1、2017-2018 学年吉林省延边州汪清高二（上）期末数学试卷一、单项选择（每小题 5 分，共计 60 分）1 （5 分）在ABC 中，已知 A=60，a=4 ，b=4 ，则B 的度数是（ ）A135 B45 C75 D45 或 1352 （5 分）若ABC 的三个内角 A，B ，C 满足 sinA：sinB：sinC=5 ：12 ：13，则ABC 一定是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定3 （5 分）已知等比数列a n满足 a2=4，a 6=64，则 a4=（ ）A 16 B16 C16 D324 （5 分）已知等差数列a n中，a 5+a9=2，则 S13=（ ）A
2、11 B12 C13 D145 （5 分）若 ab0，则下列不等式中成立的是（ ）A|a | b B C D6 （5 分）等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A130 B170 C210 D2607 （5 分）设变量 x，y 满足 ，则 2x+3y 的最大值为（ ）A20 B35 C45 D558 （5 分）设集合 A=x|x20，B=x |x22x0，则“xA”是“x B”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9 （5 分）命题“x R，x 3x2+10” 的否定是（ ）A不存在 xR，x 3x2+
3、10 B x0R，x 03x02+10C x0R，x 03x02+10 DxR ，x 3x2+1010 （5 分）椭圆 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ON 为（ ）A2 B C8 D411 （5 分）如果椭圆 + =1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）Ax 2y=0 Bx+2y4=0 C2x+3y 12=0 Dx+2y 8=012 （5 分）已知点 F1、F 2 分别是椭圆 + =1（k 1）的左、右焦点，弦AB 过点 F1，若ABF 2 的周长为 8，则椭圆的离心率为（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分
4、）13 （5 分）设 x0，y0 且 x+2y=1，求 + 的最小值 14 （5 分）过椭圆 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F 2 是椭圆右焦点，则ABF 2 的周长为 15 （5 分）给出以下四个判断，其中正确的判断是 （1）若“p 或 q”为真命题，则 p，q 均为真命题（2）命题“若 x4 且 y2，则 x+y6”的逆否命题为“若 x+y6，则 x4 且y2”（3）若 x300，则 cosx（4）命题“x 0R，e 0”是假命题16 （5 分）在ABC 中，已知 b= ，c=3 ，B=30，则 a= 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）椭圆
5、+ =1（ab 0）的两焦点为 F1（0，c ） ，F 2（0，c）（c0） ，离心率 e= ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2 ，求椭圆的方程18 （12 分）已知abc 的周长为 10，且 sinB+sinC=4sinA（）求边长 a 的值；（）若 bc=16，求角 A 的余弦值19 （12 分）设a n是等差数列， bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a 3+b5=21，a 5+b3=13（）求a n、b n的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Sn20 （12 分）设命题 p：实数 x 满足（x a） （x 3a） 0，其中 a0，命题 q：实数 x 满足（x3） （x2）
6、 0（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知等比数列a n中，s n 为前 n 项和且 a1+a3=5，s 4=15，（1）求数列a n的通项公式（2）设 bn=3log2an，求 bn 的前 n 项和 Tn 的值22 （12 分）已知椭圆 过左焦点的直线 l 的倾角为 45与椭圆相交于A，B 两点（1）求 AB 的中点坐标；（2）求ABF 2 的面积2017-2018 学年吉林省延边州汪清高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（每小题 5 分，共计 60 分）1 （5 分）在ABC
7、中，已知 A=60，a=4 ，b=4 ，则B 的度数是（ ）A135 B45 C75 D45 或 135【解答】解：A=60，a=4 ，b=4 ，由正弦定理得：sinB= = = ，a b ，可得 AB，B=45故选：B2 （5 分）若ABC 的三个内角 A，B ，C 满足 sinA：sinB：sinC=5 ：12 ：13，则ABC 一定是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定【解答】解：角 A、B、C 满足 sinA：sinB ：sinC=5：12：13，根据正弦定理，整理得 a：b：c=5 ：12：13，设 a=5x，b=12x，c=13x ，满足（5x） 2+（12x
8、） 2=（ 13x） 2因此，ABC 是直角三角形故选：C3 （5 分）已知等比数列a n满足 a2=4，a 6=64，则 a4=（ ）A 16 B16 C16 D32【解答】解法一：等比数列a n满足 a2=4，a 6=64， ，解得 或 ，a 4= =16故选：B解法二：等比数列a n满足 a2=4，a 6=64，a 42=a2a6=464=256，偶数项的符号相同，a 4=16故选：B4 （5 分）已知等差数列a n中，a 5+a9=2，则 S13=（ ）A11 B12 C13 D14【解答】解：在等差数列a n中，S n= S 13= = = =13故选 C5 （5 分）若 ab0，则
9、下列不等式中成立的是（ ）A|a | b B C D【解答】解：a0，|a|= a，ab0，ab0，|a | b，故结论A 成立；取 a=2，b= 1，则 ，B 不正确；， ，C 不正确；， ， ，D 不正确故选 A6 （5 分）等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A130 B170 C210 D260【解答】解：解法 1：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由题意得方程组 ，a1解得 d= ，a 1= ，s 3m=3ma1+ d=3m + =210故选 C解法 2：设a n为等差数列，s m，s 2msm，s 3ms2m 成等差
10、数列，即 30，70 ，s 3m100 成等差数列，30+s 3m100=702，解得 s3m=210故选 Ca 17 （5 分）设变量 x，y 满足 ，则 2x+3y 的最大值为（ ）A20 B35 C45 D55【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：令 z=2x+3y 可得 y= ，则 为直线 2x+3yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线 l：2x +3y=0把直线向上平移可得过点 D 时 2x+3y 最大，由 可得 x=5，y=15，此时 z=55故选 D8 （5 分）设集合 A=x|x20，B=x |x22x0，则“xA”是“x B”的（ ）A充分不必要条件
11、 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：A=x|x 20= x|x2 ，B= x|x22x0=x|x 2 或 x0，“xA”是“x B”的充分不必要条件故选 A9 （5 分）命题“x R，x 3x2+10” 的否定是（ ）A不存在 xR，x 3x2+10 B x0R，x 03x02+10C x0R，x 03x02+10 DxR ，x 3x2+10【解答】解：命题“ xR，x 3x2+10” 的否定是：x 0R，x x +10，故选：C10 （5 分）椭圆 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ON 为（ ）A2 B C8 D4【解答】解
12、：椭圆 ，可得 a=5，|MF 1|+|MF2|=2a=10，又|MF 1|=2，|MF 2|=8，N 是 MF1 的中点， O 为 F1F2 的中点，|ON|= |MF2|=4故选：D11 （5 分）如果椭圆 + =1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）Ax 2y=0 Bx+2y4=0 C2x+3y 12=0 Dx+2y 8=0【解答】解：设这条弦的两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，斜率为 k，则 ，两式相减再变形得又弦中点为（4，2） ，故 k= ，故这条弦所在的直线方程 y2= （x 4） ，整理得 x+2y8=0；故选 D12 （5 分）已知
13、点 F1、F 2 分别是椭圆 + =1（k 1）的左、右焦点，弦AB 过点 F1，若ABF 2 的周长为 8，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解答】解：由椭圆定义有 4a=8a=2，所以 k+2=a2=4k=2从而 b2=k+1=3，c 2=a2b2=1，所以 ，故选 A二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分）13 （5 分）设 x0，y0 且 x+2y=1，求 + 的最小值 3+2 【解答】解：根据题意，x+2y=1 ，则 =（x+ 2y）（ ）=3+ 3+2 =3+2 ，故答案为 3+2 14 （5 分）过椭圆 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F 2 是椭圆右
14、焦点，则ABF 2 的周长为 8 【解答】解：由椭圆 ，可得 a=2；椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4ABF 2 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8故答案为：815 （5 分）给出以下四个判断，其中正确的判断是 （4） （1）若“p 或 q”为真命题，则 p，q 均为真命题（2）命题“若 x4 且 y2，则 x+y6”的逆否命题为“若 x+y6，则 x4 且y2”（3）若 x300，则 cosx（4）命题“x 0R，e 0”是假命题【解答】解：（1）若“p 或 q”为真命题，则两个没有至少一个
15、是真命题，所以判断 p，q 均为真命题是不正确的；（2）命题“若 x4 且 y2，则 x+y6”的逆否命题为“若 x+y6，则 x4 或y2”，所以原判断不正确；（3）若 x300，则 cosx ，反例 x=60，cosx= ，所以（3）不正确；（4）命题“x 0R，e 0”是假命题由指数函数的值域可知，命题是假命题，所以（4）正确；故答案为：（4） 16 （5 分）在ABC 中，已知 b= ，c=3 ，B=30，则 a= 或 2 【解答】解：b= ，c=3，B=30，由余弦定理 b2=a2+c22accosB 可得：3=a 2+92a3cos30，整理可得：a 23a+6=0，a= 或 2
16、故答案为： 或 2 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）椭圆 + =1（ab 0）的两焦点为 F1（0，c ） ，F 2（0，c）（c0） ，离心率 e= ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2 ，求椭圆的方程【解答】解：e= ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2 ， = ，a c=2 ，解得 a=2，c= ，b 2=a2c2=1，由此可得椭圆的方程为 18 （12 分）已知abc 的周长为 10，且 sinB+sinC=4sinA（）求边长 a 的值；（）若 bc=16，求角 A 的余弦值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）根据正弦定理，sinB +sinC=4sinA，
17、可化为 b+c=4a，（3 分）联立方程组 ，解得 a=2 （5 分）所以，边长 a=2 （6 分）（）由 bc=16，又由（ ）得 b+c=8，得 b=c=4，（8 分） = （10 分）因此，所求角 A 的余弦值是 （12 分）19 （12 分）设a n是等差数列， bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a 3+b5=21，a 5+b3=13（）求a n、b n的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Sn【解答】解：（）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则依题意有 q0 且解得 d=2，q=2所以 an=1+（ n1）d=2n1 ， bn=qn1=2n1（） ，Sn= ，
18、得 Sn=1+2（ + + ） ，则 = = 20 （12 分）设命题 p：实数 x 满足（x a） （x 3a） 0，其中 a0，命题 q：实数 x 满足（x3） （x2） 0（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由（x1） （x3）0，得 P=x|1x 3，（x3） （x2）0，可得 Q=x|2x 3，由 pq 为真，即为 p，q 均为真命题，可得 x 的取值范围是 2 x3；（2）若p 是q 的充分不必要条件，可得 q 是 p 的充分不必要条件，由题意可得 P=x|ax3a，Q=x|2x3，由
19、QP，可得 a2 且 33a，解得 1a221 （12 分）已知等比数列a n中，s n 为前 n 项和且 a1+a3=5，s 4=15，（1）求数列a n的通项公式（2）设 bn=3log2an，求 bn 的前 n 项和 Tn 的值【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，a 1+a3=5，s 4=15，q1a 1（1 +q2） =5， =15，联立解得 a1=1，q=2a n=2n1（2）b n=3log2an=3（n1） 数列b n的前 n 项和 Tn= = n22 （12 分）已知椭圆 过左焦点的直线 l 的倾角为 45与椭圆相交于A，B 两点（1）求 AB 的中点坐标；（2）求ABF 2 的面积【解答】解：（1）由椭圆方程： 知，a= ，b= ，c= =1F 1（1，0 ） ，F 2（1，0 ）直线 l 的斜率 k=tan45，l 的方程为 y=x+1， ，整理得：5x 2+6x3=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 中点 M（x 0，y 0）则 x1+x2= ，x 1x2= ，x 0= = ，则 y0=x0+1= ，中点坐标为 M（ ， ） ；（2）F 2 到直线 l 距离 d= = = ，|AB|= =S ABC = |AB|d= = ，ABF 2 的面积
