1、2017-2018 学年定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）命题“x R，x 2+2x+20” 的否定是（ ）A xR，x 2+2x+20 BxR ，x 2+2x+20C xR，x 2+2x+20 DxR ，x 2+2x+202 （5 分）已知等差数列a n中，a 7+a9=16，a 4=1，则 a12 的值是（ ）A64 B31 C30 D153 （5 分）已知 a，b 是实数，则 “a0 且 b0”是“a+b 0 且 ab0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不
2、充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）抛物线 x2=4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ）A B （0，1） C （0， 2） D （0，4）5 （5 分）原点和点（1，1）在直线 x+ya=0 的两侧，则 a 的取值范围是（ ）Aa 0 或 a2 Ba=0 或 a=2 C0a2 D0a 26 （5 分）若向量 =（1， 1，x） ， =（1，2，1） ， =（1，1，1） ，满足条件（ ）（2 ）= 2，则 x 的值为（ ）A1 B2 C3 D47 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且B= ， b2=ac，则ABC 一定是（ ）A直
3、角三角形 B钝角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形8 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的最小值为（ ）A 2 B1 C1 D29 （5 分）有分别满足下列条件的两个三角形：B=30，a=14，b=7B=60，a=10，b=9，那么下列判断正确的是（ ）A都只有一解 B 都有两解 C两解，一解 D一解，两解10 （5 分）设双曲线的个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）已知 x0，y0，且 是 3x 与 33y 的等比中项，则 + 的最小值是（ ）A2 B2 C4 D212
4、 （5 分）已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）A BC D二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若命题“x 2，3，x 2a0” 是真命题，则 a 的取值范围是 14 （5 分）设点 P 是椭圆 x2+4y2=36 上的动点，F 为椭圆的左焦点，则|PF|的最大值为 15 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：
5、今有蒲生长 1 日，长为 3尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日 （结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg3 0.48 ）16 （5 分）以下关于圆锥曲线的 4 个命题中：（1）方程 2x25x+2=0 的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；（2）设 A，B 为平面内两个定点，若|PA|PB|=k（k0） ，则动点 P 的轨迹为双曲线；（3）若方程 kx2+（4k ）y 2=1 表示椭圆，则 k 的取值范围是（0，4） ；（4）双曲线 =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点其中真命题的序号为 （写出所有真命
6、题的序号） 三、解答题17 （10 分） （1）若抛物线的焦点是椭圆 + =1 左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆 + =1 共焦点，且以 y= 为渐近线，求此双曲线的标准方程18 （12 分）命题 p：关于 x 的不等式 x2+2ax+4 0，对一切 xR 恒成立；命题q：函数 f（x）=（32a） x 是增函数若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围19 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，记ABC 的面积为 S，已知 2asin2 +2csin2 =3b（1）求证：a，b，c 成等差数列；（2）若 B= ，B=4
7、，求 S20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 （1）求数列a n的通项公式；（2）令 ，求数列b n的前 n 项和 Tn21 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，CD=2，BC=1，E，F 是平面 ABCD 同一侧两点，EAFC ，AEAB，EA=2，DE= ，FC=1 （1）证明：平面 CDF平面 ADE；（2）求二面角 EBDF 的正弦值22 （12 分）已知椭圆 =1（ab 0）过点 ，离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 x2=2y 于 A、B 两点，O 为原点求证：OAOB；设 OA、OB 分别与椭圆相交于 C、D 两点，过原点 O
8、作直线 CD 的垂线 OH，垂足为 H，证明： |OH|为定值2017-2018 学年甘肃省定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）命题“x R，x 2+2x+20” 的否定是（ ）A xR，x 2+2x+20 BxR ，x 2+2x+20C xR，x 2+2x+20 DxR ，x 2+2x+20【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x R，x 2+2x+20”的否定是：xR ，x 2+2x+20故选：A2 （5 分）已知等差数列a n
9、中，a 7+a9=16，a 4=1，则 a12 的值是（ ）A64 B31 C30 D15【解答】解：设等差数列a n的公差为d，a 7+a9=16，a 4=1， ，解得 a1= ，d=则 a12= + 11=15故选：D3 （5 分）已知 a，b 是实数，则 “a0 且 b0”是“a+b 0 且 ab0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：a，b 是实数，“a0 且 b0”“a+b0 且 ab0”，“a+b0 且 ab0” “a0 且 b0”，“a0 且 b0”是“a +b0 且 ab0”的充要条件故选 C4 （5 分）抛物线 x2=4y
10、的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ）A B （0，1） C （0， 2） D （0，4）【解答】解：抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=1，抛物线 x2=4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（0， 1） ，故选：B5 （5 分）原点和点（1，1）在直线 x+ya=0 的两侧，则 a 的取值范围是（ ）Aa 0 或 a2 Ba=0 或 a=2 C0a2 D0a 2【解答】解：根据题意，原点和点（1，1）在直线 x+ya=0 的两侧，则（0+0a ） （ 1+1a）0，解可得 0a2，即 a 的取值范围是（0，2） ；故选：C6 （5 分）若向量 =（1， 1，x） ， =（1，2，1） ， =
11、（1，1，1） ，满足条件（ ）（2 ）= 2，则 x 的值为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：向量 =（ 1，1，x ） ， =（1，2，1） ， =（1，1，1） ，且（ ）（2 ）= 2，（11）2+（11 ）4 +（1x）2= 2，解得 x=2，x 的值为 2故选：B7 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且B= ， b2=ac，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B钝角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解答】解：根据题意，在ABC 中，B= ，则有 cosB= = ，变形可得 a2+c2b2=ac，又由 b2=ac，则有 a2+c22ac
12、=（a c） 2=0，即有 a=c，又由 B= ，则ABC 一定是等边三角形，故选：C8 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的最小值为（ ）A 2 B1 C1 D2【解答】解：由 z=xy 得 y=xz，作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线 y=xz，由图象可知当直线 y=xz，过点 A 点，由 ，可得 A（0，1）时，直线 y=xz 的截距最大，此时 z 最小，目标函数 z=xy 的最小值是1故选：B9 （5 分）有分别满足下列条件的两个三角形：B=30，a=14，b=7B=60，a=10，b=9，那么下列判断正确的是（ ）A都只有一解 B
13、都有两解 C两解，一解 D一解，两解【解答】解：B=30，a=14 ，b=7由正弦定理 = ，得 sinA= =1A （0 ，180 ） ，A=90，可得三角形只有一解；B=60，a=10，b=9由正弦定理 = ，得 sinA= = ，B=60，ab，A（0，180 ） ，角 A 有两个值满足 sinA= ，一个是锐角，另一个是钝角，并且这两个值互补因此，三角形有两解故选：D10 （5 分）设双曲线的个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：设双曲线方程为 ，则 F（c，0 ） ，B（0，b）直线 FB
14、：bx+cy bc=0 与渐近线 y= 垂直，所以 ，即 b2=ac所以 c2a2=ac，即 e2e1=0，所以 或 （舍去）11 （5 分）已知 x0，y0，且 是 3x 与 33y 的等比中项，则 + 的最小值是（ ）A2 B2 C4 D2【解答】解：x0，y0，且 是 3x 与 33y 的等比中项，3 x33y=3x+3y=3，即 x+3y=1， + =（ + ） （x +3y）=2+ 2+2 =4，当且仅当 即 x=3y= 时取等号， + 的最小值为：4故选：C12 （5 分）已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为
15、（1，1） ，则 E 的方程为（ ）A BC D【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，代入椭圆方程得 ，相减得 ， x 1+x2=2，y 1+y2=2， = = ，化为 a2=2b2，又 c=3= ，解得 a2=18，b 2=9椭圆 E 的方程为 故选 D二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若命题“x 2，3，x 2a0” 是真命题，则 a 的取值范围是 （，4 【解答】解：命题 p：a x2 在2，3上恒成立，y=x 2 在2，3上的最小值为4；a 4 ；故答案为：（，414 （5 分）设点 P 是椭圆 x2+4y2=36 上
16、的动点，F 为椭圆的左焦点，则|PF|的最大值为 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为 x2+4y2=36，其标准方程为 + =1，其中 a= =6，b= =3，则 c= = =3 ，则 F 的坐标为（3 ，0） ，分析可得：椭圆的右顶点到左焦点距离最大，且其值为 a+c，即|PF |的最大值 a+c= ，故答案为： 15 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1
17、倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 2.6 日 （结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg3 0.48 ）【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列a n，其 a1=3，公比为，其前 n 项和为 An莞（植物名）的长度组成等比数列b n，其 b1=1，公比为 2，其前 n 项和为 Bn则 An= ，B n= ，由题意可得： = ，化为：2 n+ =7，解得 2n=6，2 n=1（舍去） n= =1+ 2.6估计 2.6 日蒲、莞长度相等，故答案为：2.616 （5 分）以下关于圆锥曲线的 4 个命题中：（1）方程 2x25x+2=0 的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；（2
18、）设 A，B 为平面内两个定点，若|PA|PB|=k（k0） ，则动点 P 的轨迹为双曲线；（3）若方程 kx2+（4k ）y 2=1 表示椭圆，则 k 的取值范围是（0，4） ；（4）双曲线 =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点其中真命题的序号为 （1） ， （4） （写出所有真命题的序号） 【解答】解：（1）方程 2x25x+2=0 的两实根可分别为 和 2，楞作为椭圆和双曲线的离心率，正确；（2）设 A，B 为平面内两个定点，若|PA|PB|=k（k|AB|） ，则动点 P 的轨迹为双曲线，错误；（3）若方程 kx2+（4k ）y 2=1 表示椭圆，则 k 的取值范围是（0，2）（2，
19、4） ，错误；（4）双曲线 =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点（ ，0） ，正确故答案为：（1） ， （4）三、解答题17 （10 分） （1）若抛物线的焦点是椭圆 + =1 左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆 + =1 共焦点，且以 y= 为渐近线，求此双曲线的标准方程【解答】解：（1）椭圆 + =1 的 a=8，左顶点为（8，0） ，设抛物线的方程为 y2=2px（p 0） ，可得 =8，解得 p=16，则抛物线的方程为 y2=32x；（2）双曲线与椭圆 + =1 共焦点（ ，0） ，即为（4 ，0） ，设双曲线的方程为 =1（a0，b0） ，则 a2+b2=48，渐近
20、线方程为 y= x，可得 = ，解得 a=2 ，b=6，则双曲线的方程为 =118 （12 分）命题 p：关于 x 的不等式 x2+2ax+4 0，对一切 xR 恒成立；命题q：函数 f（x）=（32a） x 是增函数若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围【解答】解：若 x2+2ax+40，对一切 xR 恒成立，则判别式=4a 2160，即 a24，得2a2，即 p：2a 2，若函数 f（x ）=（32a） x 是增函数，则 32a1，得 a1，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，则 p，q 一真一假，若 p 真 q 假，则 ，得 1a2，若 p 假 q 真，则 ，
21、得 a2，综上实数 a 的取值范围是 a2 或 1a219 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，记ABC 的面积为 S，已知 2asin2 +2csin2 =3b（1）求证：a，b，c 成等差数列；（2）若 B= ，B=4，求 S【解答】证明：（1）由题意得 2asin2 +2csin2 =3b，2acos 2 +2csin2 =3b，由正弦定理得 2sinAcos2 +2sinCsin2 =3sinB，即 sinA（1+cosC ）+sinC （ 1+cosA）=3sinB，sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即 sinA
22、+sinC+sin（A+C）=3sinB，sin （A+C）=sinB，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得 a+c=2b，a ，b ，c 成等差数列，解：（2）由余弦定理得 a2+c22accos =16，（a +c） 23ac=16又（1）得 a+c=8，ac=16 ，则 S= acsinB=420 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 （1）求数列a n的通项公式；（2）令 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）当 n=1 时，a 1=4，当 n2 时，当 n=1 时，a 1=4 不满足上式，故： ，（2）由于： ，则： ， ，令 ，得： ， ， 21 （1
23、2 分）如图，在矩形 ABCD 中，CD=2，BC=1，E，F 是平面 ABCD 同一侧两点，EAFC ，AEAB，EA=2，DE= ，FC=1 （1）证明：平面 CDF平面 ADE；（2）求二面角 EBDF 的正弦值【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，CDAD AEAB ，CDAB，CDAE又 ADAE=A ，CD平面 ADECD 平面 CDF，平面 CDF平面 ADE（4 分）解：（1）BC=1，EA=2，DE= ，DE 2=AD2+AE2，AE AD，又 AEAB，ABAD=A，AE 平面 ABCD（6 分）以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D（0
24、，0，0） ，B（1，2，0 ） ，F （0，2，1） ，E（1，0，2） =（ 1，2，0） ， =（0，2，1） ，设平面 BDF 的一个法向量 =（x，y ，z） ，由 ，令 x=2，得 =（2，1，2 ） 同理可求得平面 BDE 的一个法向量 =（2， 1，1） ，cos = = = ，（10 分）sin = 故二面角 EBDF 的正弦值为 （12 分）22 （12 分）已知椭圆 =1（ab 0）过点 ，离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 x2=2y 于 A、B 两点，O 为原点求证：OAOB；设 OA、OB 分别与椭圆相交于 C、D 两点，过原点
25、O 作直线 CD 的垂线 OH，垂足为 H，证明： |OH|为定值【解答】解：（）e= ， ，则 ，又 在椭圆上， ，解得 a=2， ，椭圆的方程为 ；（）证明：设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，依题意，直线 l 一定有斜率 k，l 的方程为 y=kx+2，联立方程 ，消去 y 得：x 22kx4=0，x 1x2=4，则 ， =x1x2+y1y2=4+4=0，OAOB；证明：设 C（x 3，y 3） 、D （x 4，y 4） ，直线 CD 的方程为 y=mx+n，OAOB，OCOD ，则 x3x4+y3y4=0联立 ，消去 y 得：（3m 2+4）x 2+6mnx+3n212=0， ， ， 由 ，得 7n2=12（1+m 2） ，即|n|= ，OHCD ， |OH|为定值
