1、2017-2018 学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设命题 p：xR ，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x +10 B x0R，x +10C x0R，x +10 DxR ，x 2+102 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x 2，x 10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s 2+1002 B +100，s 2+1002C ， s2 D +1
2、00，s 23 （5 分）已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 + =1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A2 B4 C4 D84 （5 分）双曲线 x2y2=1 的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A B C1 D5 （5 分）设 xR，则“x1”是“x 2+x20” 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）十进制数 49 化成二进制数是（ ）A100011 （2） B100101 （2 ） C110001 （2 ） D101001 （2）7 （5 分）某校高三年级有 1221 名同学，现
3、采用系统抽样方法抽取 37 名同学做问卷调查，将 1221 名同学按 1，2，3，4， ， 1221 随机编号，则抽取的 37名同学中，标号落入区间496，825的人数有（ ）A12 人 B11 人 C10 人 D9 人8 （5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，考虑以下结论：甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数；甲运动员得分的标准差大于乙运动员得分的标准差；甲运动员得分的标准差小于乙运动员得分的标准差；其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（ ）A B C D9 （5 分）如图，设直线 l：x2y+2=0 过椭圆
4、的左焦点 F 和一个顶点 B，则这个椭圆的离心率 e=（ ）A B C D10 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调递增区间是（ ）A （ ，2 ） B （0，3） C （1，4） D （2，+）11 （5 分）椭圆 的左、右顶点分别为 A1，A 2，点 P 在 C 上且直线PA1 的斜率的取值范围是 2，1，那么直线 PA2 斜率的取值范围是（ ）A B C D12 （5 分）某中学早上 8 点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7：40 至8：00 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ）A B C D二填空题：本题
5、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为 14 （5 分）已知函数 ，且 f（x 0）=4 ，则 x0= 15 （5 分）如图，程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a 的值是 16 （5 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 过点 F 且与抛物线 C 交于 A，B 两点，则|AB |= 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）某种饮料每箱 6 听，其中 4 听（标记为 1，2，3，4）合格，2 听（标记为 a，b）不合格，质
6、检人员从中随机抽出 2 听检测（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求检测出不合格产品的概率18 （12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85） 85，95） 95，105）105，115）115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数19 （12 分）设函数 f（x）=lnx x+1（1）求函数 f（x）的极值；（2）证明：lnxx 120 （12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿
7、吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ；（2）预测 2018 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考公式：设具有线性相关关系的两个变量 t，y 的一组观察值为（t i，y i）（i=1，2，n） ，则回归直线方程 的系数为： = = ，参考数据： ， 21 （12 分）已知椭圆 E 两个焦点的坐标分别是（ 1，0） ， （1，0） ，并且经过点（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）已知 A 是椭圆 E 的左顶点，斜率为 k（k0）的直线交椭圆 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA，2|AM|
8、=|AN|，证明： 22 （12 分）已知函数 f（ x）=（x +1）lnx a（x1） （I）当 a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（II）若当 x（1，+）时， f（x）0，求 a 的取值范围2017-2018 学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设命题 p：xR ，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x +10 B x0R，x +10C x0R，x +10 DxR ，x 2+10【解答】解：因为全称命题的否定是特
9、称命题，所以，命题p：x R，x 2+10，则p 为：x 0R，x +10故选：B2 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x 2，x 10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s 2+1002 B +100，s 2+1002C ， s2 D +100，s 2【解答】解：由题意知 yi=xi+100，则 = （x 1+x2+x10+10010）= （x 1+x2+x10）= +100，方差 s2= （x 1+100（ +100） 2+（x 2+100（ +100） 2+（x 10
10、+100（ +100）2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x 10 ） 2=s2故选：D3 （5 分）已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 + =1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A2 B4 C4 D8【解答】解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得ABC 的周长为 4a=8，故选：D4 （5 分）双曲线 x2y2=1 的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A B C1 D【解答】解：等轴双曲线 x2y2=1 的焦点坐标是（ ，0） ，渐近线是xy=0，选其中一个焦点坐标（ ，0）和一条直线方程 x+y=0
11、，d= =1，故选：C5 （5 分）设 xR，则“x1”是“x 2+x20” 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由不等式 x2+x20，得 x1 或 x2，所以由 x1 可以得到不等式 x2+x20 成立，但由 x2+x20 不一定得到 x1，所以 x1 是 x2+x20 的充分不必要条件，故选 B6 （5 分）十进制数 49 化成二进制数是（ ）A100011 （2） B100101 （2 ） C110001 （2 ） D101001 （2）【解答】解：492=241242=120122=6062=3032=1112=01故 49（10
12、） =110001（2）故选：C7 （5 分）某校高三年级有 1221 名同学，现采用系统抽样方法抽取 37 名同学做问卷调查，将 1221 名同学按 1，2，3，4， ， 1221 随机编号，则抽取的 37名同学中，标号落入区间496，825的人数有（ ）A12 人 B11 人 C10 人 D9 人【解答】解：使用系统抽样方法，从 1221 人中抽取 37 人，即从 33 人抽取 1人从区间496，825 共 330 人中抽取 10 人故选：C8 （5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，考虑以下结论：甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；甲运动员得分的中位数
13、小于乙运动员得分的中位数；甲运动员得分的标准差大于乙运动员得分的标准差；甲运动员得分的标准差小于乙运动员得分的标准差；其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（ ）A B C D【解答】解：甲运动员每场比赛得分按从小到排列是：08，13，14 ， 16，23，26，28，33，38，39，51，甲的中位数是 26；乙运动员每场比赛得分按从小到排列是：12，15，24 ， 25，31，31，36，36，37，39，44， 49，50，乙的中位数是 36；所以甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，对；从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定，即标准差
14、更小，所以对综上，正确的命题是故选：C9 （5 分）如图，设直线 l：x2y+2=0 过椭圆的左焦点 F 和一个顶点 B，则这个椭圆的离心率 e=（ ）A B C D【解答】解：由已知直线 l：x2y+2=0 过椭圆的左焦点 F 和一个顶点 B，得，B（0 ，1） ，F（2，0） ，故 c=2，b=1 ，a= ，e= = ，故选：A10 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调递增区间是（ ）A （ ，2 ） B （0，3） C （1，4） D （2，+）【解答】解：函数 f（x） =（x3）e x，可得 f（x ）=e x+（x 3）e x=（x2）e x，令 f（x）0，得 x2
15、，函数 f（x ）=（x 3）e x 的单调递增区间是（ 2，+） 故选：D11 （5 分）椭圆 的左、右顶点分别为 A1，A 2，点 P 在 C 上且直线PA1 的斜率的取值范围是 2，1，那么直线 PA2 斜率的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：设 P（x 0，y 0） ，y 02= （4x 02） ，由 A1（2，0） ，A 2（2，0） ， = = = ， = ，由 2，1，2 1，则 ，直线 PA2 斜率的取值范围 ， ，故选 B12 （5 分）某中学早上 8 点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7：40 至8：00 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则
16、小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ）A B C D【解答】解：设小明到校的时间为 x，小方到校的时间为 y；（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 =（x，y）|40x60，40y60 是一个矩形区域，对应的面积为 S=2020=400，则小明比小方至少早 5 分钟到校为事件 A=x|yx 5；作出符合题意的图象，如图所示；则符合题意的区域为ABC，联立 得 C（55 ，60） ，由 得 B（40，45） ，则 SABC = 1515，由几何概率模型可知小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为P= = 故选：D二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.1
17、3 （5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为 【解答】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是，甲不输的概率为 P= = 故答案为： 14 （5 分）已知函数 ，且 f（x 0）=4 ，则 x0= 3 【解答】解：函数的导数 f（x ）=2 x8，f（x 0）=4，2 x08=4，即 2 x0=12 得 x0=3 故答案为：3 15 （5 分）如图，程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a 的值是 20 【解答】解：第一次执行循环体时，a=4，判断框的条件不成立，i=2 ；第二次执行循环体时，a=8，判断框的条件不成立，i=
18、3 ；第三次执行循环体时，a=12，判断框的条件不成立，i=4 ；第四次执行循环体时，a=16，判断框的条件不成立，i=5 ；第五次执行循环体时，a=20，判断框的条件成立，输出 a=20故答案为：2016 （5 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 过点 F 且与抛物线 C 交于 A，B 两点，则|AB |= 【解答】解：由题意可得抛物线焦点 F（1 ，0） ，直线 l 的方程为 y= （x1） ，代入 y2=4x 并化简得 3x210x+3=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=x1x2=1，|AB|= |x1x2|=2 = 故
19、答案为： 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）某种饮料每箱 6 听，其中 4 听（标记为 1，2，3，4）合格，2 听（标记为 a，b）不合格，质检人员从中随机抽出 2 听检测（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求检测出不合格产品的概率【解答】解：（1）某种饮料每箱 6 听，其中 4 听（标记为 1，2，3，4）合格，2 听（标记为 a，b）不合格，质检人员从中随机抽出 2 听检测所有可能的抽取结果是：1，2 ，1 ，3，1，4 ，1，a，1，b，2， 3，2，4，2，a ，2，b，3，4 ，3 ，a，3 ，b，4，a，4，b ，a ，b，共 15
20、种（5 分）（2）不合格产品包含的结果有：1，a ，1 ，b，2，a ，2，b ，3，a，3 ，b，4，a，4，b ，a，b，共 9 种结果 （8 分）又由（）知所有可能的抽取结果共 15 种，所以检测出不合格产品的概率 p= （10 分）18 （12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85） 85，95） 95，105）105，115）115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数【解答】解：（1）由频数分布表作出频率分布
21、直方图如下：（6 分）（2）估计这种产品质量指标值的平均数为：800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100（12 分）19 （12 分）设函数 f（x）=lnx x+1（1）求函数 f（x）的极值；（2）证明：lnxx 1【解答】解：（1）由题设，函数 f（x ）的定义域为（ 0，+） ，f（x）= 1= ，令f（x）=0，得 x=1，令 f（x）0，0x 1 ；令 f（x）0，x1当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1 ，+）f（ x） + 0 f（x） 单调递增 极大值 0 单调递减因此，当 x=1，函数
22、f（x）有极大值，并且极大值为 f（1）=0，没有最小值证明：（2）由（1）可知函数 f（x ）在 x=1 处取得最大值，且最大值为 0，即 f（x）=lnx x+10 ，得 lnxx120 （12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ；（2）预测 2018 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考公式：设具有线性相关关系的两个变量 t，y 的一组观察值为（t i，y i）（i=1，2，n） ，则回归直线方程 的系数为： = =
23、，参考数据： ， 【解答】解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 =4，=140，7 =9.32，因此 = 0.103，又由 = 1.331，得 = 0.92，所以 y 关于 t 的回归方程为： =0.92+0.1t；注意：为使系数 精确到 0.01 的值更精准，前面 和 小数点后应保留 3 位参与运算（2）将 2018 年对应的 t=11，代入回归方程得： =0.92+0.111=2.02，所以预测 2018 年我国生活垃圾无害化处理量将约 2.02 亿吨21 （12 分）已知椭圆 E 两个焦点的坐标分别是（ 1，0） ， （1，0） ，并且经过点（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）已知
24、 A 是椭圆 E 的左顶点，斜率为 k（k0）的直线交椭圆 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA，2|AM|=|AN|，证明： 【解答】解：（1）解法一：由焦点的坐标设椭圆标准方程是+ =1，ab0又知半焦距 c=1，a 2b2=1 ，点 C（1， ）在椭圆 E 上，则 + =1 ，由、解得，a 2=4，b 2=3，椭圆 E 的方程为 + =1，解法二：由焦点的坐标设椭圆标准方程是 + =1，a b0设左、右焦点是 F1（1， 0） ，F 2（1，0） ，点 C（1， ）在椭圆 E 上，2a=|CF 1|+|CF2|= + =4，即 a=2，又知半焦距 c=1，b 2=a2c2=
25、3，椭圆 E 的方程为 + =1，解法三：由焦点的坐标设椭圆标准方程是 + =1，a b0设左、右焦点是 F1（1， 0） ，F 2（1，0） ，又点 C（1， ）在椭圆 E 上，CF 2F 1F2，|CF 2|= ，|CF 1|= =2a=|CF 1|+|CF2|=4，即 a=2，又知半焦距 c=1，b 2=a2c2=3，椭圆 E 的方程为 + =1，证明：（2）由（1）知，A（2，0） ，设直线 AM 的方程为：y=k（x+2） ，x0，将方程代入 + =1，得：（ 3+4k2）x 2+16k2x+16k212=0，设 M（ x1，y 1） ，则由题意知 y10，由 x1（2）= 得 x1
26、= ，故|AM|= |x1+2|= ，由题设，直线 AN 的方程为：y= （x+2） ，故同理可得|AN|= ，由又 2|AM|=|AN|，得 = ，整理得：4k 36k2+3k8=0，设 f（t）=4t 36t2+3t8，则 k 是 f（t）的零点，则 f（t）=12t 212t+3=3（ 2t1） 20，f（ t）=4t 36t2+3t8 为（ 0，+）的增函数，f（ ）=15 260 ， f（2）=6 0，因此 f（ t）在（0，+）有唯一的零点，且零点 k 在（ ，2）内， k2 22 （12 分）已知函数 f（ x）=（x +1）lnx a（x1） （I）当 a=4 时，求曲线 y=
27、f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（II）若当 x（1，+）时， f（x）0，求 a 的取值范围【解答】解：（I）当 a=4 时，f（x ）=（x+1）lnx4（x1） f（1）=0，即点为（1，0） ，函数的导数 f（x ）=lnx +（ x+1） 4，则 f（1）=ln1+24=24=2，即函数的切线斜率 k=f（1）= 2，则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程为 y=2（x1）=2x+2；（II）f（x）= （x+1）lnx a（x 1） ，f（x）=1+ +lnxa，f（x ）= ，x1，f（x）0，f（x）在（ 1，+）上单调递增，f（x）f（1）=2aa 2 ，f （x）f （1）0，f（ x）在（1，+）上单调递增，f（ x）f（ 1）=0 ，满足题意；a 2 ，存在 x0（1，+ ） ，f （x 0）=0，函数 f（x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，由 f（1）=0，可得存在 x0（1，+） ，f（x 0）0，不合题意综上所述，a2
