1、2017-2018 学年贵州省遵义市习水县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，只有一个正确答案，共 60 分）1 （5 分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是（ ）A B C D2 （5 分）直线 3x4y=0 截圆（ x1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为（ ）A4 B2 C2 D23 （5 分）， 是三个平面，m，n 是两条直线，下列命题正确的是（ ）A若 =m，n ，mn ，则 B若 ，=m ，=n ，则 mnC若 m，n，m n，则 D若 m 不垂直平面，则 m 不可能垂直于平面 内的无数条直线4
2、（5 分）设 p：a=1，q：直线 l1：ax +y1=0 与 l2： 3x+（a+2）y+1=0 平行，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知命题 p： xR，使 sinx= ；命题 q：x R，都有 x2+x+10，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p（ q） ”是假命题；命题“（ p）q” 是真命题；命题“（ p）（q） ”是假命题其中正确的是（ ）A B C D6 （5 分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段 AB，CD 所在直线在原正方体中的位置关系是（ ）A平行 B相交且垂直 C异面 D相交成 607 （5
3、 分）直线 l：y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B C （ 1，1） D 1，18 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B2 C D9 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 F 1PF2=90，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ）A （0 ， B ， 1） C （0， D ，1）10 （5 分）过正方形 ABCD 的顶点 A，作 PA平面 ABCD，若
4、 PA=BA，则平面ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是（ ）A30 B45 C60 D9011 （5 分）在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A和 B和 C和 D和12 （5 分）P 是双曲线 =1（a0 ，b 0）上的点，F 1、F 2 是其焦点，且=0，若F 1PF2 的面积是 9，a+b=7，则双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13 （5 分）已知直线 l1：ax+
5、3y1=0 和 l2：2x+（a1）y +1=0 垂直，则实数 a 的值为 14 （5 分）若直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x +b 将圆（x1） 2+（y 2） 2=8 分成长度相同的四段弧，则 ab= 15 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2 ，PC=2 ，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为 16 （5 分）， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n ，那么 （2）如果 m，n ，那么 mn（3）如果 ，m，那么 n（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 （填写所有正确
6、命题的编号）三、解答题（17 题 10 分，其余各题均为 12 分共 70 分）17 （10 分）已知 aR，命题 P：x 1，2，x 2a0，命题q：xR，x 2+2ax+2a=0（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题 pq 为真命题，命题 pq 为假命题，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知ABC 的顶点 A（6，1） ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2xy7=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y6=0（1）求点 C 的坐标；（2）求直线 BC 的方程19 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD=PC，底面 ABCD 为直角梯形，AB
7、BC，ABCD ，CD=2AB，点 M 为 CD 的中点（1）求证：AM平面 PBC；（2）求证：CDPA20 （12 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值21 （12 分）在如图所示的多面体中，EA平面 ABC，DB平面ABC，ACBC，且 AC=BC=BD=2AE=2，M 是 AB 的中点（）求证：CM EM ；（）求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值；（）在棱 DC 上是否存在一点 N，使得直线
8、MN 与平面 EMC 所成的角为60若存在，指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由22 （12 分）已知椭圆 过点 ，且离心率 e= （）求椭圆方程；（）若直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的垂直平分线过定点 ，求 k 的取值范围2017-2018 学年贵州省遵义市习水县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，只有一个正确答案，共 60 分）1 （5 分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是（ ）A B C D【解答】解：由三视图可知几何体为圆台，上底小，
9、下底大，向容器内注水时，水位高度 h 增加的速度越来越快，故选 A2 （5 分）直线 3x4y=0 截圆（ x1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为（ ）A4 B2 C2 D2【解答】解：圆（x1） 2+（y 2） 2=2 的圆心坐标为（1，2） ，半径为 ，则圆心（1，2）到直线 3x4y=0 的距离 d= ，由垂径定理可得直线 3x4y=0 截圆（x 1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为 2故选：D3 （5 分）， 是三个平面，m，n 是两条直线，下列命题正确的是（ ）A若 =m，n ，mn ，则 B若 ，=m ，=n ，则 mnC若 m，n，m n，则 D若 m 不垂直平面，则 m 不
10、可能垂直于平面 内的无数条直线【解答】解：由 ， 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，知：在 A 中，若 =m，n ，mn ，则 与 相交但不一定垂直，故 A 错误；在 B 中，若 ，=m，=n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，若 m，n ，mn，则由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确在 D 中，若 m 不垂直平面 ，则 m 有可能垂直于平面 内的无数条平行直线，故 D 错误；故选：C4 （5 分）设 p：a=1，q：直线 l1：ax +y1=0 与 l2： 3x+（a+2）y+1=0 平行，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要
11、条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：对于命题 q：由 a（a+2） 3=0，解得 a=1 或3a=3 时，两条直线重合，舍去a=1 p 是 q 的充要条件故选：C5 （5 分）已知命题 p： xR，使 sinx= ；命题 q：x R，都有 x2+x+10，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p（ q） ”是假命题；命题“（ p）q” 是真命题；命题“（ p）（q） ”是假命题其中正确的是（ ）A B C D【解答】解：|sinx|1 ，：x R，使 sinx= 错误，即命题 p 是假命题，判别式=14=30，x R，都有 x2+x+10 恒成立，即命题 q 是真命题，则命题“p q”
12、是假命题；故 错误，命题“p（ q） ”是假命题；故 正确，命题“（ p）q” 是真命题；故 正确，命题“（ p）（q） ”是真命题故错误，故选：B6 （5 分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段 AB，CD 所在直线在原正方体中的位置关系是（ ）A平行 B相交且垂直 C异面 D相交成 60【解答】解：把正方体展开图还原成如图所示的正方体，ABEC， ECD 是线段 AB，CD 所在直线所成的角，EC=CD=ED，ECD=60，线段 AB，CD 所在直线在原正方体中的位置关系是异面相交成 60故选：C7 （5 分）直线 l：y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取
13、值范围是（ ）A （0 ，1 ） B C （ 1，1） D 1，1【解答】解：双曲线 C： x2y2=2 的渐近线方程为： y=x，直线 l： y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取值范围是（1 ，1） 故选：C8 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B2 C D【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点 F（2，0） ，准线 x=2，代入双曲线 ，得 y= ，不妨设 A（2， ） ，B（ 2， ） ，FAB 是等腰直角三角形， =4，解得 m= ，c 2
14、=a2+b2= +1= ，e= = ，故选 D9 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 F 1PF2=90，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ）A （0 ， B ， 1） C （0， D ，1）【解答】解：F 1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使F 1PF2=90，可得以原点为圆心以 c 为半径的圆与椭圆有交点，可得 bc，即 b2c 2，a 2c2c 2，a 22c 2，因为 0e1，即可得 1e ，所以则椭圆的离心率 e 的取值范围为： ，1） 故选：B10 （5 分）过正方形 ABCD
15、 的顶点 A，作 PA平面 ABCD，若 PA=BA，则平面ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴， AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PA=BA=1，则 C（ 1，1，0） ，D（0， 1，0） ，P（0，0，1） ，=（1，1，1） ， =（0 ，1，1） ，设平面 PCD 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 y=1，得 =（0，1，1） ，平面 ABP 的法向量 =（0，1，0） ，设平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 ，则 cos= = = ，=45
16、 ，平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 45故选：B11 （5 分）在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A和 B和 C和 D和【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：D12 （5 分）P 是双曲线 =1（a0 ，b 0）上的点，F 1、F 2 是其焦点，且=0，若F 1PF2 的面积是 9，a+b=7，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【解
17、答】解：设| |=m，| |=n，由题意得 =0，且F 1PF2 的面积是 9， mn=9，得 mn=18RtPF 1F2 中，根据勾股定理得 m2+n2=4c2（mn） 2=m2+n22mn=4c236，结合双曲线定义，得（m n） 2=4a2，4c 236=4a2，化简整理得 c2a2=9，即 b2=9可得 b=3，结合 a+b=7 得 a=4，所以 c= =5该双曲线的离心率为 e= =故选：B二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13 （5 分）已知直线 l1：ax+3y1=0 和 l2：2x+（a1）y +1=0 垂直，则实数 a 的值为 【解答】解：a=1 时，两条直线不垂直，舍
18、去a 1 时，由 =1，解得 a= 故答案为： 14 （5 分）若直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x +b 将圆（x1） 2+（y 2） 2=8 分成长度相同的四段弧，则 ab= 7 【解答】解：如图，直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x +b 将圆（x1） 2+（y 2） 2=8 分成长度相同的四段弧 ，AOB= BOC=COD=AOD= ，OA=OB=OC=OD=r=2 ，E、 F 是 AB 和 CD 的中点，则 OE=OF= = =2圆心（1，2）到直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x +b 的距离都是 2， ，解得 a=12 ，b=1+2 或 a=1+2 ，b=12 ab
19、=（1+2 ） （12 ）= 7故答案为：715 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2 ，PC=2 ，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为 12 【解答】解：AP=2 ，AC=2 ，PC=2 ，AP 2+AC2=PC2PAC 是 RtPB=2 ，BC=2，PC=2 ，PBC 是 Rt取 PC 中点 O，则有 OP=OC=OA=OB= ，O 为三棱锥 PABC 的外接球的球心，半径为 三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4R2=12故答案为：1216 （5 分）， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n ，那么 （2）如果 m
20、，n ，那么 mn（3）如果 ，m，那么 n（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 （2） （4） （填写所有正确命题的编号）【解答】解：（1）如果 mn ，m ，n ，那么 或 、 相交，故（1）错；（2）如果 m，n ，过 n 的平面与 的交线 l 平行于 n，且 ml，那么mn，故（2）正确；（3）如果 ，m，由面面平行的性质可得 m，故（3）错；（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，正确故答案为：（2） （4） 三、解答题（17 题 10 分，其余各题均为 12 分共 70 分）17 （10 分）已知 aR，命题 P
21、：x 1，2，x 2a0，命题q：xR，x 2+2ax+2a=0（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题 pq 为真命题，命题 pq 为假命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）因为命题 aR，命题 P：“x 1，2，x 2a0”，令 f（x）=x 2a，根据题意，只要 x1，2时，f（x） min0 即可，也就是 1a 0，可得 a1；（2）由（1）可知，当命题 p 为真命题时，a1，命题 q 为真命题时，=4a 24（2a）0，解得 a1 或 a2 ，因为命题 pq 为真命题，命题 pq 为假命，所以命题 p 与命题 q 一真一假，当命题 p 为真，命题 q
22、为假时，即为2a1，当命题 p 为假，命题 q 为真时，即为 a1综上：实数 a 的取值范围是 a1 或2a118 （12 分）已知ABC 的顶点 A（6，1） ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2xy7=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y6=0（1）求点 C 的坐标；（2）求直线 BC 的方程【解答】解：（1）依题意知：k AC=2，A（6，1） ，l AC 方程为：2x+y13=0，联立 lAC、l CM 得 ，C （5，3） （2）设 B（x 0，y 0） ，AB 的中点 M 为（ ， ） ，代入 2xy7=0，得 2x0y03=0， ，B（ 0， 3） ，k BC=
23、 ， 直线 BC 的方程为 y= x3，即 6x5y15=019 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD=PC，底面 ABCD 为直角梯形，ABBC，ABCD ，CD=2AB，点 M 为 CD 的中点（1）求证：AM平面 PBC；（2）求证：CDPA【解答】证：（1） 四边形 ABCM 为平行四边形（3 分）（6 分）（2） （9 分） （12 分）20 （12 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值【解答】解：（1）直
24、线 AB 的方程是 y=2 （x2） ，与 y2=8x 联立，消去 y 得x25x+4=0，由根与系数的关系得 x1+x2=5由抛物线定义得|AB|=x 1+x2+p=9，（2）由 x25x+4=0，得 x1=1，x 2=4，从而 A（1， 2 ） ，B（4，4 ） 设 =（ x3， y3）=（1，2 ）+（4，4 ）=（4+1，4 2 ） ，又 y2=8x3，即2 （21） 2=8（4+1） ，即（21 ） 2=4+1，解得 =0 或 =221 （12 分）在如图所示的多面体中，EA平面 ABC，DB平面ABC，ACBC，且 AC=BC=BD=2AE=2，M 是 AB 的中点（）求证：CM
25、EM ；（）求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值；（）在棱 DC 上是否存在一点 N，使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角为60若存在，指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由【解答】 （本小题共 14 分）（I）证明： AC=BC，M 是 AB 的中点CMAB又 EA平面 ABC，CMEAEA AB=A CM平面 AEMCMEM（4 分）（）以 M 为原点，分别以 MB，MC 为 x，y 轴，如图建立坐标系 Mxyz，则设平面 EMC 的一个法向量 ，则取 所以设平面 DBC 的一个法向量 ，则取 x1=1，y 1=1，z 1=0，所以所以平面 EMC 与平面 BCD
26、所成的锐二面角的余弦值 （9 分）（）在棱 DC 上存在一点 N，设 N（ x，y，z）且 ，01，若直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60，则解得： ，所以符合条件的点 N 存在，为棱 DC 的中点（14 分）22 （12 分）已知椭圆 过点 ，且离心率 e= （）求椭圆方程；（）若直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的垂直平分线过定点 ，求 k 的取值范围【解答】解：（）由题意椭圆的离心率 a=2cb 2=a2c2=3c2椭圆方程为 又点 在椭圆上 c 2=1椭圆的方程为 （4 分）（）设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2）由消去 y 并整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m212=0（6 分）直线 y=kx+m 与椭圆有 两个交点=（8km） 24（3+4k 2） （4m 212）0，即m2 4k2+3（8 分）又 MN 中点 P 的坐标为 （9 分）设 MN 的垂直平分线 l方程：p 在 l上 即 4k2+8km+3=0 （11 分）将上式代入得即 或 ，k 的取值范围为
