2017-2018学年甘肃省定西市通渭县高二(上)期末数学试卷(文科)含答案解析

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1、2017-2018 学年甘肃省定西市通渭县高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知函数 f(x)=x +lnx,则 f(1 )=( )A1 B2 C1 D22 (5 分)抛物线 y=x2 的焦点坐标是( )A (1 ,0 ) B (0, ) C ( ,0) D (0, )3 (5 分)命题“若 a2+b2=0,则 a,b 都为零”的否命题是( )A若 a2+b20,则 a,b 都不为零 B若 a2+b20,则 a,b 不都为零C若 a,b 都不为零,则 a2+b20 D若 a

2、,b 不都为零,则 a2+b204 (5 分)设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,若 a2+a12=18,则 S13=( )A91 B126 C234 D1175 (5 分)已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,且满足,则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形6 (5 分)如果 a,b,c 满足 cba 且 ac0,那么下列选项中不一定成立的是( )A Bc(ba)0 Cac(ac)0 Dcb 2ab 27 (5 分)若函数 f(x ) =ex(a1)x+1 在0 ,1上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )A (e

3、+1,+) B e+1,+) C (e 1,+) De1,+8 (5 分)已知 A,B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p0)上,若|AF|+|BF|=4,线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1,则 P 的值为( )A1 B1 或 3 C2 D2 或 69 (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围是( )A B C ( ,36,+) D3,610 (5 分)在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,且2sinCcosB=2sinA+sinB,c=3ab,则 ab 的最小值是( )A B C D11 (5 分)双曲线 C: (a0,b 0

4、 )焦点分别为 F1,F 2,在双曲线C 右支上存在点 P,使得PF 1F2 的内切圆半径为 a,圆心记为 M,PF 1F2 的重心为 G,满足 MGF 1F2,则双曲线 C 离心率为( )A B C2 D12 (5 分)若函数 f(x ) =aexx2a 有两个零点,则实数 a 的取值范围( )A ( ) B (0, ) C ( ,o) D (0,+)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)双曲线 的渐近线方程为 14 (5 分)已知 Sn 是数列a n的前 n 项和,若 S 则 a4 15 (5 分)函数 f(x )=x 33x2+4 的减区间是 16

5、 (5 分)设椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,P是 C 上的点,PF 2F 1F2,PF 1F2=30,则 C 的离心率为 三、解答题17 (10 分)已知函数 f( x)=2xlnx(1)求这个函数的导数(2)求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程18 (12 分)已知 m0,p:(x+2) (x 6)0 q:2 mx 2+m(1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围;(2)若 m=5, “pq“为真命题, “pq“为假命题,求实数 x 的取值范围19 (12 分).已知ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=2,C=

6、(1)若ABC 的面积等于 ,求 a,b;(2)若 sinC+sin(BA)=2sin2A,求ABC 的面积20 (12 分)已知a n是公差为正数的等差数列,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn,数列b n是等比数列,首项 b1=1,且 a2b2=12,S 3+b2=20(1)求a n,b n的通项公式(2)令 cn=nbn(nN *) ,求c n的 n 项和 Tn21 (12 分)已知函数 f( x)=kx 3+3(k1)x 2k2+1 在 x=0,x=4 处取得极值(1)求常数 k 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)设 g(x)=f(x)+c,且x 1,2,g (x )

7、2c +1 恒成立,求 c 的取值范围22 (12 分)已知椭圆 C: 经过点 ,离心率 ,直线 l 的方程为 x=4(1)求椭圆 C 的方程;(2)经过椭圆右焦点 e 的任一直线(不经过点 a=1)与椭圆交于两点 A,B,设直线 AB 与 l 相交于点 M,记 PA,PB ,PM 的斜率分别为 k1,k 2,k 3,问:k1+k22k3 是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由2017-2018 学年甘肃省定西市通渭县高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5

8、 分)已知函数 f(x)=x +lnx,则 f(1 )=( )A1 B2 C1 D2【解答】解:函数的导数 f(x )=1+ ,则 f(1)=1 +1=2,故选:D2 (5 分)抛物线 y=x2 的焦点坐标是( )A (1 ,0 ) B (0, ) C ( ,0) D (0, )【解答】解:抛物线 y=x2,即 x2=y,p= , = ,焦点坐标是(0, ) 故选:D3 (5 分)命题“若 a2+b2=0,则 a,b 都为零”的否命题是( )A若 a2+b20,则 a,b 都不为零 B若 a2+b20,则 a,b 不都为零C若 a,b 都不为零,则 a2+b20 D若 a,b 不都为零,则 a

9、2+b20【解答】解:命题“ 若 a2+b2=0,则 a,b 都为零”的否命题是“若 a2+b20,则 a,b 不都为零”故选:B4 (5 分)设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,若 a2+a12=18,则 S13=( )A91 B126 C234 D117【解答】解:由等差数列a n的性质可得:a 1+a13=a2+a12=18,则 S13= = =117,故选:D5 (5 分)已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,且满足,则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解答】解:根据题意,a,b,c 分别是ABC 的三个内

10、角 A,B,C 所对的边,则有 = = ,设 = = =k,则有 a=ksinA,b=ksinB , c=ksinC,又由 ,则有 = = ,变形可得 tanA=tanB=tanC,分析可得 A=B=C,则ABC 为等边三角形;故选:C6 (5 分)如果 a,b,c 满足 cba 且 ac0,那么下列选项中不一定成立的是( )A Bc(ba)0 Cac(ac)0 Dcb 2ab 2【解答】解:对于 A,cb a 且 ac0,则 a0,c0,必有 ,故 A 一定成立对于 B,cbaba 0 ,又由 c0 ,则有 c(b a)0,故 B 一定成立,对于 C,cba 且 ac0a c0ac (ac)

11、 0,故 C 一定成立对于 D,当 b=0 时,cb 2ab 2 不成立,当 b0 时,cb 2ab 2 成立,故 D 不一定成立,故选:D7 (5 分)若函数 f(x ) =ex(a1)x+1 在0 ,1上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )A (e +1,+) B e+1,+) C (e 1,+) De1,+【解答】解:f(x)=e x(a1)x+1 在(0,1)上递减,f(x)=e x(a1)0,在(0,1)上恒成立,a e x+1 在(0,1)上恒成立,y=e x+1 在( 0,1 )上为增函数,ye+1,a e +1,故选:B8 (5 分)已知 A,B 两点均在焦点为 F 的抛物

12、线 y2=2px(p0)上,若|AF|+|BF|=4,线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1,则 P 的值为( )A1 B1 或 3 C2 D2 或 6【解答】解:分别过 A、B 作交线 l:x= 的垂线,垂足分别为 C、D,设 AB 中点 M 在准线上的射影为点 N,连接 MN,设 A(x 1,y 1 ) ,B(x 2,y 2 ) ,M(x 0,y 0 )根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4 ,梯形 ACDB 中,中位线 MN= (|AC |+|BD|)=2 ,可得 x0+ =2,x 0=2 ,线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1,可得|x 0 |=1

13、,|2 p|=1,解之得 p=1 或 p=3故选:B9 (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围是( )A B C ( ,36,+) D3,6【解答】解:约束条件 对应的平面区域如下图示:三角形顶点坐标分别为(1,3) 、 (1,6)和( ) ,表示可行域内的点(x, y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y )=(1,6 )时取最大值 6,当(x,y )=( )时取最小值 ,故 的取值范围是故选 A10 (5 分)在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,且2sinCcosB=2sinA+sinB,c=3ab,则 ab 的最小值是( )A B C D

14、【解答】解:在ABC 中,由 A+B+C= 知,sinA=sin(B+C )=sin(B+C) ,2sinCcosB=2sinA+sinB,2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinC=sinB,2sinBcosC=sinB,由 sinB0,cosC= ,c=3ab,由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC,整理可得 9a2b2=a2+b2+ab3ab,当且仅当 a=b 取等号,ab ,则 ab 的最小值是 故选:B11 (5 分)双曲线 C: (a0,b 0 )焦点分别为 F1,F 2,在双曲线C 右支上存在点 P,使得PF

15、1F2 的内切圆半径为 a,圆心记为 M,PF 1F2 的重心为 G,满足 MGF 1F2,则双曲线 C 离心率为( )A B C2 D【解答】解:方法一:设 P(s,t) (s,t0) ,F 1(c,0) ,F 2(c ,0) ,可得重心 G( , )即( , ) ,设PF 1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点 N,与边 PF1 的切点为 K,与边 PF2 上的切点为 Q,则PF 1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 N 的横坐标相同由双曲线的定义,|PF 1|PF2|=2a由圆的切线性质|PF 1|PF2|=|FIK|F2Q|=|F1N|F2N|=2a,|F 1N|+|F2N|=|F1F2|

16、=2c,|F 2N|=ca,|ON |=a,即有 M(a, a) ,由 MGF 1F2,则PF 1F2 的重心为 G( ,a) ,即 t=3a,由PF 1F2 的面积为 2c3a= a(|PF 1|+|PF2|+2c) ,可得|PF 1|+|PF2|=4c由可得|PF 2|=2ca,由右准线方程 x= ,双曲线的第二定义可得 e= = =,解得 s=2a,即有 P(2a,3a) ,代入双曲线的方程可得 =1,可得 b= a,c= =2a,即 e= =2方法二:解:由 MG 平行于 x 轴得 yG=yM=a,则 yP=3yG=3a,所以,PF 1F2 的面积 S= 2c3a= (|PF 1|+|

17、PF2|+2c)a,又|PF 1|PF2|=2a,则|PF 1|=2c+a,|PF 2|=2ca由|PF 1|2(x P+c) 2=|PF2|2(cx P) 2 得 xP=2a,因此 P(2a,3a) ,代入椭圆方程得 =1,可得 b= a,c= =2a,即 e= =2故选:C12 (5 分)若函数 f(x ) =aexx2a 有两个零点,则实数 a 的取值范围( )A ( ) B (0, ) C ( ,o) D (0,+)【解答】解:函数 f(x) =aexx2a 的导函数 f(x)=ae x1,当 a0 时,f(x)0 恒成立,函数 f(x)在 R 上单调,不可能有两个零点;当 a0 时,

18、令 f(x)=0,得 x=lna,函数在( ,lna )递减,在(ln ,+)递增,所以 f( x)的最小值为 f( lna)=1+lna 2a=1+lna2a,令 g( a)=1+lna2a, (a 0) ,g(a)= 2,a (0, ) ,g(a)递增,a( ,+)递减,g( a) max=g( )=ln20f( x)的最小值为 f( lna)0 恒成立,函数 f(x)=ae xx2a 有两个零点;综上实数 a 的取值范围是:(0,+) ,故选:D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)双曲线 的渐近线方程为 【解答】解:双曲线标准方程为 =1,其渐近

19、线方程是 =0,整理得 y= x故答案为 y= x14 (5 分)已知 Sn 是数列a n的前 n 项和,若 S 则 a4 =8 【解答】解:根据题意,数列a n中 S ,则 a4=S4S3=( 241)(2 31)=8 ,即 a4=8;故答案为:815 (5 分)函数 f(x )=x 33x2+4 的减区间是 0,2(或(0,2) ) 【解答】解:函数 f(x )=x 33x2+4,f(x)=3x 26x,1 分令 f(x)0,得 3x26x 0,可得 x0,2,函数 f(x )的单调减区间是 0,2故答案为:0,2(或(0,2) ) 16 (5 分)设椭圆 C: + =1(ab0)的左、右

20、焦点分别为 F1,F 2,P是 C 上的点,PF 2F 1F2,PF 1F2=30,则 C 的离心率为 【解答】解:|PF 2|=x,PF 2F 1F2,PF 1F2=30,|PF 1|=2x,|F 1F2|= x,又|PF 1|+|PF2|=2a,|F 1F2|=2c2a=3x,2c= x,C 的离心率为:e= = 故答案为: 三、解答题17 (10 分)已知函数 f( x)=2xlnx(1)求这个函数的导数(2)求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程【解答】解:(1)f(x )=2xlnx ,f(x)=2(lnx+1)=2lnx+2,(2)由(1)f (1)=0 ,f(x )=2lnx

21、+2,k=f(1)=2,这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程:y=2x2 18 (12 分)已知 m0,p:(x+2) (x 6)0 q:2 mx 2+m(1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围;(2)若 m=5, “pq“为真命题, “pq“为假命题,求实数 x 的取值范围【解答】解:p:2x6(1)p 是 q 的充分条件,2 ,6是2m,2+m的真子集故: ,解得:m4,所以 m 的取值范围是4,+) (2)当 m=5 时,P :3m7由于:“pq“为真命题, “pq“为假命题,则:p 真 q 假时, ,解得:xp 假 q 真时, ,解得:x3, 2)(6,7所以实数

22、x 的取值范围为 3,2)(6,719 (12 分).已知ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=2,C=(1)若ABC 的面积等于 ,求 a,b;(2)若 sinC+sin(BA)=2sin2A,求ABC 的面积【解答】解:(1)c=2,C= 由余弦定理可得:4=a 2+b2ab,ABC 的面积为 = absinC= ab ,解得: ab=4,代入可得:a 2+b2=8,从而(a+b) 2=a2+b2+2ab=16,解得:a +b=4,由可解得:b=2,a=2(2)sinC +sin(BA)=2sin2A,sinC=sin(A +B)cosA(sinB2sinA)=0

23、,cosA=0 或 sinB=2sinA,A=90或 b=2a,当 A=90时,b= ,S ABC = ,当 b=2a,由 ab=a2+b24,得 a2= ,S ABC = ,综上所述 SABC =20 (12 分)已知a n是公差为正数的等差数列,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn,数列b n是等比数列,首项 b1=1,且 a2b2=12,S 3+b2=20(1)求a n,b n的通项公式(2)令 cn=nbn(nN *) ,求c n的 n 项和 Tn【解答】解:()设公差为 d,公比为 q,则 a2b2=(3+d)q=12S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20 联立可得, (3

24、d+7) (d 3)=0a n的公差 d0则 d=3,q=2 ,a n=3+(n1 )3=3n,b n=2n1;(2)b n=2n1,c n=n2n1,T n=c1+c2+cn=120+221+322+n2n1,2Tn=121+222+(n 1)2 n1+n2n,两式相减可得,T n=120+121+122+12n1n2n,T n= n2n=2n1n2n,T n=(n1)2 n+121 (12 分)已知函数 f( x)=kx 3+3(k1)x 2k2+1 在 x=0,x=4 处取得极值(1)求常数 k 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)设 g(x)=f(x)+c,且x 1,2

25、,g (x )2c +1 恒成立,求 c 的取值范围【解答】解:(1)f(x)=3kx 2+6(k1)x,由于在 x=0,x=4 处取得极值,f(0)=0 , f(4)=0,可求得 (2 分)(2)由(1)可知 ,f(x )=x 24x=x(x4) ,f (x ) ,f(x)随x 的变化情况如下表:x (, 0)0 (0 ,4)4 (4 ,+)f(x ) + 0 0 +f(x) 极大值 极小值当 x0 或 x4,f(x)为增函数, 0x4,f(x)为减函数; (4分)极大值为 ,极小值为 (5 分)(3)要使命题成立,需使 g(x)的最小值不小于 2c+1由(2)得: (6 分) , (8 分

26、)22 (12 分)已知椭圆 C: 经过点 ,离心率 ,直线 l 的方程为 x=4(1)求椭圆 C 的方程;(2)经过椭圆右焦点 e 的任一直线(不经过点 a=1)与椭圆交于两点 A,B,设直线 AB 与 l 相交于点 M,记 PA,PB ,PM 的斜率分别为 k1,k 2,k 3,问:k1+k22k3 是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由【解答】解:(1)由点 在椭圆上,离心率 ,得且 a2=b2+c2,解得 c2=4,a 2=8,b 2=4,椭圆 C 的方程: (2)椭圆右焦点 F(2, 0) ,显然直线 AB 斜率存在,设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x2) 代入椭圆 C 的方程:整理得(2k 2+1)x 28k2x+8k28=0设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则有 x1+x2= ,x 1x2= 令 y=k(x 2)中 x=4,得 M(4,2k) ,从而 , ,又因为 A、F、B 共线,则有 k=kAF=kBF, =2k 将代入得 k1+k2=2k =2k3k 1+k22k3=0(定值)

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