1、2017-2018 学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）命题“n N*，f （n ） N*且 f（n）n”的否定形式是（ ）A nN*，f（n）N *且 f（n）nBn N*，f （n）N *或 f（n）nC 且 f（n 0）n 0D 或 f（n 0）n 02 （5 分）若复数 =2i 其中 a，b 是实数，则复数 a+bi 在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知 a，b，c 均为实数，则“b 2=
2、ac”是“a，b，c 构成等比数列”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）抛物线 x2= y 的准线方程是（ ）Ay=1 By=1 Cy= Dy=5 （5 分）在等差数列a n中，a 1=1，a 3+a4+a5+a6=20，则 a8=（ ）A7 B8 C9 D106 （5 分）已知ABC 的两个顶点 A（5，0） ，B （5，0） ，周长为 22，则顶点 C的轨迹方程是（ ）A BC D7 （5 分）函数 ，则（ ）Ax=e 为函数 f（x）的极大值点 Bx=e 为函数 f（x）的极小值点C 为函数 f（x ）的极大值点 D 为函数 f（x）
3、的极小值点8 （5 分）如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD的中点，则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为（ ）A B C D9 （5 分）已知数列a n， a1=1， ，则 a10 的值为（ ）A5 B C D10 （5 分）若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （， C ，+） D （， ）11 （5 分）已知 x，y（ 0，+） ，且满足 ，那么 x+4y 的最小值为（ ）A B C D12 （5 分）如图，F 1，F 2 是双曲线 C： =1（ a0，b0）的左、右两
4、个焦点若直线 y=x 与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A2 + B2+ C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 ，则 = 14 （5 分） = 15 （5 分）椭圆 C 的中心在坐标原点，左、右焦点 F1，F 2 在 x 轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF2AB，则此椭圆的离心率为 16 （5 分）已知 f（x ，y）=ax+by，若 1f（1，1）2 且1f（1，1）1，则 f（2，1）的取值范围为 三、解答题（本
5、大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）设数列a n满足 a1=1，a n+1=3an，n N+（）求a n的通项公式及前 n 项和 Sn；（）已知b n是等差数列，且满足 b1=a2，b 3=a1+a2+a3，求数列b n的通项公式18 （12 分）已知抛物线 y2=2px（p0） ，焦点对准线的距离为 4，过点P（1 ，1）的直线交抛物线于 A，B 两点（1）求抛物线的方程；（2）如果点 P 恰是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA1
6、=AC=CB=2，AB=2 （）证明：BC 1平面 A1CD；（）求锐二面角 DA1CE 的余弦值20 （12 分）在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，点 P 在 x 轴的正射影为点 Q，当点 P在圆上运动时，动点 M 满足 ，动点 M 形成的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）点 A（2，0）在曲线 C 上，过点（1，0）的直线 l 交曲线 C 于 B，D 两点，设直线 AB 斜率为 k1，直线 AD 斜率为 k2，求证： k1k2 为定值21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AB=2AD=2 ，PDAD ，PD DC （）证明：平面 PBC平
7、面 PBD；（）若二面角 PBCD 为 ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值22 （12 分）设函数 f（x）=x 2ex（1）求曲线 f（x）在点（ 1，e ）处的切线方程；（2）若 f（x）ax 对 x（ ，0）恒成立，求 a 的取值范围；（3）求整数 n 的值，使函数 F（x）=f（x） 在区间（n，n +1）上有零点2017-2018 学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）命题“n N*，f （n ） N*且 f（n）n”的
8、否定形式是（ ）A nN*，f（n）N *且 f（n）nBn N*，f （n）N *或 f（n）nC 且 f（n 0）n 0D 或 f（n 0）n 0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ nN*，f（n）N*且 f（n）n”的否定形式是： 或 f（n 0）n 0故选：D2 （5 分）若复数 =2i 其中 a，b 是实数，则复数 a+bi 在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：复数 =2i，其中 a，b 是实数，a +i=（2i ） （b i）=2b1（2+b ）i， ，解得 b=3，a=7则复数 a+bi 在复平面内所对应的点
9、（7，3）位于第三象限故选：C3 （5 分）已知 a，b，c 均为实数，则“b 2=ac”是“a，b，c 构成等比数列”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由“b 2=ac”推不出 “a，b ，c 构成等比数列，比如 a=b=c=0，反之成立，故选：A4 （5 分）抛物线 x2= y 的准线方程是（ ）Ay=1 By=1 Cy= Dy=【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x 2= y，焦点在 y 轴上；所以：2p= ，即 p= ，所以： = ，所以准线方程 y= 故选：D5 （5 分）在等差数列a n中，a 1=1，a 3+a4+a5+a6=
10、20，则 a8=（ ）A7 B8 C9 D10【解答】解：设公差为 d，则 1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，d= ，a 8=1+7d=9，故选 C6 （5 分）已知ABC 的两个顶点 A（5，0） ，B （5，0） ，周长为 22，则顶点 C的轨迹方程是（ ）A BC D【解答】解：ABC 的两个顶点 A（5，0） ，B （5，0） ，周长为 22，则顶点 C的轨迹是椭圆，可知 c=5，2a=12 ，解得 a=6，c= 则顶点 C 的轨迹方程是： 故选：B7 （5 分）函数 ，则（ ）Ax=e 为函数 f（x）的极大值点 Bx=e 为函数 f（x）的极小值点C 为函数 f（x ）
11、的极大值点 D 为函数 f（x）的极小值点【解答】解： 的定义域（0，+） ，求导 f（x）= ，令 f（x）= 0，解得：0x e ，令 f（x ）= 0，解得：xe，函数 在（0，e）上递增，在（e ，+）上递减，当 x=e 时，函数有极大值，故选 A8 （5 分）如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD的中点，则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为 2，则 B1（2，2，2） ，M（1，1，0） ，D 1（0，0，2） ，N（1，0，0） ， =（1 ，1，2） ， =（
12、1，0，2） ，B 1M 与 D1N 所成角的余弦值为| |= ，故选：A9 （5 分）已知数列a n， a1=1， ，则 a10 的值为（ ）A5 B C D【解答】解：数列a n，a 1=1， ， = ，= ，= ，由此猜想 an= 下面利用数学归纳法进行证明： ，成立；假设 ak= ，则 = = ，成立， ，a 10= 故选：D10 （5 分）若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （， C ，+） D （， ）【解答】解：若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，只需 y=3x2+2x+m0 恒成立，即=4
13、12m0，m 故选 C11 （5 分）已知 x，y（ 0，+） ，且满足 ，那么 x+4y 的最小值为（ ）A B C D【解答】解：x，y （0，+） ，且满足 ，那么 x+4y= （x+4y ）= = = +，当且仅当 x=2 = 时取等号故选：C12 （5 分）如图，F 1，F 2 是双曲线 C： =1（ a0，b0）的左、右两个焦点若直线 y=x 与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A2 + B2+ C D【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x 代入 =1，可得 x= ， =c，2a 2b2=（b 2a2）c 2，2a 2（
14、 c2a2）=（c 22a2）c 2，2（e 21）=e 42e2，e 44e2+2=0，e1，e 2=2+ ，e= 故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 ，则 = 7 【解答】解： ，则=（ 2，1，5） （7， 2，1 ）= 14+2+5=7；故答案为：714 （5 分） = 1 【解答】解： 1e dx=lnx|1e=lneln1=1，故答案为 115 （5 分）椭圆 C 的中心在坐标原点，左、右焦点 F1，F 2 在 x 轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF2AB
15、，则此椭圆的离心率为 【解答】解：如图所示，把 x=c 代入椭圆标准方程： + =1（ab0） 则 =1，解得 y= 取 P ，又 A（0，b ） ，B（a，0） ，F 2（c，0） ，k AB= ， = = PF 2 AB， = ，化为： b=2c4c 2=b2=a2c2，即 a2=5c2，解得 a= c，e= = 故答案为： 16 （5 分）已知 f（x ，y）=ax+by，若 1f（1，1）2 且1f（1，1）1，则 f（2，1）的取值范围为 【解答】解：f（x，y）=ax+by，若 1f （1，1）2 且1f（1，1）1，可得 ，画出不等式组的可行域如图：则 f（2，1） =2a+b，
16、当直线 z=2a+b 经过 A 时取得最小值，经过 B 时取得最大值，由 可得 B（ ， ） ，f（2，1）=2a +b 的最小值为：！，最大值为： 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）设数列a n满足 a1=1，a n+1=3an，n N+（）求a n的通项公式及前 n 项和 Sn；（）已知b n是等差数列，且满足 b1=a2，b 3=a1+a2+a3，求数列b n的通项公式【解答】解：（）由题设可知a n是首项为 1，公比为 3 的等比数列，（2分）所以 ，（4 分）（6 分）（）设数列b n的公差为 db
17、1=a2=3，b 3=a1+a2+a3=S3=13，b 3b1=10=2d，d=5，（8 分）b n=5n2（10 分）18 （12 分）已知抛物线 y2=2px（p0） ，焦点对准线的距离为 4，过点P（1 ，1）的直线交抛物线于 A，B 两点（1）求抛物线的方程；（2）如果点 P 恰是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为 4，可知 p=4，所以抛物线方程为 y2=8x；（2）方法一：设 A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=2，y 1+y2=2，又 ，相减整理得 ，所以直线 AB 的方程是 y=4（x 1）1，即 4x
18、+y3=0方法二：由题设可知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k（x1） 1，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消去 x，得 ky28y8k8=0，易知 ，又 y1+y2=2 所以 ，所以直线 AB 的方程是 y=4（x 1）1，即 4x+y3=019 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2 （）证明：BC 1平面 A1CD；（）求锐二面角 DA1CE 的余弦值【解答】解：（）连结 AC1，交 A1C 于点 O，连结 DO，则 O 为 AC1 的中点，因为 D 为 AB
19、 的中点，所以 ODBC 1，又因为 OD平面 A1CD，BC 1平面A1CD，BC 1平面 A1CD（4 分）（）由 ，可知 ACBC ，以 C 为坐标原点， 方向为x 轴正方向， 方向为 y 轴正方向， 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 D（1，1，0） ，E（0，2 ，1） ，A 1（2，0，2） ， ，设 是平面 A1CD 的法向量，则 即可取 （6 分）同理，设 是平面 A1CE 的法向量，则 ，可取 （8 分）从而 （10 分）所以锐二面角 DA1CE 的余弦值为 （12 分）20 （12 分）在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，点 P 在 x 轴的正射影为
20、点 Q，当点 P在圆上运动时，动点 M 满足 ，动点 M 形成的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）点 A（2，0）在曲线 C 上，过点（1，0）的直线 l 交曲线 C 于 B，D 两点，设直线 AB 斜率为 k1，直线 AD 斜率为 k2，求证： k1k2 为定值【解答】解：（）设点 M 的坐标为（x，y） ，则由题意知点 P 的坐标为（x，2y）因为 P 在圆 O：x 2+y2=4，所以 x2+4y2=4故所求动点 M 的轨迹方程为 （4 分）（）方法一：由题意知直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为x=my+1，B（x 1，y 1） ，D （x 2，y 2）由 消去 x，得（
21、m2+4）y 2+2my3=0，易知=16m 2+480，得 （8 分）=所以 为定值（12 分）方法二：（）当直线 l 斜率不存在时，所以 （6 分）（）当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 y=k（x1） ，B（x 1，y 1） ，D（x 2， y2）由 消去 y，得（1+4k 2）x 28k2x+4k24=0，易知=48k 2+160， （8 分）=所以 为定值（12 分）21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AB=2AD=2 ，PDAD ，PD DC （）证明：平面 PBC平面 PBD；（）若二面角 PBCD 为 ，求 AP 与平面 PBC
22、 所成角的正弦值【解答】证明：（）PDAD，PDCDADCD=D，AD平面 ABCDCD平面ABCDPD平面 ABCD，BC 平面 ABCDPDBC（2 分）又又 ，ADB=90， ADBD，又 ADBCBC BD（4 分）又PDBD=D ，BD 平面 PBD，PD平面 PBDBC 平面 PBD而 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBD（6 分）解：（）由（）所证，BC平面 PBDPBD 即为二面角 PBCD 的平面角，即PBD=而 ，所以 PD=1（8 分）分别以 DA、 DB、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则 A（1，0 ， 0） ， ， ，P（0，0，1） ， =
23、（ 1，0，0） ， ，设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，即 ，取 y=1，得 （10 分）AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为：（12 分）22 （12 分）设函数 f（x）=x 2ex（1）求曲线 f（x）在点（ 1，e ）处的切线方程；（2）若 f（x）ax 对 x（ ，0）恒成立，求 a 的取值范围；（3）求整数 n 的值，使函数 F（x）=f（x） 在区间（n，n +1）上有零点【解答】解：（1）f（x）=（x 2+2x）e x，f（1）=3e，所求切线方程为 ye=3e（x1） ，即 y=3ex2e；（2）f（x ）ax，对 x（ ，0）恒成立， ，设 g（ x）=xe x，g（x）= （x+1）e x，令 g（x）0 ，得 x1，令 g（x）0 得 x 1，g （x）在（，1）上递减，在（1，0）上递增， ， ；（3）令 F（x）=0，得 ，当 x0 时， ，F（x）的零点在（0，+）上，令 f（x）0，得 x0 或 x 2，f（ x）在（0，+）上递增，又 在（0，+）上递减，方程 仅有一解 x0，且 x0（n，n +1） ，nZ ， ，由零点存在的条件可得 ，则 n=0
