1、2017-2018 学年贵州省黔南州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题.（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 A=x|（x 2） （x +3）0，B=x N|x|5则 AB=（ ）A3 ，4 B0，1 C 4，3，4 D 2，1，0，12 （5 分） “x 2”是“（x+2） （x3）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 若a=2，b=4，B=60，则 sinA=（ ）A B C D4 （5 分）双曲线 的实轴长为（ ）A B2 C3 D65 （5
2、分）求经过圆（x+1） 2+y2=1 的圆心，且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是（ ）Ax y+1=0 Bxy1=0 Cx+y 1=0 Dx+y +1=06 （5 分）f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）=3 x4，则 f（1）=（ ）A 1 B1 C D7 （5 分）如图所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是（ ）A B C D8 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D5
3、9 （5 分）下列四个命题中，真命题有（ ）y=x 的最小值为 2；命题“x0，x 22x+10”的否定是“x 0，x 22x+10”；具有相关关系的两个变量 x，y 其回归方程为 y=0.57x0.448 则这两个变量正相关；已知棱长为 2 的正方体，则它的外接球的表面积为 12A0 个 B1 个 C2 个 D3 个10 （5 分）正项等比数列a n中，a 4=9，a 6=27，b n=log （3a n）该数列b n的前 2017 项之和为（ ）A20171008 B2017 1009 C20171016 D2017101111 （5 分）正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 ，E
4、 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，其中 m0若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （0，3） C4，+） D （3，+）二、填空题.（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）某校篮球队进行定点投篮测试，共进行五轮，每轮每人投篮 10次甲，乙两位同学五轮投篮命中的次数如下：甲：7 6 7 8 6乙：9 5 7 9 4则成绩比较稳定的是 14 （5 分）抛物线 y2=x 的焦点到直线 y=4x+1 的距离为 15 （5 分）已知向量
5、=（ 2sinx，1） ， =（ cosx） ，函数 f（x）= ，则f（x）的最大值为 16 （5 分）已知数列a n满足：a 1=a2=1，当 n2 时，a =，则 = 三、解答题.（共 70 分）17 （10 分）已知等差数列a n中，a 3=13，a 6=25（）求a n的通项公式；（）令 bn=2 ，求证数列b n是等比数列，并求b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况某地区卫生部门为了调查本地区高中学生的吸烟情况，对随机抽出的 200 名高
6、中生进行了调查调查中使用了两个问题：问题 1：你的父亲阳历生日日期是不是偶数？问题 2：你是否经常吸烟？调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的 5 个白球和 5 个红球每个被调查者随机从袋中摸出 1 个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀） ，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“ 是” 的人往一个盒子中放一个小石子，回答“不” 的人什么都不做已知调查结束后，盒子里共有 55 个小石子（）求被调查者回答第一个问题的概率；（）试估计此地区高中学生吸烟人数的百分比19 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c
7、 ，且（2a c）cosB=bcosC（）求角 B 的大小；（）若 A= ，a=2，求 ABC 的面积20 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为平行四边形，PD平面 ABCD，M 是PC 的中点（）证明：AP平面 MBD（）若 ADPB ，求证： BD平面 PAD21 （12 分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（万元）甲产品 3 50 12乙产品 7 20 8但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多 47 吨，供电至多 300 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少？22 （12 分）已知椭圆 C： +
8、=1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，离心率为 设过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A，B， 周长为8（）求椭圆 C 的标准方程；（）已知点 T（4，0） ，证明：当直线 l 变化时，总有 TA 与 TB 的斜率之和为定值2017-2018 学年黔南州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 A=x|（x 2） （x +3）0，B=x N|x|5则 AB=（ ）A3 ，4 B0，1 C 4，3，4 D 2，1，0，1【解答】解：集合 A=x|（x 2） （x +3）0=x |x3 或 x2，B=
9、xN|x|5=xN|5x5= 4，3， 2，1，0，1，2，3，4；AB=4，3，4故选：C2 （5 分） “x 2”是“（x+2） （x3）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由（x+2） （ x3）0 得2x3 ，则“x 2”是“（x+2） （x3）0”的必要不充分条件，故选：B3 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 若a=2，b=4，B=60，则 sinA=（ ）A B C D【解答】解：a=2，b=4，B=60 ，由正弦定理 ，可得：sinA= = = 故选：A4 （5 分）双曲线 的实轴长
10、为（ ）A B2 C3 D6【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为 ，其中 a= ，则双曲线的实轴长 2a=2 ；故选：B5 （5 分）求经过圆（x+1） 2+y2=1 的圆心，且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是（ ）Ax y+1=0 Bxy1=0 Cx+y 1=0 Dx+y +1=0【解答】解：圆（x+1） 2+y2=1 的圆心为 C（1，0） ，设与直线 x+y=0 垂直的直线方程是为 xy+m=0把 C（ 1，0）代入上述方程为：1 0+m=0，解得 m=1要求的直线方程为：xy+1=0 故选：A6 （5 分）f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）=3 x4，则
11、 f（1）=（ ）A 1 B1 C D【解答】解：根据题意，当 x0 时 f（x）=3 x4，则 f（1）=3 14=1，又由函数 f（x）为奇函数，则有 f（ 1）= f（1）=1；故选：B7 （5 分）如图所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是（ ）A B C D【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是对应的图形是整个圆，而满足条件的事件是事件对应的是阴影部分，由几何概型概率公式得到 P= = 故选 C8 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输
12、入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：当 n=1 时，a= ，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时，a= ，b=8 满足进行循环的条件，当 n=3 时，a= ，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4 时，a= ，b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C9 （5 分）下列四个命题中，真命题有（ ）y=x 的最小值为 2；命题“x0，x 22x+10”的否定是“x 0，x 22x+10”；具有相关关系的两个变量 x，y 其回归方程为 y=0.57x0.448 则这两个变量正相关；已知棱长为 2 的正方体，则它的外接球的表
13、面积为 12A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解答】解：对于，x 0 时，y=x 2，x 0 时，y=x 2，错误；对于，根据特称命题“ x0，x 22x+10”的否定是全称命题“x0，x 22x+10”，正确；对于，具有相关关系的两个变量 x，y ，其回归方程为 y=0.57x0.448，y 随 x 的增大而增大，这两个变量正相关，正确；对于，棱长为 2 的正方体，它的外接球的直径为 2R=2 ，R= ，外接球的表面积为 S=4 =12， 正确综上，正确的命题是，共 3 个故选：D10 （5 分）正项等比数列a n中，a 4=9，a 6=27，b n=log （3a n）该数列b n的
14、前 2017 项之和为（ ）A20171008 B2017 1009 C20171016 D20171011【解答】解：设正项等比数列a n的公比为 q， a4=9，a 6=27， =9，=27，联立解得 a1=q= a n= bn=log （3a n）= =n+2该数列b n的前 2017 项之和= =20171011故选：D11 （5 分）正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为（ ）A B C D【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点 O，连接 OE，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 ，PO= ，AB=
15、 ，AC= ，PA= ，OB=因为 OE 与 PA 在同一平面，是三角形 PAC 的中位线，则OEB 即为 PA 与 BE 所成的角所以 OE= ，在 RtOEB 中， tanOEB= = ，所以OEB=故选 B12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，其中 m0若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （0，3） C4，+） D （3，+）【解答】解：当 m0 时，f（x）=的图象如图：xm 时，f（x）=x 22mx+4m=（ xm） 2+4mm24mm 2，y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b有三个不同的根，必
16、须 4mm2m（m 0 ） ，即 m23m（m0） ，解得 m3，m 的取值范围是（3，+） ，故选：D二、填空题.（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）某校篮球队进行定点投篮测试，共进行五轮，每轮每人投篮 10次甲，乙两位同学五轮投篮命中的次数如下：甲：7 6 7 8 6乙：9 5 7 9 4则成绩比较稳定的是 甲 【解答】解：计算甲的平均数为 = （7+6+7+ 8+6）= ，乙的平均数为 = （9 +5+7+9+4）= ，两位同学的平均数相同，但甲的数据都集中在平均数附近，乙的数据较为分散些，所以成绩比较稳定的是甲故答案为：甲14 （5 分）抛物线 y2=x 的焦点到直线 y=
17、4x+1 的距离为 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：y 2=x，其焦点坐标为（ ，0） ，则其焦点到直线的距离 d= = ；故答案为： 15 （5 分）已知向量 =（ 2sinx，1） ， =（ cosx） ，函数 f（x）= ，则f（x）的最大值为 2 【解答】解：向量 =（ 2sinx，1） ， =（ cosx） ，函数 f（x ）= =sinx+ cosx=2sin（x+ ） ，1 sin（x+ ）1，f（ x）的值域为2，2，故 f（x）的最大值为 2，故答案为：216 （5 分）已知数列a n满足：a 1=a2=1，当 n2 时，a =，则 = 【解答】解：数列a n满足： a
18、1=a2=1，当 n2 时， a =，则 =a1a31=1，解得 a3=2=a2a4+1=4，解得 a4=3同理可得：a 5=5，a 6=8= 故答案为： 三、解答题.（共 70 分）17 （10 分）已知等差数列a n中，a 3=13，a 6=25（）求a n的通项公式；（）令 bn=2 ，求证数列b n是等比数列，并求b n的前 n 项和 Sn【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，a 3=13，a 6=25，a 1+2d=13，a 1+5d=25，联立解得 a1=5，d=4，a n=5+4（n 1）=4n +1（）证明：b n=2 =24n+1=216n=3216n1数列b n是
19、等比数列，首项为 32，公比为 16b n的前 n 项和 Sn= = （16 n1） 18 （12 分）在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况某地区卫生部门为了调查本地区高中学生的吸烟情况，对随机抽出的 200 名高中生进行了调查调查中使用了两个问题：问题 1：你的父亲阳历生日日期是不是偶数？问题 2：你是否经常吸烟？调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的 5 个白球和 5 个红球每个被调查者随机从袋中摸出 1 个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀） ，摸到白球的学生如实
20、回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“ 是” 的人往一个盒子中放一个小石子，回答“不” 的人什么都不做已知调查结束后，盒子里共有 55 个小石子（）求被调查者回答第一个问题的概率；（）试估计此地区高中学生吸烟人数的百分比【解答】解：（）根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为 P= = ；（）由（）知，随机抽出的 200 名学生中，回答第一个问题的概率是 ，其父亲阳历生日日期是偶数的概率也是 ，所以 200 =50；所以回答第二个问题，且为是的人数 5550=5；由此估计此地区高中学生吸烟人数的百分比为 =5%19 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对应的边分别为
21、 a，b ，c ，且（2a c）cosB=bcosC（）求角 B 的大小；（）若 A= ，a=2，求 ABC 的面积【解答】解：（）ABC 中，角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c，且（2ac）cosB=bcosC 利用正弦定理：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC ，整理得：2sinAcosB=sinA，由于：sinA0，则：cosB= ，由于：0B ，则： （）由于 A= ，a=2，且 ，利用正弦定理得： = ，解得：b= 由于： = ，则： = = 20 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为平行四边形，PD平面 ABCD，M 是PC 的中点（）证明：
22、AP平面 MBD（）若 ADPB ，求证： BD平面 PAD【解答】解：（1）设 ACBD=H，连接 MH，H 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，H 为 AC 中点，又M 为 PC 中点，MH 为PAC 中位线，可得 MHPA，MH平面 MBD，PA 平面 MBD，所以 PA平面 MBD（2）PD平面 ABCD，AD平面 ABCD，PDAD，又ADPB，PDPB=D，AD平面 PDB，结合 BD平面 PDB，得 ADBDPDBD，且 PD、AD 是平面 PAD 内的相交直线BD平面 PAD21 （12 分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（
23、万元）甲产品 3 50 12乙产品 7 20 8但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多 47 吨，供电至多 300 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少？【解答】解：设生产甲、乙两种产品各 x 吨、y 吨，日产值为 z 万元由题意得 x，y 的约束条件为： ，目标函数 z=12x+8y，作出可行域（如图阴影）在图中作直线 y= x，当平移至过点 A 时，Z 取最大值，联立两直线方程可得 A（4，5） ，代入计算可得 Z 的最大值为 88，故每天生产甲 4 吨，乙 5 吨，时日产值最大为 88 万元22 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点分
24、别为 F1，F 2，离心率为 设过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A，B， 周长为8（）求椭圆 C 的标准方程；（）已知点 T（4，0） ，证明：当直线 l 变化时，总有 TA 与 TB 的斜率之和为定值【解答】解：（I）由题意知， 4a=8，所以 a=2因为 e= ，所以 c=1，则 b= 所以椭圆 C 的方程为 （）证明：当直线 l 垂直与 x 轴时，显然直线 TS 与 TR 的斜率之和为 0，当直线 l 不垂直与 x 轴时，设直线 l 的方程为 y=k（x 1） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，整理得：（3+4k 2）x 28k2x+4k2x+4k212=0，=64k 44（3 +4k2） （4k 212）=k 2+10 恒成立，x1+x2= ，x 1x2= ，由 kTA+kTB= + = ，TA，TB 的斜率存在，由 A，B 两点的直线 y=k（ x1） ，故 y1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，由 2x1x25（x 1+x2）+8= =0，k TA+kTB=0，直线 TA 与 TB 的斜率之和为 0，综上所述，直线 TA 与 TB 的斜率之和为定值，定值为 0
