1、2017-2018 学年辽宁省本溪高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）1 （5 分）已知复数 z 满足 zi=2i，i 为虚数单位，则 z=（ ）A 12i B1+2i C12i D1+2i2 （5 分）命题“x Z，使 x2+2x+m0”的否命题是（ ）AxZ，使 x2+2x+m0 BxZ ，都有 x2+2x+m0C xZ，都有 x2+2x+m0 D不存在 xZ，使 x2+2x+m03 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （ ）=5，且 | |=2，| |=1，则向量与 夹角的正切值为（ ）A B C D4 （5 分）已知 sin=2cos
2、，则 sin（ ）=（ ）A B C D5 （5 分）已知a n为等差数列， a1+a3+a5=105，a 2+a4+a6=99，以 Sn 表示a n的前 n 项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是（ ）A21 B20 C19 D186 （5 分）若抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 ，则点 P 到抛物线的焦F 的距离为（ ）A4 B5 C6 D77 （5 分）已知向量 ，若实数 x，y 满足 ，则 的最大值是（ ）A B C D8 （5 分）点 P 在双曲线： （a 0，b 0）上，F 1，F 2 是这条双曲线的两个焦点，F 1PF2=90，且F 1PF2 的三条边长成
3、等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）已知 x0= 是函数 f（x）=sin （2x+）的一个极小值点，则 f（x）的一个单调递减区间是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ，） D （ ，）10 （5 分）设 a0 ，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A8 B4 C1 D11 （5 分）已知 l 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，P 是 l 上的一点，F1，F 2 是 C 的两个焦点，若 =0，则 P 到 x 轴的距离为（ ）A B C2 D12 （5 分）设定义在 R 上的偶函数 y=f（x）满足：对任意 xR，都有 f
4、（x）=f（2 x） ，x （0 ，1时 f（x ）= ，若 a=f（ ） ，b=f（ ） ，c=f （ ） ，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ）Aa b c Bbac Ccba Dacb二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13 （5 分）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（1+3sin 2）=4 ，则曲线 C 的普通方程为 14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S4，S 8S4，S 12S8，S 16S12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列b n的前 n 项积为 Tn，则 T4，
5、 ， ， 成等比数列15 （5 分）F 1 是椭圆 的左焦点，P 是椭圆上的动点 A（1，1）为定点，则|PA|+| PF1|的最小值是 16 （5 分）在ABC 中， D 是 BC 的中点，已知BAD+C=90 ，则ABC 的形状是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17 （10 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，满足（2b c）cosA=acosC（1）求角 A 的大小；（2）若 a=2，b+c=4 ，求ABC 的面积18 （12 分）某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班 50 人陈老师采用 A，B 两种不同的
6、教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”（1）从乙班样本的 20 个个体中，从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个，求抽出的两个均“ 成绩优秀” 的概率；（2）由以上统计数据填写下面 2x2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K 2=P（K 2k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0
7、2419 （12 分）已知数列a n，其前 n 项和为 Sn，若函数 y=x22x 在 x=an 处的切线斜率为 Sn，数列 bn，满足点（n，b n） （n N*）在直线 y=x 上（1）分别求a n，b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn20 （12 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求 B 到平面 CDE 的距离（2）在线段 DE 上是否存在一点 F，使 AF平面 BCE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由21 （12 分）已知椭圆 C： （ab 0 ）的短轴长为 2，离心率为
8、（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过定点 T（0，2）的直线 l 与（1 ）中的椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+（2m1）x mlnx（1）当 m=1 时，求曲线 y=f（x）的极值；（2）求函数 f（x）的单调区间；（3）若对任意 m（2， 3）及 x1，3时，恒有 mtf（x）1 成立，求实数 t的取值范围2017-2018 学年辽宁省本溪高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）1 （5 分）已知复数 z 满足 zi=2i
9、，i 为虚数单位，则 z=（ ）A 12i B1+2i C12i D1+2i【解答】解：由 zi=2i 得， ，故选 A2 （5 分）命题“x Z，使 x2+2x+m0”的否命题是（ ）AxZ，使 x2+2x+m0 BxZ ，都有 x2+2x+m0C xZ，都有 x2+2x+m0 D不存在 xZ，使 x2+2x+m0【解答】解：特称命题“ xZ，使 x2+2x+m0”的否定是全称命题：“xZ，都有 x2+2x+m0”故答案为：xZ，都有 x2+2x+m03 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （ ）=5，且 | |=2，| |=1，则向量与 夹角的正切值为（ ）A B C D【解答】解：设 、
10、的夹角为 ，则 0，又 （ ）=5，| |=2，| |=1， + =22+21cos=5，解得 cos= ，= ，tan= ，即向量 与 夹角的正切值为 故选：B4 （5 分）已知 sin=2cos，则 sin（ ）=（ ）A B C D【解答】解：由 sin=2cos，得 tan=2sin （ ）=cos2= 故选：A5 （5 分）已知a n为等差数列， a1+a3+a5=105，a 2+a4+a6=99，以 Sn 表示a n的前 n 项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是（ ）A21 B20 C19 D18【解答】解：设a n的公差为 d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1
11、+4d=105，即 a1+2d=35，a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即 a1+3d=33，由联立得 a1=39，d=2，S n=39n+ （2）=n 2+40n=（n 20） 2+400，故当 n=20 时，S n 达到最大值 400故选：B6 （5 分）若抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 ，则点 P 到抛物线的焦F 的距离为（ ）A4 B5 C6 D7【解答】解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=1抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 ，则 P（3， ） ，P 到抛物线的准线的距离为：4，点 P 到抛物线的焦点 F 的距
12、离为 4故选：A7 （5 分）已知向量 ，若实数 x，y 满足 ，则 的最大值是（ ）A B C D【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， ， ，其几何意义为可行域内动点到原点的距离，由图可知，A 到原点距离最大联立 ，解得 A（3，8） ， 的最大值是 故选：A8 （5 分）点 P 在双曲线： （a 0，b 0）上，F 1，F 2 是这条双曲线的两个焦点，F 1PF2=90，且F 1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：因为F 1PF2 的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|， |PF1|，|F1F 2|成等差数列，分别设为 md，m，m
13、+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m （md ）=2a ，m+d=2c， （md）2+m2=（m +d） 2，解得 m=4d=8a，c= ，故离心率 e= = =5，故选 D9 （5 分）已知 x0= 是函数 f（x）=sin （2x+）的一个极小值点，则 f（x）的一个单调递减区间是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ，） D （ ，）【解答】解：x 0= 是函数 f（x）=sin （2x+）的一个极小值点，sin 2（ ）+=1， +=2k ，解得 =2k ，kZ，不妨取 = ，此时 f（ x）=sin（2x ） ，令 2k+ 2x 2k + ，可得 k+ x k+ ，函数 f
14、（x ）的单调递减区间为（ k+ ，k+ ）k Z，结合选项可知当 k=0 时，函数的一个单调递减区间为（ ， ） 故选：A10 （5 分）设 a0 ，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A8 B4 C1 D【解答】解：因为 3a3b=3，所以 a+b=1，当且仅当 即 时“=”成立，故选择 B11 （5 分）已知 l 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，P 是 l 上的一点，F1，F 2 是 C 的两个焦点，若 =0，则 P 到 x 轴的距离为（ ）A B C2 D【解答】解：双曲线 C： =1 的 a= ，b=2，c= = ，即有 F1（ ，0） ，F 2（ ，0）
15、 ，设渐近线 l 的方程为 y= x，且 P（m， m） ， =（ m， m）（ m， m）=（ m） （ m）+（ m） 2=0，化为 3m26=0，解得 m= ，则 P 到 x 轴的距离为 |m|=2故选：C12 （5 分）设定义在 R 上的偶函数 y=f（x）满足：对任意 xR，都有 f（x）=f（2 x） ，x （0 ，1时 f（x ）= ，若 a=f（ ） ，b=f（ ） ，c=f （ ） ，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ）Aa b c Bbac Ccba Dacb【解答】解：定义在 R 上的偶函数 y=f（x）满足对任意 xR，都有 f（x）=f（2 x） ，可得 f（ x）
16、=f（x）=f（2 x） ，即为 f（ x+2）=f（x） ，函数 f（ x）的最小正周期为 2，若 a=f（ ）=f（672 ）=f （ ）=f（ ） ，b=f（ ）=f（404 ） =f（ ）=f（ ） ，c=f（ ）=f（288+ ） =f（ ） ，x（0，1时 f（x）= ，导数为 f（x） = ，当 0x1 时，f（x ）0，f（x ）递增，由 ，可得 f（ ）f（ ）f （ ） ，即为 ca b，故选 B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13 （5 分）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（1+3s
17、in 2）=4 ，则曲线 C 的普通方程为 +y2=1 【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为 2（1+3sin 2）=4，转化为直角坐标方程为：x 2+3y2=4，整理得： 故答案为： 14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S4，S 8S4，S 12S8，S 16S12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列b n的前 n 项积为 Tn，则 T4， ， ， 成等比数列【解答】解：设等比数列b n的公比为 q，首项为 b1，则 T4=b14q6，T 8=b18q1+2+7=b18q28，T12=b112q1+2+11=b112q66， =b14q22， =b14q38，即（
18、） 2= T4，故 T4， ， 成等比数列故答案为：15 （5 分）F 1 是椭圆 的左焦点，P 是椭圆上的动点 A（1，1）为定点，则|PA|+| PF1|的最小值是 6 【解答】解：椭圆 的 a=3，b= ，c=2，如图，设椭圆的右焦点为 F2（2，0） ，则|PF 1|+|PF2|=2a=6；|PA|+| PF1|=|PA|+6|PF2|=6+|PA|PF2|；由图形知，当 P 在直线 AF上时，|PA|PF2|=|AF2|= ，当 P 不在直线 AF上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，|PA|PF2|AF 2|= ；当 P 在 FA 的延长线上时，|PA|PF 2|取得最小值 ，|
19、PA|+| PF1|的最小值为 6 故答案为：6 16 （5 分）在ABC 中， D 是 BC 的中点，已知BAD+C=90 ，则ABC 的形状是 等腰或直角三角形 【解答】解：根据题意，BAD+C=90，CAD+B=180（BAD+C ）=90 ，设BAD=，B=，则C=90，CAD=90 ，在ABD 和 ACD 中，根据正弦定理得： sin：sin=BD：AD ，sin（ 90）：sin（90 ）=CD ：AD ，又 D 为 BC 中点，BD=CD ，sin：sin=sin（90 ）：sin（90 ）=cos：cos，sincos=sincos，即 sin2=sin2，2=2 或 2+2=
20、180，= 或 +=90，BD=AD=CD 或 ADCD ，BAC=90 或 AB=AC，ABC 为直角三角形或等腰三角形故答案为：等腰或直角三角形三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17 （10 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，满足（2b c）cosA=acosC（1）求角 A 的大小；（2）若 a=2，b+c=4 ，求ABC 的面积【解答】解：（1）已知等式（2b c）cosA=acosC ，由正弦定理化简得（2sinB sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，即 2sinBcos
21、A=sin（A+C）=sinB，在ABC 中，sinB0，cosA= ，0AA= ；（2）b+c=4 ，a=2 ，由余弦定理得：a 2=b2+c22bcosA，即 4=b2+c2bc，4=（b+c） 23bc，b+c=4，bc=4，S ABC = bcsinA= 4 =18 （12 分）某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班 50 人陈老师采用 A，B 两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”（1）从乙班样本的
22、20 个个体中，从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个，求抽出的两个均“ 成绩优秀” 的概率；（2）由以上统计数据填写下面 2x2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K 2=P（K 2k）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【解答】解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“ 为事件 A从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为（86，93） ， （86，96） ，（86，97 ） ， （86 ，99） （86
23、，99 ） ， （93，96） ， （93 ，97） ， （93 ，99） ， （93，99） ，（96，97 ） ， （96 ，99） ， （96，99 ） ， （97，99） ， （97 ，99） ， （99 ，99） ，共 15 个，而事件 A 包含基本事件：（93，96） ， （93，97） ， （93，99） ， （93，99） ，（96，97 ） ， （96 ，99） ， （96，99 ） ， （97，99） ， （97 ，99） ， （99 ，99） ，共 10个 所以所求概率为 P（A）= = （2）由已知数据得：甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计成绩优秀 1 5 6成绩
24、不优秀 19 15 34总计 20 20 40根据 22 列联表中数据，K 2= 3.1372.706所以有 90%的把握认为 “成绩优秀”与教学方式有关19 （12 分）已知数列a n，其前 n 项和为 Sn，若函数 y=x22x 在 x=an 处的切线斜率为 Sn，数列 bn，满足点（n，b n） （n N*）在直线 y=x 上（1）分别求a n，b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）y=x 22x，y=2x2，2a n2=Sn，2an12=Sn1（n 2） ，a n=2an1（n2） ，当 n=1 时，a 1=2，a n是以 a1=2 为首项，2
25、为公比的等比数列，a n=2n（n N*） ，由条件知b n是等差数列，bn=n；（2）令 cn=anbn=n2n （利用错位相减法求和） ，则 Tn=2+222+323+424+n2n，故 2Tn=22+223+324+（ n1）2 n+n2n+1，得T n=2+22+23+2nn2n+1= n2n1，T n=（n1）2 n+1+220 （12 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，AEDE，CD平面 ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求 B 到平面 CDE 的距离（2）在线段 DE 上是否存在一点 F，使 AF平面 BCE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
26、【解答】 （1）解：CD平面 ADE，CDAE，又AE ED，EDCD=D，AE平面 CDE，又 ABCD，B 到平面 CDE 的距离为 AE=3 （ 6 分）（2）解：在线段 DE 上存在一点 F，使 AF平面 BCE， = 下面给出证明：设 F 为线段 DE 上的一点，且 = 过 F 作 FMCD 交 CE 于点 M，则 FM= ，CD平面 ADE，AB平面 ADE，CDAB又 CD=3AB，MF AB，四边形 ABMF 是平行四边形，AFBM ，又 AF平面 BCE，BM平面 BCEAF平面 BCE （12 分）21 （12 分）已知椭圆 C： （ab 0 ）的短轴长为 2，离心率为（1
27、）求椭圆 C 的方程；（2）设过定点 T（0，2）的直线 l 与（1 ）中的椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围【解答】解：（1）由已知得 2b=2， = ，解得 a=3，b=1椭圆 C 的方程为 +y2=1（2）直线 l 方程为 y=kx+2，将其代入 +y2=1，得（3k 2+1）x 2+12kx+9=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，= （ 12k） 236（1+3k 2）0，解得 k21，由根与系数的关系，得 x1+x2= ，x 1x2=AOB 为锐角， 0 ，x 1x2+y1y20，x 1x2+（kx 1+2）
28、（kx 2+2）0，（1+k 2）x 1x2+2k（x 1+x2）+40，化简得 0，解得 k2 ，由 k2 1 且 k2 ，解得 k（ ，1）（1， ） 22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+（2m1）x mlnx（1）当 m=1 时，求曲线 y=f（x）的极值；（2）求函数 f（x）的单调区间；（3）若对任意 m（2， 3）及 x1，3时，恒有 mtf（x）1 成立，求实数 t的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x ）的定义域为（0，+） ，当 m=1 时， ，解得 x=1（舍去） ，在 上递减，在 上递增，所以 f（x ）的极小值为 （2） ，令 f（x）=0 可得当 m0
29、时，由 f（x ）0 可得 f（x）在 上单调递减，由 f（x）0 可得 f（x）在 上单调递增当 时，由 f（x ）0 可得 f（x）在 上单调递减，由 f（x）0 可得 f（x）得在（0，m）和 上单调递增当 时，由 可得 f（x ）在（0，+）上单调递增当 时，由 f（x ）0 可得 f（x）在 上单调递减，由 f（x）0 可得 f（x）得在 和（m，+）上单调递增（3）由题意可知，对m（2，3） ，x 1，3时，恒有 mt1f（x）成立，等价于 mt1f（x） min，由（2）知，当 m（2， 3）时，f （x）在1，3上单调递增，f（ x） min=f（1）=2m，所以原题等价于m（2，3）时，恒有 mt12m 成立，即 在 m（2，3）时，由 ，故当 时，mt12m 恒成立，
