1、2017-2018 学年甘肃省白银市景泰县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1 （5 分）已知集合 A=2， 1，0，1，2，B=x |（x 1） （x +2）0 ，则AB=（ ）A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D0，1，22 （5 分）已知命题 p： xR，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：xR ，使 tanx1 Bp ：x R，使 tanx1C p：x R，使 tanx1 Dp ：x R，使 tanx13 （5 分）对抛物线 y=4x2，下列描述正确的是（ ）A开口向上，焦点为
2、（0，1） B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0） D开口向右，焦点为4 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x5 （5 分）有下列四个命题：“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等” 的否命题；“若 m1，则 x22x+m=0 有实数解”的逆否命题；“若 AB=B，则 AB”的逆否命题其中为真命题的是（ ）A B C D6 （5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=（ ）A5 B C2 D17 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的离心率为 ，则 C 的渐近线
3、方程为（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy=2x8 （5 分）如图 ABCDA1B1C1D1 是正方体，B 1E1=D1F1= ，则 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值是（ ）A B C D9 （5 分）已知数列a n中， a1=2，a n= （n2） ，则 a2010 等于（ ）A B C2 D 210 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为（ ）A B C D11 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 E： + =1（ab 0）的左、右焦点，P 为直线x= 上一点， F 2P
4、F1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）P 是双曲线 =1 的右支上一点，M 、N 分别是圆（x +5） 2+y2=4和（x5） 2+y2=1 上的点，则|PM| |PN|的最大值为（ ）A6 B7 C8 D9二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填写在题中横线上）13 （5 分）若 x，y（0， +） ，且 x+4y=1，则 + 的最小值为 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的取值范围为 15 （5 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0） ，过焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 C 相
5、交于 A、B 两点，若 =3 ，则 k= 16 （5 分）若椭圆 C：mx 2+ny2=1（m0，n0，mn ） ，与直线 L：x+y+1=0交于 A、B 两点，过原点和线段 AB 中点的直线的斜率为 ，则 = 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知命题 p：c 2c，和命题 q：x R，x 2+4cx+10 且 pq 为真，pq 为假，求实数 c 的取值范围18 （12 分）已知双曲线 E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率 e= ，且双曲线过点 P（2，3 ） 求双曲线 E 的方程19 （12 分）在ABC 中，内角
6、 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知cosA= ，cosB= （1）求 C；（2）若 c=5，求ABC 的面积20 （12 分）在数列a n中， a1=2，a n+1=2ann+1（ nN*） ，数列a n的前 n 项和为 Sn（1）证明：数列a nn是等比数列，并求数列 an的通项公式；（2）求 Sn21 （12 分）在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值22 （12 分）已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不
7、过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由2017-2018 学年甘肃省白银市景泰县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1 （5 分）已知集合 A=2， 1，0，1，2，B=x |（x 1） （x +2）0 ，则AB=（ ）A 1，0
8、B0，1 C 1，0，1 D0，1，2【解答】解：B=x|2x 1，A=2， 1，0，1，2；AB=1，0故选：A2 （5 分）已知命题 p： xR，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：xR ，使 tanx1 Bp ：x R，使 tanx1C p：x R，使 tanx1 Dp ：x R，使 tanx1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：x R，使tanx=1，p： xR，使 tanx1故选：D3 （5 分）对抛物线 y=4x2，下列描述正确的是（ ）A开口向上，焦点为（0，1） B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0） D开口向右，焦点为【解答】解：a=40，
9、图象开口向上，焦点为 故选 B4 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x【解答】解：双曲线 的渐近线方程是 ，即 故选 C5 （5 分）有下列四个命题：“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等” 的否命题；“若 m1，则 x22x+m=0 有实数解”的逆否命题；“若 AB=B，则 AB”的逆否命题其中为真命题的是（ ）A B C D【解答】解：“ 若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是：“若 x，y 互为倒数，则 xy=1”是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等” 的否命题是：“面积不相等的三角形不全等
10、” 是真命题，故正确；若 x22x+m=0 有实数解，则=4 4m0，解得：m1，若 m1则 x22x+m=0 有实数解”是真命题，故“若 m1，则 x22x+m=0 有实数解”的逆否命题是：“若 x22x+m=0 没有有实数解，则 m1”是真命题，故正确；若 AB=B，则 AB，故原命题错误，若 AB=B，则 AB”的逆否命题是错误，故错误；故选：D6 （5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=（ ）A5 B C2 D1【解答】解：钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，S= acsinB= ，即 sinB= ，当 B 为钝角时，cosB=
11、 = ，利用余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC= ，当 B 为锐角时，cosB= = ，利用余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则 AC= 故选：B7 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy=2x【解答】解：由题意可得 e= = ，即为 c2= a2，由 c2=a2+b2，可得 b2= a2，即 a=2b，双曲线的渐近线方程为 y= x，即为
12、 y=2x故选：D8 （5 分）如图 ABCDA1B1C1D1 是正方体，B 1E1=D1F1= ，则 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值是（ ）A B C D【解答】解：如图先将 F1D 平移到 AF，再平移到 E1E，EE 1B 为 BE1 与 DF1 所成的角设边长为 4 则，E 1E=E1B= ，BE=2cosEE 1B= ，故选 A9 （5 分）已知数列a n中， a1=2，a n= （n2） ，则 a2010 等于（ ）A B C2 D 2【解答】解：数列a n中， a1=2，a n= （n2） ，则 a2= = ，a3= =2，a 4= = ，a5= =2，则数列a n为最小正
13、周期为 4 的数列，则 a2010=a4502+2=a2= ，故选 A10 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为（ ）A B C D【解答】解：由 y2=2px，得 2p=3，p= ，则 F（ ，0） 过 A，B 的直线方程为 y= （x ） ，即 x= y+ 联立 ，得 4y212 y9=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=3 ，y 1y2= S OAB =SOAF +SOFB= |y1y2|= = = 故选：D11 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆
14、 E： + =1（ab 0）的左、右焦点，P 为直线x= 上一点， F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）A B C D【解答】解：F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，|PF 2|=|F2F1|P 为直线 x= 上一点故选 C12 （5 分）P 是双曲线 =1 的右支上一点，M 、N 分别是圆（x +5） 2+y2=4和（x5） 2+y2=1 上的点，则|PM| |PN|的最大值为（ ）A6 B7 C8 D9【解答】解：双曲线 =1 中，如图：a=3，b=4，c=5 ，F 1（5，0 ） ，F 2（5，0 ） ，|PF 1|PF2|=2a=6，|MP|PF 1
15、|+|MF1|，|PN|PF 2|NF2|，|PN|PF 2|+|NF2|，所以，|PM|PN|PF 1|+|MF1|PF2|+|NF2|=6+1+2=9故选 D二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填写在题中横线上）13 （5 分）若 x，y（0， +） ，且 x+4y=1，则 + 的最小值为 9 【解答】解：x，y （0，+） ，且 x+4y=1，则 + =（x+ 4y） （ + ）=1+4+ + 5+2 =9，当且仅当 x=2y= 时，等号成立，则 + 的最小值为 9故答案为：914 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的取值范围为 3，3 【
16、解答】解：由 z=x2y 得 y= ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= ，过点 A（3，0）时，直线 y= 的截距最小，此时 z 最大为 z=30=3，由图象可知当直线 y= ，过点 B 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 B（1，2） ，代入目标函数 z=x2y，得 z=122=14=3，故3 z3，故答案为：3，315 （5 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0） ，过焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 C 相交于 A、B 两点，若 =3 ，则 k= 【解答】解：过 A、B 分别作准线的垂线，垂足分别为
17、M，N，作 BCAM，垂足为 C，设| |=m，| |=3m，则由抛物线的定义得|AM|=3m，|BN|=m，| |=4m， | |=2m，BAC=60 ，于是直线 l 的倾斜角为 60，斜率 k=故答案为： 16 （5 分）若椭圆 C：mx 2+ny2=1（m0，n0，mn ） ，与直线 L：x+y+1=0交于 A、B 两点，过原点和线段 AB 中点的直线的斜率为 ，则 = 【解答】解：由直线 x+y+1=0，可得 y=x1 代入 mx2+ny2=1得：（m+n）x 2+2nx+n+1=0，设 A、B 的坐标为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则有：x 1+x2= ，y 1+y2
18、=1x11x2=2（x 1+x2）= ，M 的坐标为：（ ， ） ，0M 的斜率 k= =故答案为： 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知命题 p：c 2c，和命题 q：x R，x 2+4cx+10 且 pq 为真，pq 为假，求实数 c 的取值范围【解答】 （本题满分 12 分）解：由不等式 c2c ，得 0c 1，即命题 P：0c1，命题P： c0 或 c1，（3 分）又由（4c） 240，得 ，得命题 q： ，命题q：c 或 c ，（6 分）pq 为真，pq 为假，由题知：p 和 q 必有一个为真一个为假（8 分）
19、当 p 真 q 假时： ，当 q 真 p 假时： （10 分）综上： 或 ，故 c 的取值范围是（ ，0 ，1） （12 分） 18 （12 分）已知双曲线 E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率 e= ，且双曲线过点 P（2，3 ） 求双曲线 E 的方程【解答】解：由双曲线离心率 e= ， ，则 ，当焦点在 y 轴时，设双曲线的方程为 =代入点 P（2 ，3 ） ，解得，= ，故双曲线的方程为 =1，当焦点在 x 轴时，设双曲线的方程为 =，代入点 P（2 ，3 ） ，解得，= 7，舍故双曲线的方程为： =119 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，
20、已知cosA= ，cosB= （1）求 C；（2）若 c=5，求ABC 的面积【解答】 （本题满分为 10 分）解：（1）cosA= ，sinA= ， （1 分）cosB= sinB= （2 分）故 cosC=cos（A+B）=sinAsinB cosAcosB= ， （4 分）故 C= （5 分）（2） ， （6 分）可解得 a=3 （7 分）故 S= acsinB= （10 分）20 （12 分）在数列a n中， a1=2，a n+1=2ann+1（ nN*） ，数列a n的前 n 项和为 Sn（1）证明：数列a nn是等比数列，并求数列 an的通项公式；（2）求 Sn【解答】解：（1）证
21、明：a 1=2，a n+1=2ann+1，可得 an+1（n+1）=2a n2n=2（a nn） ，即有数列a nn是首项为 1，公比为 2 的等比数列；且有 ann=2n1，即为 an=n+2n1；（2）S n=（1+2+ +n）+（1+2+2 n1）= n（ n+1）+= n（ n+1）+2 n121 （12 分）在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值【解答】证明：（1）平面 VAD平面 ABCD，ABAD，AB平面 ABCD，平面 VAD平
22、面 ABCD=AD，AB面 VAD（2）取 VD 中点 E，连接 AE，BE ，VAD 是正三角形， AEVD，AE= AD，AB面 VAD，AE ，VD平面 VAD，ABVD ，AB AE ，AE VD ，ABVD，ABAE=A，且 AB，AE平面 ABE，VD平面 ABE，BE 平面 ABE，BEVD，AEB 即为所求的二面角的平面角在 RTABE 中，tanAEB= = ，cosAEB= 面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值为 22 （12 分）已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的
23、中点为 M（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由【解答】解：（1）设直线 l：y=kx+b， （k0，b 0） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，M（x M，y M） ，将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2（m0） ，得（k 2+9）x 2+2kbx+b2m2=0，则判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m2）0，则 x1+x2= ，则 xM= = ，y M=kxM+b= ，于是直线 OM 的斜率
24、kOM= = ，即 kOMk=9，直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值（2）四边形 OAPB 能为平行四边形直线 l 过点（ ，m） ，由判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m2）0，即 k2m29b 29m2，b=m m，k 2m29（m m） 29m2，即 k2 k26k，即 6k 0，则 k0 ，l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k 3，由（1）知 OM 的方程为 y= x，设 P 的横坐标为 xP，由 得 ，即 xP= ，将点（ ，m）的坐标代入 l 的方程得 b= ，即 l 的方程为 y=kx+ ，将 y= x，代入 y=kx+ ，得 kx+ = x解得 xM= ，四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM，于是 =2 ，解得 k1=4 或 k2=4+ ，k i0，k i3，i=1，2，当 l 的斜率为 4 或 4+ 时，四边形 OAPB 能为平行四边形
