1、2017-2018 学年甘肃省定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知函数 f（x）=x +lnx，则 f（1 ）=（ ）A1 B2 C1 D22 （5 分）抛物线 y=x2 的焦点坐标是（ ）A （1 ，0 ） B （0， ） C （ ，0） D （0， ）3 （5 分）命题“若 a2+b2=0，则 a，b 都为零”的否命题是（ ）A若 a2+b20，则 a，b 都不为零 B若 a2+b20，则 a，b 不都为零C若 a，b 都不为零，则 a2+b20 D若 a
2、，b 不都为零，则 a2+b204 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 a2+a12=18，则 S13=（ ）A91 B126 C234 D1175 （5 分）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且满足，则ABC 的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形6 （5 分）如果 a，b，c 满足 cba 且 ac0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A Bc（ba）0 Cac（ac）0 Dcb 2ab 27 （5 分）若函数 f（x ） =ex（a1）x+1 在0 ，1上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A （e
3、+1，+） B e+1，+） C （e 1，+） De1，+8 （5 分）已知 A，B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y2=2px（p0）上，若|AF|+|BF|=4，线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1，则 P 的值为（ ）A1 B1 或 3 C2 D2 或 69 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A B C （ ，36，+） D3，610 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且2sinCcosB=2sinA+sinB，c=3ab，则 ab 的最小值是（ ）A B C D11 （5 分）双曲线 C： （a0，b 0
4、 ）焦点分别为 F1，F 2，在双曲线C 右支上存在点 P，使得PF 1F2 的内切圆半径为 a，圆心记为 M，PF 1F2 的重心为 G，满足 MGF 1F2，则双曲线 C 离心率为（ ）A B C2 D12 （5 分）若函数 f（x ） =aexx2a 有两个零点，则实数 a 的取值范围（ ）A （ ） B （0， ） C （ ，o） D （0，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）双曲线 的渐近线方程为 14 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 S 则 a4 15 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+4 的减区间是 16
5、 （5 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为 三、解答题17 （10 分）已知函数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程18 （12 分）已知 m0，p：（x+2） （x 6）0 q：2 mx 2+m（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “pq“为真命题， “pq“为假命题，求实数 x 的取值范围19 （12 分）.已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c=2，C=
6、（1）若ABC 的面积等于 ，求 a，b；（2）若 sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC 的面积20 （12 分）已知a n是公差为正数的等差数列，首项 a1=3，前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，首项 b1=1，且 a2b2=12，S 3+b2=20（1）求a n，b n的通项公式（2）令 cn=nbn（nN *） ，求c n的 n 项和 Tn21 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2，g （x ）
7、2c +1 恒成立，求 c 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 C： 经过点 ，离心率 ，直线 l 的方程为 x=4（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 e 的任一直线（不经过点 a=1）与椭圆交于两点 A，B，设直线 AB 与 l 相交于点 M，记 PA，PB ，PM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，问：k1+k22k3 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由2017-2018 学年甘肃省定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5
8、 分）已知函数 f（x）=x +lnx，则 f（1 ）=（ ）A1 B2 C1 D2【解答】解：函数的导数 f（x ）=1+ ，则 f（1）=1 +1=2，故选：D2 （5 分）抛物线 y=x2 的焦点坐标是（ ）A （1 ，0 ） B （0， ） C （ ，0） D （0， ）【解答】解：抛物线 y=x2，即 x2=y，p= ， = ，焦点坐标是（0， ） 故选：D3 （5 分）命题“若 a2+b2=0，则 a，b 都为零”的否命题是（ ）A若 a2+b20，则 a，b 都不为零 B若 a2+b20，则 a，b 不都为零C若 a，b 都不为零，则 a2+b20 D若 a，b 不都为零，则 a
9、2+b20【解答】解：命题“ 若 a2+b2=0，则 a，b 都为零”的否命题是“若 a2+b20，则 a，b 不都为零”故选：B4 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 a2+a12=18，则 S13=（ ）A91 B126 C234 D117【解答】解：由等差数列a n的性质可得：a 1+a13=a2+a12=18，则 S13= = =117，故选：D5 （5 分）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且满足，则ABC 的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解答】解：根据题意，a，b，c 分别是ABC 的三个内
10、角 A，B，C 所对的边，则有 = = ，设 = = =k，则有 a=ksinA，b=ksinB ， c=ksinC，又由 ，则有 = = ，变形可得 tanA=tanB=tanC，分析可得 A=B=C，则ABC 为等边三角形；故选：C6 （5 分）如果 a，b，c 满足 cba 且 ac0，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A Bc（ba）0 Cac（ac）0 Dcb 2ab 2【解答】解：对于 A，cb a 且 ac0，则 a0，c0，必有 ，故 A 一定成立对于 B，cbaba 0 ，又由 c0 ，则有 c（b a）0，故 B 一定成立，对于 C，cba 且 ac0a c0ac （ac）
11、 0，故 C 一定成立对于 D，当 b=0 时，cb 2ab 2 不成立，当 b0 时，cb 2ab 2 成立，故 D 不一定成立，故选：D7 （5 分）若函数 f（x ） =ex（a1）x+1 在0 ，1上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A （e +1，+） B e+1，+） C （e 1，+） De1，+【解答】解：f（x）=e x（a1）x+1 在（0，1）上递减，f（x）=e x（a1）0，在（0，1）上恒成立，a e x+1 在（0，1）上恒成立，y=e x+1 在（ 0，1 ）上为增函数，ye+1，a e +1，故选：B8 （5 分）已知 A，B 两点均在焦点为 F 的抛物
12、线 y2=2px（p0）上，若|AF|+|BF|=4，线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1，则 P 的值为（ ）A1 B1 或 3 C2 D2 或 6【解答】解：分别过 A、B 作交线 l：x= 的垂线，垂足分别为 C、D，设 AB 中点 M 在准线上的射影为点 N，连接 MN，设 A（x 1，y 1 ） ，B（x 2，y 2 ） ，M（x 0，y 0 ）根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4 ，梯形 ACDB 中，中位线 MN= （|AC |+|BD|）=2 ，可得 x0+ =2，x 0=2 ，线段 AB 的中点到直线 x= 的距离为 1，可得|x 0 |=1
13、，|2 p|=1，解之得 p=1 或 p=3故选：B9 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A B C （ ，36，+） D3，6【解答】解：约束条件 对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3） 、 （1，6）和（ ） ，表示可行域内的点（x， y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y ）=（1，6 ）时取最大值 6，当（x，y ）=（ ）时取最小值 ，故 的取值范围是故选 A10 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且2sinCcosB=2sinA+sinB，c=3ab，则 ab 的最小值是（ ）A B C D
14、【解答】解：在ABC 中，由 A+B+C= 知，sinA=sin（B+C ）=sin（B+C） ，2sinCcosB=2sinA+sinB，2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinC=sinB，2sinBcosC=sinB，由 sinB0，cosC= ，c=3ab，由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，整理可得 9a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当 a=b 取等号，ab ，则 ab 的最小值是 故选：B11 （5 分）双曲线 C： （a0，b 0 ）焦点分别为 F1，F 2，在双曲线C 右支上存在点 P，使得PF
15、1F2 的内切圆半径为 a，圆心记为 M，PF 1F2 的重心为 G，满足 MGF 1F2，则双曲线 C 离心率为（ ）A B C2 D【解答】解：方法一：设 P（s，t） （s，t0） ，F 1（c，0） ，F 2（c ，0） ，可得重心 G（ ， ）即（ ， ） ，设PF 1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点 N，与边 PF1 的切点为 K，与边 PF2 上的切点为 Q，则PF 1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 N 的横坐标相同由双曲线的定义，|PF 1|PF2|=2a由圆的切线性质|PF 1|PF2|=|FIK|F2Q|=|F1N|F2N|=2a，|F 1N|+|F2N|=|F1F2|
16、=2c，|F 2N|=ca，|ON |=a，即有 M（a， a） ，由 MGF 1F2，则PF 1F2 的重心为 G（ ，a） ，即 t=3a，由PF 1F2 的面积为 2c3a= a（|PF 1|+|PF2|+2c） ，可得|PF 1|+|PF2|=4c由可得|PF 2|=2ca，由右准线方程 x= ，双曲线的第二定义可得 e= = =，解得 s=2a，即有 P（2a，3a） ，代入双曲线的方程可得 =1，可得 b= a，c= =2a，即 e= =2方法二：解：由 MG 平行于 x 轴得 yG=yM=a，则 yP=3yG=3a，所以，PF 1F2 的面积 S= 2c3a= （|PF 1|+|
17、PF2|+2c）a，又|PF 1|PF2|=2a，则|PF 1|=2c+a，|PF 2|=2ca由|PF 1|2（x P+c） 2=|PF2|2（cx P） 2 得 xP=2a，因此 P（2a，3a） ，代入椭圆方程得 =1，可得 b= a，c= =2a，即 e= =2故选：C12 （5 分）若函数 f（x ） =aexx2a 有两个零点，则实数 a 的取值范围（ ）A （ ） B （0， ） C （ ，o） D （0，+）【解答】解：函数 f（x） =aexx2a 的导函数 f（x）=ae x1，当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在 R 上单调，不可能有两个零点；当 a0 时，
18、令 f（x）=0，得 x=lna，函数在（ ，lna ）递减，在（ln ，+）递增，所以 f（ x）的最小值为 f（ lna）=1+lna 2a=1+lna2a，令 g（ a）=1+lna2a， （a 0） ，g（a）= 2，a （0， ） ，g（a）递增，a（ ，+）递减，g（ a） max=g（ ）=ln20f（ x）的最小值为 f（ lna）0 恒成立，函数 f（x）=ae xx2a 有两个零点；综上实数 a 的取值范围是：（0，+） ，故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）双曲线 的渐近线方程为 【解答】解：双曲线标准方程为 =1，其渐近
19、线方程是 =0，整理得 y= x故答案为 y= x14 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 S 则 a4 =8 【解答】解：根据题意，数列a n中 S ，则 a4=S4S3=（ 241）（2 31）=8 ，即 a4=8；故答案为：815 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+4 的减区间是 0，2（或（0，2） ） 【解答】解：函数 f（x ）=x 33x2+4，f（x）=3x 26x，1 分令 f（x）0，得 3x26x 0，可得 x0，2，函数 f（x ）的单调减区间是 0，2故答案为：0，2（或（0，2） ） 16 （5 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右
20、焦点分别为 F1，F 2，P是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为 【解答】解：|PF 2|=x，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，|PF 1|=2x，|F 1F2|= x，又|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c2a=3x，2c= x，C 的离心率为：e= = 故答案为： 三、解答题17 （10 分）已知函数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程【解答】解：（1）f（x ）=2xlnx ，f（x）=2（lnx+1）=2lnx+2，（2）由（1）f （1）=0 ，f（x ）=2lnx
21、+2，k=f（1）=2，这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程：y=2x2 18 （12 分）已知 m0，p：（x+2） （x 6）0 q：2 mx 2+m（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “pq“为真命题， “pq“为假命题，求实数 x 的取值范围【解答】解：p：2x6（1）p 是 q 的充分条件，2 ，6是2m，2+m的真子集故： ，解得：m4，所以 m 的取值范围是4，+） （2）当 m=5 时，P ：3m7由于：“pq“为真命题， “pq“为假命题，则：p 真 q 假时， ，解得：xp 假 q 真时， ，解得：x3， 2）（6，7所以实数
22、x 的取值范围为 3，2）（6，719 （12 分）.已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c=2，C=（1）若ABC 的面积等于 ，求 a，b；（2）若 sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC 的面积【解答】解：（1）c=2，C= 由余弦定理可得：4=a 2+b2ab，ABC 的面积为 = absinC= ab ，解得： ab=4，代入可得：a 2+b2=8，从而（a+b） 2=a2+b2+2ab=16，解得：a +b=4，由可解得：b=2，a=2（2）sinC +sin（BA）=2sin2A，sinC=sin（A +B）cosA（sinB2sinA）=0
23、，cosA=0 或 sinB=2sinA，A=90或 b=2a，当 A=90时，b= ，S ABC = ，当 b=2a，由 ab=a2+b24，得 a2= ，S ABC = ，综上所述 SABC =20 （12 分）已知a n是公差为正数的等差数列，首项 a1=3，前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，首项 b1=1，且 a2b2=12，S 3+b2=20（1）求a n，b n的通项公式（2）令 cn=nbn（nN *） ，求c n的 n 项和 Tn【解答】解：（）设公差为 d，公比为 q，则 a2b2=（3+d）q=12S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20 联立可得， （3
24、d+7） （d 3）=0a n的公差 d0则 d=3，q=2 ，a n=3+（n1 ）3=3n，b n=2n1；（2）b n=2n1，c n=n2n1，T n=c1+c2+cn=120+221+322+n2n1，2Tn=121+222+（n 1）2 n1+n2n，两式相减可得，T n=120+121+122+12n1n2n，T n= n2n=2n1n2n，T n=（n1）2 n+121 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2
25、，g （x ）2c +1 恒成立，求 c 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=3kx 2+6（k1）x，由于在 x=0，x=4 处取得极值，f（0）=0 ， f（4）=0，可求得 （2 分）（2）由（1）可知 ，f（x ）=x 24x=x（x4） ，f （x ） ，f（x）随x 的变化情况如下表：x （， 0）0 （0 ，4）4 （4 ，+）f（x ） + 0 0 +f（x） 极大值 极小值当 x0 或 x4，f（x）为增函数， 0x4，f（x）为减函数； （4分）极大值为 ，极小值为 （5 分）（3）要使命题成立，需使 g（x）的最小值不小于 2c+1由（2）得： （6 分） ， （8 分
26、）22 （12 分）已知椭圆 C： 经过点 ，离心率 ，直线 l 的方程为 x=4（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 e 的任一直线（不经过点 a=1）与椭圆交于两点 A，B，设直线 AB 与 l 相交于点 M，记 PA，PB ，PM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，问：k1+k22k3 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）由点 在椭圆上，离心率 ，得且 a2=b2+c2，解得 c2=4，a 2=8，b 2=4，椭圆 C 的方程： （2）椭圆右焦点 F（2， 0） ，显然直线 AB 斜率存在，设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（x2） 代入椭圆 C 的方程：整理得（2k 2+1）x 28k2x+8k28=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 x1+x2= ，x 1x2= 令 y=k（x 2）中 x=4，得 M（4，2k） ，从而 ， ，又因为 A、F、B 共线，则有 k=kAF=kBF， =2k 将代入得 k1+k2=2k =2k3k 1+k22k3=0（定值）
