1、2017-2018 学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1 （5 分）设集合 A=x|1x 3，B=x|x m ，若 AB，则 m 的取值范围是（ ）Am 3 Bm1 Cm1 Dm32 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax 2 =1 B y2=1 C x2=1 Dy 2 =13 （5 分）已知 ， ，则 tan=（ ）A 2 B C D4 （5 分）下列说法正确的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c（a ，b ，c R） ，则 f（x）0 的充分条件是 b24ac0B若
2、m，k，nR，则 mk2nk 2 的充要条件是 mnC对任意 xR，x 20 的否定是存在 x0R，Dm 是一条直线， 是两个不同的平面，若 m，m，则 5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 B C8 D46 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y= （k 0）与 C 交于点P，PF x 轴，则 k=（ ）A B1 C D27 （5 分）圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1，则 a=（ ）A B C D28 （5 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 3a1+4a9=
3、a17，则 =（ ）A9 B C D9 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）Ax 3 Bx4 Cx4 Dx510 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A B C2 D11 （5 分）设函数 f（x ） =ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x ）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1 ）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数12 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的
4、焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ，若向量 与 垂直，则 m= 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 15 （5 分）函数 f（x ）=cos2x+6cos（ x）的最大值是 16 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为
5、 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 三、解答题（本题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题，每小题 10 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积18 （12 分）S n 为数列a n前 n 项和，已知 an0， an2+2an=4Sn+3，（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和19 （12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男
6、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例20 （12 分）如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 2，D 是 A1B 的中点，E 是B1C1 的中点（ I）证明：DE平面
7、 ACC1A1；（ II）若三棱锥 EDBC 的体积为 ，求该正三棱柱的底面边长21 （12 分）中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，渐近线方程为（ I）求双曲线 C 的方程；（ II）直线 l：y=kx1 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，试探究，是否存在以线段 PQ为直径的圆过原点若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由22 （12 分）已知函数 f（ x）=32log 2x，g（x）=log 2x；（ I）当 x1，4时，求函数 h（x）= f（x）+2g （x ） f（x ） 的最值；（ II）如果对任意的 x1，4，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围2017-2018 学年
8、贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1 （5 分）设集合 A=x|1x 3，B=x|x m ，若 AB，则 m 的取值范围是（ ）Am 3 Bm1 Cm1 Dm3【解答】解：集合 A=x|1x 3，B=x|xm，AB，m3m 的取值范围是 m3故选：A2 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax 2 =1 B y2=1 C x2=1 Dy 2 =1【解答】解：由 A 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 C 可得焦点在 y
9、轴上，渐近线方程为 y=2x，符合条件；由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= x，不符合条件故选 C3 （5 分）已知 ， ，则 tan=（ ）A 2 B C D【解答】解：已知 ， ，cos= = ，则 tan= = ，故选：C4 （5 分）下列说法正确的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c（a ，b ，c R） ，则 f（x）0 的充分条件是 b24ac0B若 m，k，nR，则 mk2nk 2 的充要条件是 mnC对任意 xR，x 20 的否定是存在 x0R，Dm 是一条直线， 是两个不同的平面，若 m，m，则 【解答】解：对于 A，当 a0 时，由 b24ac0 不能得到
10、 f（x）0，则“ax2+bx+c0” 的充分条件是“b 24ac0” 错误对于 B，若 m，k ，n R，由 mk2nk 2 的一定能推出 mn ，但是，当 k=0 时，由 mn 不能推出 mk2nk 2，故 B 错误，对于 C，命题 “对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 x0R，有 x020”，故 C 错误，对于 D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故 D 正确，故选：D5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 B C8 D4【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2，正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以
11、球的表面积为 =12故选：A6 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y= （k 0）与 C 交于点P，PF x 轴，则 k=（ ）A B1 C D2【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F 为（1，0） ，曲线 y= （k0）与 C 交于点 P 在第一象限，由 PF x 轴得：P 点横坐标为 1，代入 C 得：P 点纵坐标为 2，故 k=2，故选：D7 （5 分）圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1，则 a=（ ）A B C D2【解答】解：圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心坐标为：（ 1，4） ，故圆心到直线 ax
12、+y1=0 的距离 d= =1，解得：a= ，故选：A8 （5 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 3a1+4a9=a17，则 =（ ）A9 B C D【解答】解：3a 1+4a9=a17，4a 1+4a9=a1+a17，即 4（a 1+a9）=2a 9，即 4a5=a9，则 = = = = ，故选：C9 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）Ax 3 Bx4 Cx4 Dx5【解答】解：方法一：当 x=4，输出 y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x4 ，故选 B方法二：若空白判断框中的条件 x
13、3，输入 x=4，满足 43，输出 y=4+2=6，不满足，故 A 错误，若空白判断框中的条件 x4，输入 x=4，满足 4=4，不满足 x3，输出y=y=log24=2，故 B 正确；若空白判断框中的条件 x4，输入 x=4，满足 4=4，满足 x4，输出 y=4+2=6，不满足，故 C 错误，若空白判断框中的条件 x5，输入 x=4，满足 45，满足 x5，输出y=4+2=6，不满足，故 D 错误，故选 B10 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A B C2 D【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，
14、其直观图如下图所示：故其体积 V= = ，故选：A11 （5 分）设函数 f（x ） =ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x ）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1 ）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数【解答】解：函数 f（x） =ln（1+x）ln（1x） ，函数的定义域为（1，1） ，函数 f（ x）=ln （1x）ln （1+x ）=ln（1+x）ln（1x）= f（x） ，所以函数是奇函数排除 C，D，正确结果在 A，B ，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；x= 时，f（ ）=
15、ln（1+ ）ln（1 ）=ln31，显然 f（0）f（ ） ，函数是增函数，所以 B 错误，A 正确故选：A12 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D3【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F（1，0） ，且斜率为 的直线：y= （x1） ，过抛物线 C： y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l可知： ，解得 M（3，2 ） 可得 N（1， 2 ） ，NF 的方程为
16、： y= （x 1） ，即 ，则 M 到直线 NF 的距离为： =2 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ，若向量 与 垂直，则 m= 7 【解答】解：向量 ， =（m 1，3） ，向量 与 垂直，（ ） =1（m1）+23=0，解得 m=7故答案为：714 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 5 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 B（ 3，4） 化目标函数 z=x2y 为 y= x z，由图可知，当直线 y= x z 过 B（3，4）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3
17、24=5故答案为：515 （5 分）函数 f（x ）=cos2x+6cos（ x）的最大值是 5 【解答】解：f（x）=cos2x+6cos （ x）=12sin2x+6sinx=2sin2x+6sinx+1令 t=sinx，t1，1，则原函数化为 y= ，当 t=1 时，y 有最大值为 故答案为：516 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 【解答】解：双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，与抛物线 C2：x 2=2
18、py 联立，可得 x=0 或 x= ，取 A（ ， ） ，设垂心 H（0， ） ，则 kAH= = ，OAB 的垂心为 C2 的焦点， （ ）=1，5a 2=4b2，5a 2=4（c 2a2）e= = 故答案为： 三、解答题（本题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题，每小题 10 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积【解答】解：（I）sin 2B=2sinAsinC，由正弦定
19、理可得： 0，代入可得（bk） 2=2akck，b 2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB= = = （II）由（I）可得：b 2=2ac，B=90，且 a= ，a 2+c2=b2=2ac，解得 a=c= S ABC = =118 （12 分）S n 为数列a n前 n 项和，已知 an0， an2+2an=4Sn+3，（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和【解答】解：（1）a n0 ，a n2+2an=4Sn+3，n2 时， +2an1=4Sn1+3，相减可得：a n2+2an（ +2an1）=4a n，化为：（a n+an1） （a nan
20、12）=0，a n0， anan12=0，即 anan1=2，又 =4a1+3，a 10，解得 a1=3数列a n是等差数列，首项为 3，公差为 2a n=3+2（n 1）=2n +1（2）b n= = = ，数列b n的前 n 项和= += 19 （12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生
21、有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【解答】解：（）由频率分布直方图知：分数小于 70 的频率为：1（ 0.04+0.02）10=0.4故从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率为 0.4；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，故样本中分数小于 40 的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04 +0.02+0.02+0.01）100.05=0.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为 4
22、000.05=20 人，（）样本中分数不小于 70 的频率为：0.6，由于样本中分数不小于 70 的男女生人数相等故分数不小于 70 的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于 70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：220 （12 分）如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 2，D 是 A1B 的中点，E 是B1C1 的中点（ I）证明：DE平面 ACC1A1；（ II）若三棱锥 EDBC 的体积为 ，求该正三棱柱的底面边长【解答】证明：（）如图，连接 AB1，AC 1， （1 分）由题意知 D 是 AB1 的中点，又
23、E 是 B1C1 的中点，所以在B 1AC1 中，DE AC 1，（3 分）又 DE平面 ACC1A1，AC 1平面 ACC1A1，所以 DE平面 ACC1A1（5 分）解：（）V EDBC=VDEBC，（6 分）D 是 AB1 的中点，D 到平面 BCC1B1 的距离是 A 到平面 BCC1B1 的距离的一半，如图，作 AFBC 交 BC 于 F，由正三棱柱的性质，得 AF平面 BCC1B1，设底面正三角形边长为 a，则三棱锥 DEBC 的高 h= AF= ，（9 分）， = 2= ，（11 分）解得 a=2该正三棱柱的底面边长为 2（12 分）21 （12 分）中心在原点的双曲线 C 的右
24、焦点为 ，渐近线方程为（ I）求双曲线 C 的方程；（ II）直线 l：y=kx1 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，试探究，是否存在以线段 PQ为直径的圆过原点若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（）设双曲线的方程为 =1， （a 0 ，b 0） ，则有 c= ，= ， c2=a2+b2，得 a= ，b=1，所以双曲线方程为 2x2y2=1（）由 得（2k 2）x 2+2kx2=0，依题意有解得2k 2 且 k ，且 x1+x2= ，x 1x2= ，设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，依题意有 OPOQ ，所以 =x1x2+y1y2=0，又 y1y2=（k
25、x 11） （kx 21） =k2x1x2k（x 1+x2）+1，所以 +1=0，化简得 k=0，符合，所以存在这样的圆22 （12 分）已知函数 f（ x）=32log 2x，g（x）=log 2x；（ I）当 x1，4时，求函数 h（x）= f（x）+2g （x ） f（x ） 的最值；（ II）如果对任意的 x1，4，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）=3 2log2x，g（x）=log 2x；h （x）=f （x）+2g（x） f（x）又 h（x）在上1，4单调递减， ， ；（）由 ，得（34log 2x） （3log 2x）klog 2x令 t=log2x， x1，4，t 0，2所以（34t ） （3t）kt 对 t0，2恒成立当 t=0 时，k R；当 t（0 ， 2时， ，令由于 r（t）在 递减，在 递增所以 ，则 k3；综上知 k（，3）
