1、2017-2018 学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1 （5 分）设集合 A=x|1x 3，B=x|x m ，若 AB，则 m 的取值范围是（ ）Am 3 Bm1 Cm1 Dm32 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax 2 =1 B y2=1 C x2=1 Dy 2 =13 （5 分）已知 ， ，则 tan=（ ）A 2 B C D4 （5 分）下列说法正确的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c（a ，b ，c R） ，则 f（x）0 的充分条件是 b24ac0B若
2、m，k，nR，则 mk2nk 2 的充要条件是 mnC对任意 xR，x 20 的否定是存在 x0R，Dm 是一条直线， 是两个不同的平面，若 m，m，则 5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 B C8 D46 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y= （k 0）与 C 交于点P，PF x 轴，则 k=（ ）A B1 C D27 （5 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 3a1+4a9=a17，则 =（ ）A9 B C D8 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为2
3、，则空白判断框中的条件可能为（ ）Ax 3 Bx4 Cx4 Dx59 （5 分）设函数 f（x ） =ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x ）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1 ）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数10 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A B C2 D11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 满足，PA 为球 O 的直径且 PA=4，则点 P 到底面 ABC 的距离为（ ）A B C
4、 D12 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ，若向量 与 垂直，则 m= 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 15 （5 分）函数 f（x ）=cos2x+6cos（ x）的最大值是 16 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2
5、py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 三、解答题（本题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题，每小题 10 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，cos2A= ，cos2A=6cos2C 5（）求 a 的值；（）若角 A 为锐角，求 b 的值及ABC 的面积18 （12 分）S n 为数列a n前 n 项和，已知 an0， an2+2an=4Sn+3，（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和19 （12
6、 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=C
7、AD=60，PA 平面 ABCD，PA=2 ，AB=1 设 M，N 分别为 PD，AD 的中点（1）求证：平面 CMN平面 PAB；（2）求二面角 NPCA 的平面角的余弦值21 （12 分）中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，渐近线方程为（ I）求双曲线 C 的方程；（ II）直线 l：y=kx1 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，试探究，是否存在以线段 PQ为直径的圆过原点若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由22 （12 分）已知函数 f（ x）=32log 2x，g（x）=log 2x；（ I）当 x1，4时，求函数 h（x）= f（x）+2g （x ） f（x ） 的最值；（
8、 II）如果对任意的 x1，4，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围2017-2018 学年贵州省遵义高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1 （5 分）设集合 A=x|1x 3，B=x|x m ，若 AB，则 m 的取值范围是（ ）Am 3 Bm1 Cm1 Dm3【解答】解：集合 A=x|1x 3，B=x|xm，AB，m3m 的取值范围是 m3故选：A2 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）Ax 2 =1 B y2=1 C x2=1 Dy 2 =1【解答】解：由 A 可得焦
9、点在 x 轴上，不符合条件；由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 C 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y=2x，符合条件；由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= x，不符合条件故选 C3 （5 分）已知 ， ，则 tan=（ ）A 2 B C D【解答】解：已知 ， ，cos= = ，则 tan= = ，故选：C4 （5 分）下列说法正确的是（ ）Af （x）=ax 2+bx+c（a ，b ，c R） ，则 f（x）0 的充分条件是 b24ac0B若 m，k，nR，则 mk2nk 2 的充要条件是 mnC对任意 xR，x 20 的否定是存在 x0R，Dm 是一条直线， 是
10、两个不同的平面，若 m，m，则 【解答】解：对于 A，当 a0 时，由 b24ac0 不能得到 f（x）0，则“ax2+bx+c0” 的充分条件是“b 24ac0” 错误对于 B，若 m，k ，n R，由 mk2nk 2 的一定能推出 mn ，但是，当 k=0 时，由 mn 不能推出 mk2nk 2，故 B 错误，对于 C，命题 “对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 x0R，有 x020”，故 C 错误，对于 D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故 D 正确，故选：D5 （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A12 B C8 D4【解答】解：正
11、方体体积为 8，可知其边长为 2，正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 =12故选：A6 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y= （k 0）与 C 交于点P，PF x 轴，则 k=（ ）A B1 C D2【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F 为（1，0） ，曲线 y= （k0）与 C 交于点 P 在第一象限，由 PF x 轴得：P 点横坐标为 1，代入 C 得：P 点纵坐标为 2，故 k=2，故选：D7 （5 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 3a1+4a9=a17，则 =（ ）A9 B C D【解答】
12、解：3a 1+4a9=a17，4a 1+4a9=a1+a17，即 4（a 1+a9）=2a 9，即 4a5=a9，则 = = = = ，故选：C8 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）Ax 3 Bx4 Cx4 Dx5【解答】解：方法一：当 x=4，输出 y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x4 ，故选 B方法二：若空白判断框中的条件 x3，输入 x=4，满足 43，输出 y=4+2=6，不满足，故 A 错误，若空白判断框中的条件 x4，输入 x=4，满足 4=4，不满足 x3，输出y=y=log24=2，故
13、B 正确；若空白判断框中的条件 x4，输入 x=4，满足 4=4，满足 x4，输出 y=4+2=6，不满足，故 C 错误，若空白判断框中的条件 x5，输入 x=4，满足 45，满足 x5，输出y=4+2=6，不满足，故 D 错误，故选 B9 （5 分）设函数 f（x ） =ln（1+x）ln（1x） ，则 f（x ）是（ ）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1 ）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数【解答】解：函数 f（x） =ln（1+x）ln（1x） ，函数的定义域为（1，1） ，函数 f（ x）=ln （1x）ln （1
14、+x ）=ln（1+x）ln（1x）= f（x） ，所以函数是奇函数排除 C，D，正确结果在 A，B ，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；x= 时，f（ ）=ln（1+ ）ln（1 ）=ln31，显然 f（0）f（ ） ，函数是增函数，所以 B 错误，A 正确故选：A10 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A B C2 D【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积 V= = ，故选：A11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上
15、，ABC 满足，PA 为球 O 的直径且 PA=4，则点 P 到底面 ABC 的距离为（ ）A B C D【解答】解：三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，PA 为球 O 的直径且 PA=4，球心 O 是 PA 的中点，球半径 R=OC= ，过 O 作 OD 平面 ABC，垂足是 D，ABC 满足 ，D 是 AB 中点，且 AD=BD=CD= ，OD= = ，点 P 到底面 ABC 的距离为 d=2OD=2 故选：B12 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则
16、M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D3【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F（1，0） ，且斜率为 的直线：y= （x1） ，过抛物线 C： y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l可知： ，解得 M（3，2 ） 可得 N（1， 2 ） ，NF 的方程为： y= （x 1） ，即 ，则 M 到直线 NF 的距离为： =2 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 ，若向量 与 垂直，则 m= 7 【解答】解：向量 ， =（m 1，3） ，向量 与 垂直，（ ） =1（m1）
17、+23=0，解得 m=7故答案为：714 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 5 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 B（ 3，4） 化目标函数 z=x2y 为 y= x z，由图可知，当直线 y= x z 过 B（3，4）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为：324=5故答案为：515 （5 分）函数 f（x ）=cos2x+6cos（ x）的最大值是 5 【解答】解：f（x）=cos2x+6cos （ x）=12sin2x+6sinx=2sin2x+6sinx+1令 t=sinx，t1，1，则原函数化为 y= ，当 t=1 时，y
18、有最大值为 故答案为：516 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 【解答】解：双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，与抛物线 C2：x 2=2py 联立，可得 x=0 或 x= ，取 A（ ， ） ，设垂心 H（0， ） ，则 kAH= = ，OAB 的垂心为 C2 的焦点， （ ）=1，5a 2=4b2，5a 2=4（c 2a2）e= = 故答案为： 三、解答题（本题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-
19、22 小题，每小题 10 分，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，cos2A= ，cos2A=6cos2C 5（）求 a 的值；（）若角 A 为锐角，求 b 的值及ABC 的面积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（I）由 cos2A=6cos2C5，得：12sin 2A=6（12sin 2C） 5，化简得：sin 2A=6sin2C， （2 分）A，C 均为三角形内角，即：0A，0C ，sinA0，sinC0， ，（3 分）又因为 cos2A=12sin2A= ，所以 sinA= 结合已知： ，由正弦
20、定理 ，得 a= c= =3 （6 分）（II）由 sinA= ，0 ，得 cosA= 由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，得 b22b15=0解得 b=5 或 b=3（舍负） 所以 SABC = bcsinA= （12 分）18 （12 分）S n 为数列a n前 n 项和，已知 an0， an2+2an=4Sn+3，（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和【解答】解：（1）a n0 ，a n2+2an=4Sn+3，n2 时， +2an1=4Sn1+3，相减可得：a n2+2an（ +2an1）=4a n，化为：（a n+an1） （a nan12）=
21、0，a n0， anan12=0，即 anan1=2，又 =4a1+3，a 10，解得 a1=3数列a n是等差数列，首项为 3，公差为 2a n=3+2（n 1）=2n +1（2）b n= = = ，数列b n的前 n 项和= += 19 （12 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5
22、人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【解答】解：（）由频率分布直方图知：分数小于 70 的频率为：1（ 0.04+0.02）10=0.4故从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率为 0.4；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，故样本中分数小于 40 的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04 +0.02+0.02+0.01）100.05=0.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为 4000.
23、05=20 人，（）样本中分数不小于 70 的频率为：0.6，由于样本中分数不小于 70 的男女生人数相等故分数不小于 70 的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于 70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：220 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA 平面 ABCD，PA=2 ，AB=1 设 M，N 分别为 PD，AD 的中点（1）求证：平面 CMN平面 PAB；（2）求二面角 NPCA 的平面角的余弦值【解答】解：（1）证明：M，N 分别为 PD，AD 的中点，（12
24、分）则 MNPA 又MN 平面 PAB，PA平面 PAB，MN平面 PAB在 RtACD 中， CAD=60，CN=AN，ACN=60又BAC=60 ，CN ABCN平面 PAB，AB平面 PAB，CN平面 PAB（4 分）又CNMN=N，平面 CMN平面 PAB（6 分）（2）PA平面 ABCD， 平面 PAC平面 ACD，又DCAC ，平面 PAC平面 ACD=AC，DC平面 PAC，如图，以点 A 为原点，AC 为 x 轴，AP 为 z 轴建立空间直角坐标系， ， ， ，设 =（ x，y，z）是平面 PCN 的法向量，则 ，即 ，可取 ，又平面 PAC 的法向量为 ， = = = ，由图
25、可知，二面角 NPCA 的平面角为锐角，二面角 NPCA 的平面角的余弦值为 （12 分）21 （12 分）中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，渐近线方程为（ I）求双曲线 C 的方程；（ II）直线 l：y=kx1 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，试探究，是否存在以线段 PQ为直径的圆过原点若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（）设双曲线的方程为 =1， （a 0 ，b 0） ，则有 c= ，= ， c2=a2+b2，得 a= ，b=1，所以双曲线方程为 2x2y2=1（）由 得（2k 2）x 2+2kx2=0，依题意有解得2k 2 且 k ，且 x1+x2= ，x
26、1x2= ，设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，依题意有 OPOQ ，所以 =x1x2+y1y2=0，又 y1y2=（kx 11） （kx 21） =k2x1x2k（x 1+x2）+1，所以 +1=0，化简得 k=0，符合，所以存在这样的圆22 （12 分）已知函数 f（ x）=32log 2x，g（x）=log 2x；（ I）当 x1，4时，求函数 h（x）= f（x）+2g （x ） f（x ） 的最值；（ II）如果对任意的 x1，4，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）=3 2log2x，g（x）=log 2x；h （x）=f （x）+2g（x） f（x）又 h（x）在上1，4单调递减， ， ；（）由 ，得（34log 2x） （3log 2x）klog 2x令 t=log2x， x1，4，t 0，2所以（34t ） （3t）kt 对 t0，2恒成立当 t=0 时，k R；当 t（0 ， 2时， ，令由于 r（t）在 递减，在 递增所以 ，则 k3；综上知 k（，3）
