1、2017-2018 年辽宁大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）=1i （i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 =（ ）A i B Ci D2 （5 分）演绎推理是（ ）A部分到整体，个别到一般的推理B特殊到特殊的推理C一般到一般的推理D一般到特殊的推理3 （5 分）用数学归纳法证明“1+a+a 2+a2n+1= ， （a 1 ） ”，在验证 n=1时，左端计算所得项为（ ）A1 +a+a2+a3+a4 B1+a C1+a+a 2
2、D1+a+a 2+a34 （5 分）双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是（0，3） ，则 k 的值是（ ）A1 B1 C D5 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 AD 的中点，则异面直线 C1E 与 BC所成的角的余弦值是（ ）A B C D6 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =17 （5 分）曲线 y=xex1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A2e Be C
3、2 D18 （5 分）已知函数 f（x）=x 2（ax +b） （a，bR）在 x=2 时有极值，其图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数 f（x ）的单调减区间为（ ）A （ ，0 ） B （0，2） C （2，+） D （，+）9 （5 分）已知函数 f（x）=3x 3ax2+x5 在区间1 ，2上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，5 B （，5） C D （，310 （5 分）设函数 f（x ）满足 x2f（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则 x0 时，f（x） （ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无
4、极大值也无极小值11 （5 分）设双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设O 为坐标原点，若 = + （， R） ，= ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（ x）=a（x ）2lnx （a R） ，g（x）= ，若至少存在一个 x01，e，使得 f（x 0）g（x 0）成立，则实数 a 的范围为（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C0，+） D （0，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）观察下列不等式：1+ ；1+ + ；1
5、+ + + ；照此规律，第五个不等式为 14 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0） ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 15 （5 分）若函数 f（x ） =x2+2 f（x ）dx，则 f（x）dx= 16 （5 分）已知椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 A为椭圆的上顶点，B 是直线 AF2 与椭圆的另一个交点，且 F 1AF2=60，AF 1B的面积为 40 ，则 a 的值是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知
6、动圆 C 过点 A（2，0） ，且与圆 M：（x2） 2+y2=64 相内切求动圆 C 的圆心的轨迹方程18 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+ax2+bx+c 在 x= ，x=1 处都取得极值（1）求 a，b 的值与函数 f（x）的单调递减区间；（2）若对 x1，2，不等式 f（x）c 2 恒成立，求 c 的取值范围19 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点建立如图的空间直角坐标系（1）求证：AB 1平面 A1BD；（2）求二面角 AA1DB 的正弦值；（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离20 （12 分）如图，已知 AB平面
7、ACD，DEAB，ACD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F 是 CD 的中点（1）求证：AF平面 BCE；（2）求证：平面 BCE平面 CDE；（3）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小21 （12 分）设椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 e= ，点 A 是椭圆上的一点，且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 上一动点 P（x 0，y 0）关于直线 y=2x 的对称点为 P1（x 1，y 1） ，求3x14y1 的取值范围22 （12 分）已知函数 （1）若函数 f（x）在（0，+）上为单调增函数，求 a 的取值范围；（2）
8、设 m，nR ，且 mn，求证 2017-2018 学年辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）=1i （i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 =（ ）A i B Ci D【解答】解：z（1+i）=1 i，z= = =i，z 的共轭复数 =i故选 C2 （5 分）演绎推理是（ ）A部分到整体，个别到一般的推理B特殊到特殊的推理C一般到一般的推理D一般到特殊的推理【解答】解：根据题意，演绎推理的模式是“三段论”形
9、式，即大前提小前提和结论，是从一般到特殊的推理故选：D3 （5 分）用数学归纳法证明“1+a+a 2+a2n+1= ， （a 1 ） ”，在验证 n=1时，左端计算所得项为（ ）A1 +a+a2+a3+a4 B1+a C1+a+a 2 D1+a+a 2+a3【解答】解：等式“1 +a+a2+a2n+1= ， （a 1） ”左端和式中 a 的次数由0 次依次递增，当 n=k 时，最高次数为（2k+1）次，用数学归纳法证明“1 +a+a2+a2n+1= ， （a 1） ”，在验证 n=1 时，左端计算所得项为 1+a+a2+a3，故选：D4 （5 分）双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是（0，
10、3） ，则 k 的值是（ ）A1 B1 C D【解答】解：双曲线 8kx2ky2=8 的一个焦点是（0，3） ，可知 k0 ，并且： =3，解得 k=1故选：B5 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 AD 的中点，则异面直线 C1E 与 BC所成的角的余弦值是（ ）A B C D【解答】解：分别以 DA、 DC、DD 1 为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为 2，得C1（0，2，2） ，E（1，0，0） ，B（2，2，0） ，C （0，2，0） =（1 ，2，2） ， =（ 2，0，0 ）因此，得到| |= =3，| |=2，且 =1（2）
11、+（ 2）0+（2）0=2cos ， = =异面直线 C1E 与 BC 所成的角是锐角或直角面直线 C1E 与 BC 所成的角的余弦值是故选：C6 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =1【解答】解：AF 1B 的周长为 4 ，AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4 ，a= ，离心率为 ， ，c=1 ，b= = ，椭圆 C 的方程为 + =
12、1故选：A7 （5 分）曲线 y=xex1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A2e Be C2 D1【解答】解：函数的导数为 f（x ）=e x1+xex1=（1+x）e x1，当 x=1 时，f（1）=2，即曲线 y=xex1 在点（1，1）处切线的斜率 k=f（1）=2，故选：C8 （5 分）已知函数 f（x）=x 2（ax +b） （a，bR）在 x=2 时有极值，其图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数 f（x ）的单调减区间为（ ）A （ ，0 ） B （0，2） C （2，+） D （，+）【解答】解：f（x ）=3ax 2+2bx，因为函数在 x
13、=2 时有极值，所以 f（2）=12a+4b=0 即 3a+b=0；又直线 3x+y=0 的斜率为3 ，则切线的斜率 k=f（1）=3a+2b= 3，联立解得 a=1，b=3，令 f（x）=3x 26x0 即 3x（x 2）0 ，解得 0x2故选 B9 （5 分）已知函数 f（x）=3x 3ax2+x5 在区间1 ，2上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，5 B （，5） C D （，3【解答】解：f（x ）=9x 22ax+1f（ x）=3x 3ax2+x5 在区间 1，2上单调递增f（x）=9x 22ax+10 在区间1，2上恒成立即 ，即 a5，故选 A10 （5 分）设函数
14、f（x ）满足 x2f（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则 x0 时，f（x） （ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【解答】解：函数 f（x ）满足 ，令 F（x）=x 2f（x ） ，则 F（x）= ，F（2）=4f（2）= 由 ，得 f（x ）= ，令 （x）=e x2F（x ） ，则 （x ）=e x2F（x）= （x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为 （ 2）=e 22F（2）=0（x）0又 x0，f（x ）0f（ x）在（0，+）单调递增f（ x）既无极大值也无极小值故选 D11 （5 分
15、）设双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设O 为坐标原点，若 = + （， R） ，= ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：双曲线的渐近线为：y= x，设焦点 F（c，0） ，则 A（c， ） ，B（c， ） ，P （c， ） ， ，（c， ）= （ +）c， （ ） ） ，+=1，= ，解得 = ，= ，又由 = 得 = ，解得 = ，e= =故选 C12 （5 分）已知函数 f（ x）=a（x ）2lnx （a R） ，g（x）= ，若至少存在一个 x01，e，使得
16、f（x 0）g（x 0）成立，则实数 a 的范围为（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C0，+） D （0，+）【解答】解：若至少存在一个 x01，e，使得 f（x 0）g （x 0）成立，即 f（x）g（x ）0 在 x1，e时有解，设 F（x）=f（x）g（x）=a（x ） 2lnx+ =ax2lnx0 有解，x 1，e，即 a ，则 F（ x）= ，当 x1，e时， F（x）= 0，F（x）在1，e上单调递增，即 Fmin（x）=F（1）=0 ，因此 a0 即可故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）观察下列不等式：1+ ；1+ + ；1+ + + ；照此
17、规律，第五个不等式为 1+ + + + + 【解答】解：由已知中的不等式1+ ，1+ + ，得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1 的平方右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序号 n+1，故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ + ， （n2） ，所以第五个不等式为 1+ + + + + 故答案为：1+ + + + + 14 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0） ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 x=1 【解答】解：设 A（x 1，y 1） 、
18、B（x 2，y 2） ，则有 y12=2px1，y 22=2px2，两式相减得：（y 1y2） （y 1+y2）=2p （x 1x2） ，又因为直线的斜率为 1，所以 =1，所以有 y1+y2=2p，又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，即 y1+y2=4，所以 p=2，所以抛物线的准线方程为 x= =1故答案为：x= 115 （5 分）若函数 f（x ） =x2+2 f（x ）dx，则 f（x）dx= 【解答】解：设 f（x） dx=c，则 f（x ）=x 2+2c，所以 f（x）dx= （x 2+2c）dx= =c，解得 c= ；故答案为： 16 （5 分）已知椭圆 （ab0）的左、右焦点分
19、别为 F1，F 2，点 A为椭圆的上顶点，B 是直线 AF2 与椭圆的另一个交点，且 F 1AF2=60，AF 1B的面积为 40 ，则 a 的值是 10 【解答】解：F 1AF2=60a=2ce= = 设|BF 2|=m，则 |BF1|=2am，在三角形 BF1F2 中，|BF 1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120（2am ） 2=m2+a2+am m= aAF 1B 面积 S= |BA|F1A|sin60 a（a+ a） =40a=10，故答案为：10三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）
20、已知动圆 C 过点 A（2，0） ，且与圆 M：（x2） 2+y2=64 相内切求动圆 C 的圆心的轨迹方程【解答】解：定圆 M 圆心 M（2，0） ，半径 r=8，因为动圆 C 与定圆 M 内切，且动圆 C 过定点 A（ 2，0） ，|MA|+|MB|=8 所以动圆心 C 轨迹是以 B、A 为焦点，长轴长为 8 的椭圆c=2，a=4，b 2=12，动圆心轨迹方程 18 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+ax2+bx+c 在 x= ，x=1 处都取得极值（1）求 a，b 的值与函数 f（x）的单调递减区间；（2）若对 x1，2，不等式 f（x）c 2 恒成立，求 c 的取值范围【解答】
21、解：（1）f（x）=3x 2+2ax+b， =f（1）=0， +2a +b=0，3+2a+b=0，联立解得 a= ，b=2f（x）=x 3 x22x+c，f（x）=3x 2x2=（3x+2） （x 1） ，令 f（x）=（3x+2） （x1） 0，解得 函数 f（x ）的单调递减区间为 （2）由（1）可得：f （x）=x 3 x22x+c，对 x1，2 ，不等式 f（ x）c 2 恒成立 c 2c，令 g（ x）=x 3 x22x，x 1，2，g（x）=3x 2x2=（3x+2） （x1） ，由（1）可得：函数 g（x）在 ，1，2上单调递增，在区间上单调递减而 = ，g（2）=2g（x ）
22、max=2c 2c2，即 c2c20，解得 c2 ，或 c1 c 的取值范围（，1） （2，+） 19 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点建立如图的空间直角坐标系（1）求证：AB 1平面 A1BD；（2）求二面角 AA1DB 的正弦值；（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离【解答】法一、（）证明：取 BC 中点 O，连结 AO，ABC 为正三角形，AOBC在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1，连结 B1O，在正方形 BCC1B1 中，O，D 分别为 BC，CC 1 的中点，B 1OBD
23、，则 AB1BD在正方形 ABB1A1 中，AB 1A 1B，AB 1平面 A1BD；（）解：设 AB1 与 A1B 交于点 G，在平面 A1BD 中，作 GFA 1D 于 F，连结 AF，由（）得 AB1平面 A1BDAFA 1D，则AFG 为二面角 AA1DB 的平面角在AA 1D 中，由等面积法可求得 ，又 ，sin 二面角 AA1DB 的正弦值为 ；（）在A 1BD 中， ， ， ，S BCD =1在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1 到平面 BCC1B1 的距离为 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d由 ，得 ，d= 点 C 到平面 A1BD 的距离为 法二：（）证明：取
24、BC 中点 O，连结 AOABC 为正三角形，AOBC在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AD平面 BCC1B1，取 B1C1 中点 O1，以 O 为原点， 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B（1，0，0） ，D （1，1，0） ，A 1（0，2， ） ，A（0，0， ） ，B1（1 ，2 ，0 ） ， ， ， ， ，AB 1BD， AB1BA 1AB 1平面 A1BD；（）解：设平面 A1AD 的法向量为 ， 由 ，取 z=1，得 由（）知 为平面 A1BD 的法向量cos = 二面角 AA1DB 的正弦值为 ；（）解：由（）知， 为平
25、面 A1BD 法向量， ， 点 C 到平面 A1BD 的距离 d= 20 （12 分）如图，已知 AB平面 ACD，DEAB，ACD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F 是 CD 的中点（1）求证：AF平面 BCE；（2）求证：平面 BCE平面 CDE；（3）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小【解答】 （1）证：取 CE 中点 P，连接 FP、BP，F 为 CD 的中点，FP DE，且 FP= 又 ABDE，且 AB= ABFP，且 AB=FP，ABPF 为平行四边形， AFBP （2 分）又AF平面 BCE，BP平面 BCE，AF平面 BCE （4 分）（2）ACD 为正
26、三角形，AFCD AB平面 ACD，DE AB，DE平面 ACD，又 AF平面 ACD，DEAF又 AFCD，CDDE=D，AF平面 CDE （6 分）又 BP AF，BP 平面 CDE又BP平面 BCE，平面 BCE平面 CDE （8 分）（3）由（2） ，以 F 为坐标原点， FA，FD ，FP 所在的直线分别为 x，y ，z 轴（如图） ，建立空间直角坐标系 Fxyz设 AC=2，则 C（ 0，1， 0） ， （9 分）设 n=（x ，y，z）为平面 BCE 的法向量，则 令 z=1，则 n=（0，1，1） （10 分）显然，m=（0，0，1）为平面 ACD 的法向量设平面 BCE 与平
27、面 ACD 所成锐二面角为 ，则 =45，即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 （12 分）21 （12 分）设椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 e= ，点 A 是椭圆上的一点，且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 上一动点 P（x 0，y 0）关于直线 y=2x 的对称点为 P1（x 1，y 1） ，求3x14y1 的取值范围【解答】解：（1）依题意知，2a=4 ，a=2 ， 所求椭圆 C 的方程为 （2）点 P（x 0，y 0）关于直线 y=2x 的对称点为 ，解得： ， 3x 14y1=5x0点 P（x 0， y0）在椭
28、圆 C： 上，2 x 02，则105x 0103x 14y1 的取值范围为10，1022 （12 分）已知函数 （1）若函数 f（x）在（0，+）上为单调增函数，求 a 的取值范围；（2）设 m，nR ，且 mn，求证 【解答】解：（1）f（x）= = = ，因为 f（ x）在（0，+）上为单调增函数，所以 f（x）0 在（0，+）上恒成立即 x2+（22a）x+10 在（0，+）上恒成立，当 x（0，+）时，由 x2+（2 2a）x +10，得：2a 2x + ，设 g（ x）=x+ ，x （0，+） ，则 g（ x）=x+ 2 =2，当且仅当 x= 即 x=1 时，g（x）有最小值 2，所以 2a22 ，解得 a2，所以 a 的取值范围是（，2；（2）设 mn，要证 ，只需证 ，即 ln ，即 ln 0，设 h（x）=lnx ，由（1）知 h（x）在（1，+）上是单调增函数，又 1，所以 h（ ）h（1）=0，即 ln 0 成立，得到
