊的推理3 (5 分)用数学归纳法证明“1+a+a 2+a2n+1= , (a 1 ) ”,在验证 n=1时,左端计算所得项为( )A1 +a+a2+a3+a4 B1+a C1+a+a 2

2、D1+a+a 2+a34 (5 分)双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是(0,3) ,则 k 的值是( )A1 B1 C D5 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC所成的角的余弦值是( )A B C D6 (5 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、F 2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF 1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为( )A + =1 B +y2=1C + =1 D + =17 (5 分)曲线 y=xex1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e Be C

3、2 D18 (5 分)已知函数 f(x)=x 2(ax +b) (a,bR)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x+y=0 平行,则函数 f(x )的单调减区间为( )A ( ,0 ) B (0,2) C (2,+) D (,+)9 (5 分)已知函数 f(x)=3x 3ax2+x5 在区间1 ,2上单调递增,则 a 的取值范围是( )A ( ,5 B (,5) C D (,310 (5 分)设函数 f(x )满足 x2f(x)+2xf(x)= ,f(2)= ,则 x0 时,f(x) ( )A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值 D既无

4、极大值也无极小值11 (5 分)设双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设O 为坐标原点,若 = + (, R) ,= ,则该双曲线的离心率为( )A B C D12 (5 分)已知函数 f( x)=a(x )2lnx (a R) ,g(x)= ,若至少存在一个 x01,e,使得 f(x 0)g(x 0)成立,则实数 a 的范围为( )A1 ,+) B (1,+ ) C0,+) D (0,+)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)观察下列不等式:1+ ;1+ + ;1

5、+ + + ;照此规律,第五个不等式为 14 (5 分)已知抛物线 y2=2px(p0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 15 (5 分)若函数 f(x ) =x2+2 f(x )dx,则 f(x)dx= 16 (5 分)已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 A为椭圆的上顶点,B 是直线 AF2 与椭圆的另一个交点,且 F 1AF2=60,AF 1B的面积为 40 ,则 a 的值是 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知

6、动圆 C 过点 A(2,0) ,且与圆 M:(x2) 2+y2=64 相内切求动圆 C 的圆心的轨迹方程18 (12 分)已知函数 f( x)=x 3+ax2+bx+c 在 x= ,x=1 处都取得极值(1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调递减区间;(2)若对 x1,2,不等式 f(x)c 2 恒成立,求 c 的取值范围19 (12 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点建立如图的空间直角坐标系(1)求证:AB 1平面 A1BD;(2)求二面角 AA1DB 的正弦值;(3)求点 C 到平面 A1BD 的距离20 (12 分)如图,已知 AB平面

7、ACD,DEAB,ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点(1)求证:AF平面 BCE;(2)求证:平面 BCE平面 CDE;(3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小21 (12 分)设椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 e= ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4(1)求椭圆 C 的方程;(2)椭圆 C 上一动点 P(x 0,y 0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x 1,y 1) ,求3x14y1 的取值范围22 (12 分)已知函数 (1)若函数 f(x)在(0,+)上为单调增函数,求 a 的取值范围;(2)

8、设 m,nR ,且 mn,求证 2017-2018 学年辽宁省大连市普兰店高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若复数 z 满足 z(1+i)=1i (i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 =( )A i B Ci D【解答】解:z(1+i)=1 i,z= = =i,z 的共轭复数 =i故选 C2 (5 分)演绎推理是( )A部分到整体,个别到一般的推理B特殊到特殊的推理C一般到一般的推理D一般到特殊的推理【解答】解:根据题意,演绎推理的模式是“三段论”形

9、式,即大前提小前提和结论,是从一般到特殊的推理故选:D3 (5 分)用数学归纳法证明“1+a+a 2+a2n+1= , (a 1 ) ”,在验证 n=1时,左端计算所得项为( )A1 +a+a2+a3+a4 B1+a C1+a+a 2 D1+a+a 2+a3【解答】解:等式“1 +a+a2+a2n+1= , (a 1) ”左端和式中 a 的次数由0 次依次递增,当 n=k 时,最高次数为(2k+1)次,用数学归纳法证明“1 +a+a2+a2n+1= , (a 1) ”,在验证 n=1 时,左端计算所得项为 1+a+a2+a3,故选:D4 (5 分)双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是(0,

10、3) ,则 k 的值是( )A1 B1 C D【解答】解:双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是(0,3) ,可知 k0 ,并且: =3,解得 k=1故选:B5 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC所成的角的余弦值是( )A B C D【解答】解:分别以 DA、 DC、DD 1 为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为 2,得C1(0,2,2) ,E(1,0,0) ,B(2,2,0) ,C (0,2,0) =(1 ,2,2) , =( 2,0,0 )因此,得到| |= =3,| |=2,且 =1(2)

11、+( 2)0+(2)0=2cos , = =异面直线 C1E 与 BC 所成的角是锐角或直角面直线 C1E 与 BC 所成的角的余弦值是故选:C6 (5 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、F 2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF 1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为( )A + =1 B +y2=1C + =1 D + =1【解答】解:AF 1B 的周长为 4 ,AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4 ,a= ,离心率为 , ,c=1 ,b= = ,椭圆 C 的方程为 + =

12、1故选:A7 (5 分)曲线 y=xex1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e Be C2 D1【解答】解:函数的导数为 f(x )=e x1+xex1=(1+x)e x1,当 x=1 时,f(1)=2,即曲线 y=xex1 在点(1,1)处切线的斜率 k=f(1)=2,故选:C8 (5 分)已知函数 f(x)=x 2(ax +b) (a,bR)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x+y=0 平行,则函数 f(x )的单调减区间为( )A ( ,0 ) B (0,2) C (2,+) D (,+)【解答】解:f(x )=3ax 2+2bx,因为函数在 x

13、=2 时有极值,所以 f(2)=12a+4b=0 即 3a+b=0;又直线 3x+y=0 的斜率为3 ,则切线的斜率 k=f(1)=3a+2b= 3,联立解得 a=1,b=3,令 f(x)=3x 26x0 即 3x(x 2)0 ,解得 0x2故选 B9 (5 分)已知函数 f(x)=3x 3ax2+x5 在区间1 ,2上单调递增,则 a 的取值范围是( )A ( ,5 B (,5) C D (,3【解答】解:f(x )=9x 22ax+1f( x)=3x 3ax2+x5 在区间 1,2上单调递增f(x)=9x 22ax+10 在区间1,2上恒成立即 ,即 a5,故选 A10 (5 分)设函数

14、f(x )满足 x2f(x)+2xf(x)= ,f(2)= ,则 x0 时,f(x) ( )A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【解答】解:函数 f(x )满足 ,令 F(x)=x 2f(x ) ,则 F(x)= ,F(2)=4f(2)= 由 ,得 f(x )= ,令 (x)=e x2F(x ) ,则 (x )=e x2F(x)= (x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,(x)的最小值为 ( 2)=e 22F(2)=0(x)0又 x0,f(x )0f( x)在(0,+)单调递增f( x)既无极大值也无极小值故选 D11 (5 分

15、)设双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设O 为坐标原点,若 = + (, R) ,= ,则该双曲线的离心率为( )A B C D【解答】解:双曲线的渐近线为:y= x,设焦点 F(c,0) ,则 A(c, ) ,B(c, ) ,P (c, ) , ,(c, )= ( +)c, ( ) ) ,+=1,= ,解得 = ,= ,又由 = 得 = ,解得 = ,e= =故选 C12 (5 分)已知函数 f( x)=a(x )2lnx (a R) ,g(x)= ,若至少存在一个 x01,e,使得

16、f(x 0)g(x 0)成立,则实数 a 的范围为( )A1 ,+) B (1,+ ) C0,+) D (0,+)【解答】解:若至少存在一个 x01,e,使得 f(x 0)g (x 0)成立,即 f(x)g(x )0 在 x1,e时有解,设 F(x)=f(x)g(x)=a(x ) 2lnx+ =ax2lnx0 有解,x 1,e,即 a ,则 F( x)= ,当 x1,e时, F(x)= 0,F(x)在1,e上单调递增,即 Fmin(x)=F(1)=0 ,因此 a0 即可故选:D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)观察下列不等式:1+ ;1+ + ;1+ + + ;照此

17、规律,第五个不等式为 1+ + + + + 【解答】解:由已知中的不等式1+ ,1+ + ,得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1 的平方右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1,故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ + , (n2) ,所以第五个不等式为 1+ + + + + 故答案为:1+ + + + + 14 (5 分)已知抛物线 y2=2px(p0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 x=1 【解答】解:设 A(x 1,y 1) 、

18、B(x 2,y 2) ,则有 y12=2px1,y 22=2px2,两式相减得:(y 1y2) (y 1+y2)=2p (x 1x2) ,又因为直线的斜率为 1,所以 =1,所以有 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,即 y1+y2=4,所以 p=2,所以抛物线的准线方程为 x= =1故答案为:x= 115 (5 分)若函数 f(x ) =x2+2 f(x )dx,则 f(x)dx= 【解答】解:设 f(x) dx=c,则 f(x )=x 2+2c,所以 f(x)dx= (x 2+2c)dx= =c,解得 c= ;故答案为: 16 (5 分)已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分

19、别为 F1,F 2,点 A为椭圆的上顶点,B 是直线 AF2 与椭圆的另一个交点,且 F 1AF2=60,AF 1B的面积为 40 ,则 a 的值是 10 【解答】解:F 1AF2=60a=2ce= = 设|BF 2|=m,则 |BF1|=2am,在三角形 BF1F2 中,|BF 1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120(2am ) 2=m2+a2+am m= aAF 1B 面积 S= |BA|F1A|sin60 a(a+ a) =40a=10,故答案为:10三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17 (10 分)

20、已知动圆 C 过点 A(2,0) ,且与圆 M:(x2) 2+y2=64 相内切求动圆 C 的圆心的轨迹方程【解答】解:定圆 M 圆心 M(2,0) ,半径 r=8,因为动圆 C 与定圆 M 内切,且动圆 C 过定点 A( 2,0) ,|MA|+|MB|=8 所以动圆心 C 轨迹是以 B、A 为焦点,长轴长为 8 的椭圆c=2,a=4,b 2=12,动圆心轨迹方程 18 (12 分)已知函数 f( x)=x 3+ax2+bx+c 在 x= ,x=1 处都取得极值(1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调递减区间;(2)若对 x1,2,不等式 f(x)c 2 恒成立,求 c 的取值范围【解答】

21、解:(1)f(x)=3x 2+2ax+b, =f(1)=0, +2a +b=0,3+2a+b=0,联立解得 a= ,b=2f(x)=x 3 x22x+c,f(x)=3x 2x2=(3x+2) (x 1) ,令 f(x)=(3x+2) (x1) 0,解得 函数 f(x )的单调递减区间为 (2)由(1)可得:f (x)=x 3 x22x+c,对 x1,2 ,不等式 f( x)c 2 恒成立 c 2c,令 g( x)=x 3 x22x,x 1,2,g(x)=3x 2x2=(3x+2) (x1) ,由(1)可得:函数 g(x)在 ,1,2上单调递增,在区间上单调递减而 = ,g(2)=2g(x )

22、max=2c 2c2,即 c2c20,解得 c2 ,或 c1 c 的取值范围(,1) (2,+) 19 (12 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点建立如图的空间直角坐标系(1)求证:AB 1平面 A1BD;(2)求二面角 AA1DB 的正弦值;(3)求点 C 到平面 A1BD 的距离【解答】法一、()证明:取 BC 中点 O,连结 AO,ABC 为正三角形,AOBC在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面 ABC平面 BCC1B1,AO平面 BCC1B1,连结 B1O,在正方形 BCC1B1 中,O,D 分别为 BC,CC 1 的中点,B 1OBD

23、,则 AB1BD在正方形 ABB1A1 中,AB 1A 1B,AB 1平面 A1BD;()解:设 AB1 与 A1B 交于点 G,在平面 A1BD 中,作 GFA 1D 于 F,连结 AF,由()得 AB1平面 A1BDAFA 1D,则AFG 为二面角 AA1DB 的平面角在AA 1D 中,由等面积法可求得 ,又 ,sin 二面角 AA1DB 的正弦值为 ;()在A 1BD 中, , , ,S BCD =1在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,A 1 到平面 BCC1B1 的距离为 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d由 ,得 ,d= 点 C 到平面 A1BD 的距离为 法二:()证明:取

24、BC 中点 O,连结 AOABC 为正三角形,AOBC在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,平面 ABC平面 BCC1B1,AD平面 BCC1B1,取 B1C1 中点 O1,以 O 为原点, 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0) ,D (1,1,0) ,A 1(0,2, ) ,A(0,0, ) ,B1(1 ,2 ,0 ) , , , , ,AB 1BD, AB1BA 1AB 1平面 A1BD;()解:设平面 A1AD 的法向量为 , 由 ,取 z=1,得 由()知 为平面 A1BD 的法向量cos = 二面角 AA1DB 的正弦值为 ;()解:由()知, 为平

25、面 A1BD 法向量, , 点 C 到平面 A1BD 的距离 d= 20 (12 分)如图,已知 AB平面 ACD,DEAB,ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点(1)求证:AF平面 BCE;(2)求证:平面 BCE平面 CDE;(3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小【解答】 (1)证:取 CE 中点 P,连接 FP、BP,F 为 CD 的中点,FP DE,且 FP= 又 ABDE,且 AB= ABFP,且 AB=FP,ABPF 为平行四边形, AFBP (2 分)又AF平面 BCE,BP平面 BCE,AF平面 BCE (4 分)(2)ACD 为正

26、三角形,AFCD AB平面 ACD,DE AB,DE平面 ACD,又 AF平面 ACD,DEAF又 AFCD,CDDE=D,AF平面 CDE (6 分)又 BP AF,BP 平面 CDE又BP平面 BCE,平面 BCE平面 CDE (8 分)(3)由(2) ,以 F 为坐标原点, FA,FD ,FP 所在的直线分别为 x,y ,z 轴(如图) ,建立空间直角坐标系 Fxyz设 AC=2,则 C( 0,1, 0) , (9 分)设 n=(x ,y,z)为平面 BCE 的法向量,则 令 z=1,则 n=(0,1,1) (10 分)显然,m=(0,0,1)为平面 ACD 的法向量设平面 BCE 与平

27、面 ACD 所成锐二面角为 ,则 =45,即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 (12 分)21 (12 分)设椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 e= ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4(1)求椭圆 C 的方程;(2)椭圆 C 上一动点 P(x 0,y 0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x 1,y 1) ,求3x14y1 的取值范围【解答】解:(1)依题意知,2a=4 ,a=2 , 所求椭圆 C 的方程为 (2)点 P(x 0,y 0)关于直线 y=2x 的对称点为 ,解得: , 3x 14y1=5x0点 P(x 0, y0)在椭

28、圆 C: 上,2 x 02,则105x 0103x 14y1 的取值范围为10,1022 (12 分)已知函数 (1)若函数 f(x)在(0,+)上为单调增函数,求 a 的取值范围;(2)设 m,nR ,且 mn,求证 【解答】解:(1)f(x)= = = ,因为 f( x)在(0,+)上为单调增函数,所以 f(x)0 在(0,+)上恒成立即 x2+(22a)x+10 在(0,+)上恒成立,当 x(0,+)时,由 x2+(2 2a)x +10,得:2a 2x + ,设 g( x)=x+ ,x (0,+) ,则 g( x)=x+ 2 =2,当且仅当 x= 即 x=1 时,g(x)有最小值 2,所以 2a22 ,解得 a2,所以 a 的取值范围是(,2;(2)设 mn,要证 ,只需证 ,即 ln ,即 ln 0,设 h(x)=lnx ,由(1)知 h(x)在(1,+)上是单调增函数,又 1,所以 h( )h(1)=0,即 ln 0 成立,得到

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